高中数学椭圆的经典知识总结.doc

1、高中数学椭圆的经典知识总结椭圆知识点总结1. 椭圆的定义：1,2（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） （参数方程，其中 为x12bya22abccosinxayb参数） ，焦点在 轴上时 1（ ） 。方程 表示椭圆的充要条件是什么？y20ABC（ABC0，且 A，B ，C 同号，AB） 。2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以 （ ）为例）：范围： ；焦点：两12byax0a,axby个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，四个顶点(,0)c,xy，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ；准线：两条准线 ； 离心率：,abb2c，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。通径e1e

2、eba2.点与椭圆的位置关系：（1）点 在椭圆外 ；0(,)Pxy201xya（2）点 在椭圆上 1；0(,)Pxy2ba（3）点 在椭圆内,0xy3直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交： 直线与椭圆相交；（ 2）相切： 直线与椭圆相切； （3）相离：00直线与椭圆相离； 0如:直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围是_（答：215xym1，5） （5 ，+） ） ；4、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离） 的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。0redaxd如（1）已知椭圆 上一点

3、P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为1625yx_（答：10/3） ；（2）椭圆 内有一点 ，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 之值342),( F2最小，则点 M 的坐标为_（答： ） ；)1,3625、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：，当 即 为短轴端点时， 的最大值为 bc；20tan|Sbcy0|bPmaxS6、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B ，且 分别为 A、B 的横坐标，ykxb12,x则 ，若 分别为 A、B 的纵坐标，则 ，若弦 AB 所AB21kx12, 2yk在直线方程设为 ，则 。特别地，焦点弦（过焦点

4、的弦）：焦点弦的y21ky弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ；12byax0(,)Pxy 02yaxb如（1）如果椭圆 弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 21369（答： ） ；（ 2）已知直线 y=x+1 与椭圆 相交于 A、B 两点，280xy21(0)xyab且线段 AB 的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答： ） ；（3）试确2定 m 的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关

5、于直线 对称（答：1342y mxy4） ； 213,特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问0题时，务必别忘了检验 ！椭圆知识点1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式ba,确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量 的几何意义cba,椭圆标准方程中， 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆,的长半轴长、

6、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为： ， ，且)0(ba)0(ca。)(22cba可借助右图理解记忆： 显然： 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，, b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方 法是：看， 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。2xy4方程 是表示椭圆的条件均 不 为 零 ）CBAyx,(2方程 可化为 ，即 ，所以只有 A、B、C 同号，且 A B 时，方BA2 12yx12BCyAx 程表示椭圆。当 时，椭圆的焦点在 轴上；当 时，椭圆的焦点在 轴上。Cxy5求椭圆标

7、准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；cba,定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c 相同。与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为 ，12byax)0(a 122mbyax)(2b此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于 轴、 轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；xy 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；y x 若把曲线方程中的 、 同时换

8、成 、 ，方程不变，则曲线关于原点对称。xyxy8如何求解与焦点三角形PF 1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF 1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进行计算解题。2121sinPFS将有关线段 ，有关角 ( )结合起来，建立 、211PF、 B21PF之间的关系. 21P9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 ，因为 ，)10(eac22bac，用 表示为 。0caba、 )10()12eabe显然：当 越小时， 越大，椭圆形状越扁；当 越大， 越

9、小，椭圆形状越0(ab)10(e趋近于圆。椭 圆题型 1:椭圆定义的运用例 1、已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 A、B 两点若 ，则12,F2159xy1F21FB_。AB例 2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计） ，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 例 3、如果方程 表示焦点在 x 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是_.22xky例 4、已知 为椭圆 上

10、的一点， 分别为圆 和圆 上的点，P156,MN231xy234xy则 的最小值为 MN题型 2： 求椭圆的标准方程 例 1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点 、 ； )2,3(A(3,1)B(2)经过点(2 ， 3)且与椭圆 具有共同的焦点. 64922yx（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4.42题型 3:求椭圆的离心率（或范围）例 1、 中， 若以 为焦点的椭圆经过点 ，则椭圆的离心率ABC03,2,3ABCS,BC为 .例 2、过椭圆的一个焦点 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 2F12F题

