高中数学椭圆的经典知识总结.doc

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1、高中数学椭圆的经典知识总结椭圆知识点总结1. 椭圆的定义:1,2(1)椭圆:焦点在 轴上时 ( ) (参数方程,其中 为x12bya22abccosinxayb参数) ,焦点在 轴上时 1( ) 。方程 表示椭圆的充要条件是什么?y20ABC(ABC0,且 A,B ,C 同号,AB) 。2. 椭圆的几何性质:(1)椭圆(以 ( )为例):范围: ;焦点:两12byax0a,axby个焦点 ;对称性:两条对称轴 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶点(,0)c,xy,其中长轴长为 2 ,短轴长为 2 ;准线:两条准线 ; 离心率:,abb2c,椭圆 , 越小,椭圆越圆; 越大,椭圆越扁。通径e1e

2、eba2.点与椭圆的位置关系:(1)点 在椭圆外 ;0(,)Pxy201xya(2)点 在椭圆上 1;0(,)Pxy2ba(3)点 在椭圆内,0xy3直线与圆锥曲线的位置关系:(1)相交: 直线与椭圆相交;( 2)相切: 直线与椭圆相切; (3)相离:00直线与椭圆相离; 0如:直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点,则 m 的取值范围是_(答:215xym1,5) (5 ,+) ) ;4、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离) 的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 ,其中 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。0redaxd如(1)已知椭圆 上一点

3、P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为1625yx_(答:10/3) ;(2)椭圆 内有一点 ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 之值342),( F2最小,则点 M 的坐标为_(答: ) ;)1,3625、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:,当 即 为短轴端点时, 的最大值为 bc;20tan|Sbcy0|bPmaxS6、弦长公式:若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B ,且 分别为 A、B 的横坐标,ykxb12,x则 ,若 分别为 A、B 的纵坐标,则 ,若弦 AB 所AB21kx12, 2yk在直线方程设为 ,则 。特别地,焦点弦(过焦点

4、的弦):焦点弦的y21ky弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ;12byax0(,)Pxy 02yaxb如(1)如果椭圆 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 21369(答: ) ;( 2)已知直线 y=x+1 与椭圆 相交于 A、B 两点,280xy21(0)xyab且线段 AB 的中点在直线 L:x2y=0 上,则此椭圆的离心率为_(答: ) ;(3)试确2定 m 的取值范围,使得椭圆 上有不同的两点关

5、于直线 对称(答:1342y mxy4) ; 213,特别提醒:因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问0题时,务必别忘了检验 !椭圆知识点1如何确定椭圆的标准方程? 任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件 ;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式ba,确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量 的几何意义cba,椭圆标准方程中, 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆,的长半轴长、

6、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为: , ,且)0(ba)0(ca。)(22cba可借助右图理解记忆: 显然: 恰构成一个直角三角形的三条边,其中 a 是斜边,, b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方 法是:看, 的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。2xy4方程 是表示椭圆的条件均 不 为 零 )CBAyx,(2方程 可化为 ,即 ,所以只有 A、B、C 同号,且 A B 时,方BA2 12yx12BCyAx 程表示椭圆。当 时,椭圆的焦点在 轴上;当 时,椭圆的焦点在 轴上。Cxy5求椭圆标

7、准方程的常用方法: 待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数 的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;cba,定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点,则 c 相同。与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为 ,12byax)0(a 122mbyax)(2b此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于 轴、 轴、原点对称的依据: 若把曲线方程中的 换成 ,方程不变,则曲线关于 轴对称;xy 若把曲线方程中的 换成 ,方程不变,则曲线关于 轴对称;y x 若把曲线方程中的 、 同时换

8、成 、 ,方程不变,则曲线关于原点对称。xyxy8如何求解与焦点三角形PF 1F2(P 为椭圆上的点)有关的计算问题? 思路分析:与焦点三角形PF 1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式 相结合的方法进行计算解题。2121sinPFS将有关线段 ,有关角 ( )结合起来,建立 、211PF、 B21PF之间的关系. 21P9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系? 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 ,因为 ,)10(eac22bac,用 表示为 。0caba、 )10()12eabe显然:当 越小时, 越大,椭圆形状越扁;当 越大, 越

9、小,椭圆形状越0(ab)10(e趋近于圆。椭 圆题型 1:椭圆定义的运用例 1、已知 为椭圆 的两个焦点,过 的直线交椭圆于 A、B 两点若 ,则12,F2159xy1F21FB_。AB例 2、椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球(小球的半径不计) ,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 例 3、如果方程 表示焦点在 x 轴的椭圆,那么实数 k 的取值范围是_.22xky例 4、已知 为椭圆 上

