1、- 1 -12 复合函数零点问题一、典型例题例 1：设定义域为 的函数 ，若关于 的方程 由 3 个不同的解R1,xfxx20fxbfc，则 _123,x2213x例 2：关于 的方程 的不相同实根的个数是（ ）210xA. 3 B. 4 C. 5 D. 8思路：可将 视为一个整体，即 ，则方程变为 可解得： 或 ，则只21x2t230t1t2需作出 的图像，然后统计与 与 的交点总数即可，共有 5 个t1t答案：C例 3：已知函数 ，关于 的方程 （ ）恰有 6个不1()|fxxx2()()0fafxb,aR同实数解，则 的取值范围是 a思路：所解方程 可视为 ，故考虑作出 的图像：2()(
2、)0fxfb2fxf fx， 则 的图像如图，由图像可,120,1xffx 知，若有 6 个不同实数解，则必有 ，所以2,f 12,4affx，解得 4a答案：例 4：已知定义在 上的奇函数，当 时，R0x 12,02xff，则关于 的方程 的实数根个数为（ ）x2610fxfA. B. C. D. 789思路：已知方程 可解，得 ，只需统计 与2ff121,3fxf1,23y的交点个数即可。由奇函数可先做出yfx 的图像，0x时， ，则 的图212fx2,4像只需将的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图0, 像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得 共有 7 个交点答案：B-
3、 2 -小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例 5：若函数 有极值点 ，且 ，则关于 的方程32fxabxc12,x1fxx的不同实根的个数是（ ）230fA3 B4 C 5 D6思路： 由极值点可得： 为 的两根，观察到方程与 23fxaxb12,x30axb结构完全相同，所以可得20 230fxafb的两根为 ，其中 ，若1122,fxfx11fx ，可判断12出 是极大值点， 是极小值点。且 1fxfx，所以 与 有两个交点，而 与1yfxf 2fx 有一个交点，共计 3 个；若 ，可判断出 是极小值点， 是极21x 大值点。且，所以 与 有两221ffy
4、ff 个交点，而与 有一个交点，共计 3 个。综上所述，共有xf 3 个交点答案：A例 6：已知函数 ，若方程 恰有七个不相同的实根，则实数 的取24fx20fxbfc b值范围是（ ）A. B. C. D. 2,0,1,1,2思路：考虑通过图像变换作出 的图像（如图） ，因为fx 20fxbfc最多只能解出 2 个 ，若要出七个根，则f 12,1，所以 ，解得：11,2bx2,1b答案：B例 7：已知函数 ，若关于 的方程 恰有 4 个不相等的实数根，则实数xfe210fxmf的取值范围是（ ）mA. B. C. D. 1,2,e1,e1,e,e思路： ，分析 的图像以便于作图，,0,xfe
5、fx 时，0x，从而 在 单调递增，在1xf, 单调递减，1,- 3 -，且当 ，所以 正半轴为水平渐近线；当 时， ，所以1fe,0xyx0x 1xfxe在 单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有 4 个不等实根，则关于 的方程x,0中， ，从而将问题转化为根分布问题，设21fmf1210,fxfxee，则 的两根 ，设 ，则有tfx2t12,tt21gtmt，解得20101gme 1,me答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例 8：已知函数 ，则下列关于函数 的零点个数判
6、断正确的是（ ）21,0logaxf 1yfxA. 当 时，有 4 个零点；当 时，有 1 个零点0aB. 当 时，有 3 个零点；当 时，有 2 个零点0aC. 无论 为何值，均有 2 个零点D. 无论 为何值，均有 4 个零点a思路：所求函数的零点，即方程 的解的个数，先作出 的图像，直线 为过定点1fxfx1yax的一条直线，但需要对 的符号进行分类讨论。当 时，图像如图所示，先拆外层可得0,1a0a，而 有两个对应的 ， 也有两个对应的 ，共计 4 个；当 时，21,fxfxa1fxx2fx0的图像如图所示，先拆外层可得 ，且 只有一个满足的 ，所以共一个零点。结合选 1项，可判断出
7、A 正确答案：A例 9：已知函数- 4 -，则方程 （ 为正实数）的实数根最多有23221,01,3xfxgx0gfxa_个思路：先通过分析 的性质以便于作图，,fxg 2362fxx，从而 在 单增，在 单减，f020,2 且， 为分段函数，作出每段图01,3 像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取 能对应 较多的情况，fx 由 图像可得，当fx时，每个 可对应 3 个 。只需判断,fx 中，ga能在 取得的值的个数即可，观察 图像31gx 可得，当时，可以有 2 个 ，从而能够找5,4a,1fx到 6 个根，即最多的根的个数答案：6 个例 10：已知函数 和 在 的图像yfxygx
8、2, 如下，给出下列四个命题：（1）方程 有且只有 6 个根0fg（2）方程 有且只有 3 个根x（3）方程 有且只有 5 个根f（4）方程 有且只有 4 个根0gx则正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出 的总数。x- 5 -（1）中可得 ，进而 有 2 个对应的 ， 有 3 个，123,0,1,2gxgx1gxx2gx有 2 个，总计 7 个， （1）错误；3x（2）中可得 ，进而 有 1 个对应的 ， 有 3 个，总计 4 个， （2）错12,ffxfxx2f误；（3）中可得 ，进而 有 1 个对应的 ， 有 3 个，123,0,2fxfff 2fx有 1 个，总计 5 个， （3）正确；fx（4）中可得： ，进而 有 2 个对应的 ， 有 2 个，共计 4 个，2,1,1gxgx1gxxgx（4）正确则综上所述，正确的命题共有 2 个答案：B