11、型 4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 1、已知实数 满足 ,则 的范围为 ,xy2142xy例 2、已知 P 是椭圆 上一点， 是椭圆的两个焦点，求 的最大值与最小值21xyab12,F12PF例 3、已知点 是椭圆 （ ）上两点,且 ,则 = ,AB21xymn0nAOB例 4、如上图，把椭圆 的长轴 分成 8 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于2516xyABx七个点， 是椭圆的一个焦点，则 _1,234567,PPF1234567PFPFPF题型 5：焦点三角形问题例 1、已知 为椭圆 的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知 为一个直角三角形的三个12,F219

12、4xy12,顶点，且 ,求 的值；12P12例 2、已知 为椭圆 C: 的两个焦点，在 C 上满足 的点的个数为 12,F2184xy12PF例 3、若 为椭圆 的两个焦点，p 为椭圆上的一点，当 为钝角时，点 P 横坐标的取值范12,29xy 12围为 例 4、已知椭圆的焦点是 ,且经过点（1， ） 求椭圆的方程; 设点 P 在椭圆上,且)0(,21F32,求 cos .21PFP题型 6: 三角代换的应用例 1、椭圆 上的点到直线 l: 的距离的最小值为_2169xy90xy例 2、椭圆 的内接矩形的面积的最大值为 2题型 7：直线与椭圆的位置关系的判断例 1、当 为何值时，直线 与椭圆

13、相交？相切？相离？myxm2169xy例 2、若直线 与椭圆 恒有公共点，求实数 的取值范围； )(1Rkxy52 m题型 8：弦长问题例 3求直线 被椭圆 所截得的弦长. 24yx219xy例 4、已知椭圆 的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P（0，-2）及 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点，求21ABF 2 的面积； 题型 9：中点弦问题例 5、求以椭圆 内的点 A（2，-1 ）为中点的弦所在的直线方程。2185xy例 6、中心在原点，一个焦点为 的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方1(0,5)F32yx12程例 7、椭圆 ，与直线 相交于 、 两点， 是 的中点若 ，斜

14、21mxny1xy 2AB率为 （O 为原点），求椭圆的方程题型 10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例 6、设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 、 两点，点 与点 关于 轴对称，,PxyxyABQPy为坐标原点，若 ，且 ，求 点的轨迹方程;O2BA1OQBP15. 如图，在 RtABC 中，CAB=90，AB=2，AC= 。一曲线 E 过点 C，动点 P 在曲线 E 上运动，且保2持|PA|+|PB|的值不变，直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）设直线 l 的斜率为 k，若MBN 为钝角，求 k 的取值范围。

15、基础巩固训练1. 如图 ,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 与 BF 交于 D,且 ,则椭圆的离心1AB1BD率为 2.设 为椭圆 的两焦点，P 在椭圆上，当 面积为 1 时， 的值为 12,F214xy12FP12PF3.椭圆 的一条弦被 平分,那么这条弦所在的直线方程是 36942A4.在 中， ， 若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ABC 03tanB, Ce5. 若 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 , 则此椭圆的离心率为 12,F 3:21:121PFFP6.在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为 2，以 O 为圆心， 为半径的圆，过点 作2(0)xyaba2(,0)

16、ac圆的两切线互相垂直，则离心率 = e综合提高训练7、已知椭圆 与过点 A(2，0) ，B(0，1)的直线 l 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率21(0)xyab求椭圆方程；32e8.已知 A、B 分别是椭圆 的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在椭圆上，线21(0)xyab 21,段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。（1）求椭圆的标准方程； （2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求 的sinABC值。9.已知长方形 ABCD, AB= ,BC=1.以 AB 的中点 为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 .Oxoy()求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程 ;()过点 P(0,2)的直线 交( )中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,l l求出直线 l的方程;若不存在,说明理由.O xA BCD图 8