1、 /211知识点串讲必修五/212第一章：解三角形11 1 正弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siniabABsincC一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。2、已知 ABC 中， A 06， 3,求 iiia证明出 siniabBsincCisinibc解：设 ii(o)ik则有 kA， k， ic从而 sinisinabc= isiinABC=k又 i032i6，所以 iiiabc=2评述：在 ABC 中，等式 siisi0insiinabckABC恒成立。3、已知 ABC 中， in:ii1:23ABC，求 :（答案：1：
2、2：3）1.1.2 余弦定理1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 22cosabAaBcC从余弦定理，又可得到以下推论： 22osbAccaB22osbC/2132、在 ABC 中，已知 23a， 62c， 0B，求 b 及 A解： 2osbcB= 22()()cos 045=16431)=8 2.b求 A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos22222()6)(31,cab 06.解法二：sin 023sinsi45,AB又 2 .41.8,3 .6, a c，即 0 A 09, 6.A评述：解法二应注意确定 A
3、的取值范围。3、在 ABC 中，若 22abc，求角 A（答案：A=120 0）11 3 解三角形的进一步讨论1、在 ABC 中，已知 ,abA，讨论三角形解的情况 分析：先由 sinibABa可进一步求出 B；则 08()CB 从而 sinCc1当 A 为钝角或直角时，必须 b才能有且只有一解；否则无解。2当 A 为锐角时，如果 a b，那么只有一解；如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若 sin，则有两解；/214（2）若 sinabA，则只有一解；（3）若 ，则无解。（以上解答过程详见课本第 9:10 页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角
4、且si时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。2、 （1）在 ABC 中，已知 80a， 1b， 045A，试判断此三角形的解的情况。（2）在 ABC 中，若 ， 2c， C，则符合题意的 b 的值有_个。（3）在 ABC 中， xm， ， 0B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3） 2x）3、在 ABC 中，已知 7a， 5b， 3c，判断 ABC 的类型。解： 275，即 22， ABC是 钝 角 三 角 形 。4、 （1）在 ABC 中，已知 sin:isi1:2ABC，判断 ABC 的类型。 （2）已知 ABC 满足条件 coab，
5、判断 ABC 的类型。 （答案：（1） 是 钝 角 三 角 形 ；（2） ABC 是等腰或直角三角形）5、在 ABC 中， 06， 1，面积为 3，求 sinisinabcABC的值siniabABsincCisiniabcABC解：由 12S得 2，则 2coab=3，即 3a，从而 sinisinABCiA/2151.2 解三角形应用举例1、两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60，则 A、B 之间的距离为多少？解略： 2a km2、 某人在 M 汽车站的北偏西 20的方向上的 A 处，观察到点
6、C 处有一辆汽车沿公路向 M 站行驶。公路的走向是 M 站的北偏东 40 。开始时，汽车到 A 的距离为 31 千米，汽车前进 20 千米后，到 A的距离缩短了 10 千米。问汽车还需行驶多远，才能到达 M 汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进 20 千米后到达 B 处。在 ABC 中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC= CAB22= 31,则 sin C =1- cos C = 24, sinC = 31,所以 sin MAC = sin（120 -C）= sin120 cosC - cos120sinC = 6235在 MAC 中，由正弦定理得MC = AMC
7、sin= 23165=35从而有 MB= MC-BC=15答：汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站。3、S= 21absinC， ，S= 21bcsinA, S= 21acsinB4、在 ABC 中，求证：（1） ;sin22BAcba （2） a+2b+c=2（bccosA+cacosB+abcosC）/216证明：（1）根据正弦定理，可设Aasin = Bbi = Ccsin = k显然 k 0，所以左边= kBAc222sin= CB2sin=右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc bca2+ca cab2+ab abc2)=(b +c - a )+(c 2+a -b )
8、+(a +b -c )=a 2+b +c 2=左边变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30,b=6,c=6 3,求 a 及 ABC 的面积 S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9 3;a=12,S=18 35、如图，在四边形 ABCD 中， ADB= BCD=75 ， ACB= BDC=45 ，DC= 3，求：（1） AB 的长（2） 四边形 ABCD 的面积略解（1）因为 BCD=75 ， ACB=45 ，所以ACD=30 ，又因为 BDC=45 ，所以DAC=180 -（75 + 45 + 30 ）=30 ， 所以 AD=DC= 3在
9、BCD 中， CBD=180 -（75 + 45 ）=60 ，所以/21775sinBD= 60siC ，BD = 60sin753= 2在 ABD 中，AB 2=AD + BD 2-2AD BD cos75 = 5,所以得 AB=（3） S ABD= 21 AD BD sin75 = 43同理， S C= 43所以四边形 ABCD 的面积 S= 6第二章：数列21 数列的概念与简单表示法1、概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第
10、 n 项的定义及数列的记法：an2、数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。3、数列的表示方法：项公式列表和图象等方法表示数列4、 = 2 an-1 + 1（nN，n1） ， （） 式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。22 等差数列1、数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。2、个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项。3、等差数列中，若 m+n=p+q 则 qpnma/2184、通项
11、公式：以 1a为首项，d 为公差的等差数列 na的通项公式为： dnan)1(5、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）： n是等差数列，所以 ,1dn2a,3n,12da两边分别相加得 )(nn所以 1（迭代法）： na是等差数列，则有 dan2 nda3nda)1(所以 nn16、 求等差数列 8，5，2，的第 20 项.-401 是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？解：由 1a=8，d=5-8=-3，n=20，得 49)3(2(820a由 =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为 ,14)(5nan 由题意知，本题是要回答是否存在正整数 n
12、,使得-401=-4n-1 成立。解这个关于 n 的方程，得 n=100，即-401 是这个数列的第 100 项。7、某市出租车的计价标准为 1.2 元/km，起步价为 10 元，即最初的 4km（不含 4 千米）计费 10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，需要支付多少车费？/219解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4km 时，每增加 1km，乘客需要支付 1.2 元.所以，我们可以建立一个等差数列 na来计算车费.令 1a=11.2，表示 4km 处的车费，公差 d=1.2。那么当出租车行至 14km 处时，n=11，此时需要支付
13、车费 )(2.3.1)(2. 元答：需要支付车费 23.2 元。22 等差数列的前 n 项和1、倒序相加法求和我们用两种方法表示 nS：（1） ,)1(.)2()(11 dnadaaSn dnn由+，得 21111nna个（ ） +（ ） （ ） +（ ）)(1na由此得到等差数列 n的前 n 项和的公式 2)(1nnaS（2） 123.nnSaa= 11()().()dand= 1.d= 2()nan/2110= 1()2nad2、已知一个等差数列 n前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220.由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗？解：由题意知 103S， 201S，将它们代入公式 nad（ ） ，得到 14520920d，解这个关于 1a与 d 的方程组，得到 1a=4，d=6，所以 2463nSn（ ）另解： 100得 12a； 0201S所以 1； -，得 6d，所以 代入得： 14a所以有 213nSdn（ ）3、已知数列 的前 n 项为 2n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据 121.nnSaa与 （ ）可知，当 n1 时， 221 112nn n（ ） （ ） 当 n=1 时， 213aS 也满足式.