10、的一点, 分别为圆 和圆 上的点,P156,MN231xy234xy则 的最小值为 MN题型 2: 求椭圆的标准方程 例 1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点 、 ; )2,3(A(3,1)B(2)经过点(2 , 3)且与椭圆 具有共同的焦点. 64922yx(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4.42题型 3:求椭圆的离心率(或范围)例 1、 中, 若以 为焦点的椭圆经过点 ,则椭圆的离心率ABC03,2,3ABCS,BC为 .例 2、过椭圆的一个焦点 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P,若 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 2F12F题

11、型 4:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)例 1、已知实数 满足 ,则 的范围为 ,xy2142xy例 2、已知 P 是椭圆 上一点, 是椭圆的两个焦点,求 的最大值与最小值21xyab12,F12PF例 3、已知点 是椭圆 ( )上两点,且 ,则 = ,AB21xymn0nAOB例 4、如上图,把椭圆 的长轴 分成 8 等份,过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于2516xyABx七个点, 是椭圆的一个焦点,则 _1,234567,PPF1234567PFPFPF题型 5:焦点三角形问题例 1、已知 为椭圆 的两个焦点,p 为椭圆上的一点,已知 为一个直角三角形的三个12,F219

12、4xy12,顶点,且 ,求 的值;12P12例 2、已知 为椭圆 C: 的两个焦点,在 C 上满足 的点的个数为 12,F2184xy12PF例 3、若 为椭圆 的两个焦点,p 为椭圆上的一点,当 为钝角时,点 P 横坐标的取值范12,29xy 12围为 例 4、已知椭圆的焦点是 ,且经过点(1, ) 求椭圆的方程; 设点 P 在椭圆上,且)0(,21F32,求 cos .21PFP题型 6: 三角代换的应用例 1、椭圆 上的点到直线 l: 的距离的最小值为_2169xy90xy例 2、椭圆 的内接矩形的面积的最大值为 2题型 7:直线与椭圆的位置关系的判断例 1、当 为何值时,直线 与椭圆

13、相交?相切?相离?myxm2169xy例 2、若直线 与椭圆 恒有公共点,求实数 的取值范围; )(1Rkxy52 m题型 8:弦长问题例 3求直线 被椭圆 所截得的弦长. 24yx219xy例 4、已知椭圆 的左右焦点分别为 F1,F2,若过点 P(0,-2)及 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,求21ABF 2 的面积; 题型 9:中点弦问题例 5、求以椭圆 内的点 A(2,-1 )为中点的弦所在的直线方程。2185xy例 6、中心在原点,一个焦点为 的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为 ,求椭圆的方1(0,5)F32yx12程例 7、椭圆 ,与直线 相交于 、 两点, 是 的中点若 ,斜

14、21mxny1xy 2AB率为 (O 为原点),求椭圆的方程题型 10:椭圆与向量、解三角形的交汇问题例 6、设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 、 两点,点 与点 关于 轴对称,,PxyxyABQPy为坐标原点,若 ,且 ,求 点的轨迹方程;O2BA1OQBP15. 如图,在 RtABC 中,CAB=90,AB=2,AC= 。一曲线 E 过点 C,动点 P 在曲线 E 上运动,且保2持|PA|+|PB|的值不变,直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。(1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程;(2)设直线 l 的斜率为 k,若MBN 为钝角,求 k 的取值范围。

15、基础巩固训练1. 如图 ,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 与 BF 交于 D,且 ,则椭圆的离心1AB1BD率为 2.设 为椭圆 的两焦点,P 在椭圆上,当 面积为 1 时, 的值为 12,F214xy12FP12PF3.椭圆 的一条弦被 平分,那么这条弦所在的直线方程是 36942A4.在 中, , 若以 为焦点的椭圆经过点 ,则该椭圆的离心率 ABC 03tanB, Ce5. 若 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 , 则此椭圆的离心率为 12,F 3:21:121PFFP6.在平面直角坐标系中,椭圆 的焦距为 2,以 O 为圆心, 为半径的圆,过点 作2(0)xyaba2(,0)

16、ac圆的两切线互相垂直,则离心率 = e综合提高训练7、已知椭圆 与过点 A(2,0) ,B(0,1)的直线 l 有且只有一个公共点 T,且椭圆的离心率21(0)xyab求椭圆方程;32e8.已知 A、B 分别是椭圆 的左右两个焦点,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,线21(0)xyab 21,段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。(1)求椭圆的标准方程; (2)点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于ABC,求 的sinABC值。9.已知长方形 ABCD, AB= ,BC=1.以 AB 的中点 为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 .Oxoy()求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程 ;()过点 P(0,2)的直线 交( )中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,l l求出直线 l的方程;若不存在,说明理由.O xA BCD图 8

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