1、 /281知识点串讲必修四/282第一章：三角函数1.11 任意角1、角的有关概念： 角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 角的名称： 角的分类： 2、象限角的概念： 定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几 象限，我们就说这个角是第几象限角终边相同的角的表示：所有与角 终边相同的角，连同 在内，可构成一个集合S | = + k360 ，k Z，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整个周角的和注意： k Z 是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们
2、相差360的整数倍； 角 + k720 与角 终边相同，但不能表示与角 终边相同的所有角3、写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0到 360的角表示) 解: | = 90+ n180,nZ4、已知 角是第三象限角，则 2 ， 各是第几象限角？解： 角属于第三象限， k360+180 k360+270(kZ)因此，2 k360+3602 2 k360+540(kZ)即(2 k +1)3602 (2 k +1)360+180(kZ)故 2 是第一、二象限或终边在 y 轴的非负半轴上的角又 k180+90 k180+135(kZ) 当 k 为偶数时，令 k=2n(nZ)，则 n360+90 2 n3
3、60+135(nZ) ，当 k 为奇数时，令 k=2n+1 (nZ)，则 n360+270 n360+315(nZ) ，因此 2属于第二或第四象限角1.1.2 弧度制1、弧度制我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下, 1 弧度记做 1rad在实际运算中，常常将 rad 单位省略2、 弧度制的性质：负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边终边顶点 AOB正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角/283半圆所对的圆心角为;r整圆所对的圆心角为.2r正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零 角 的弧度
4、数的绝对值|=. l3、弧长公式 rl弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 .,216. 是 圆 的 半 径是 扇 形 弧 长其 中积 公 式利 用 弧 度 制 证 明 扇 形 面例 RllRS证法一:圆的面积为 2R,圆心角为 1rad 的扇形面积为21,又扇形弧长为 l,半径为 R,扇形的圆心角大小为lrad, 扇形面积ll2证法二:设圆心角的度数为 n，则在角度制下的扇形面积公式为 3602RnS，又此时弧长 180Rnl，RlnS2180可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多 2:l扇 形 面 积 公 式1.2.1 任意角
5、的三角函数1、三角函数定义在直角坐标系中，设 是一个任意角， 终边上任意一点 P（除了原点）的坐标为 (,)xy，它与原点的距离为 22(| 0)rxyxy，那么（1）比值 y叫做 的正弦，记作 sin，即 ir； /284（2）比值 xr叫做 的余弦，记作 cos，即 sxr； （3）比值 y叫做 的正切，记作 tan，即 ty； （4）比值 x叫做 的余切，记作 c，即 x； 2三角函数的定义域、值域3、求函数 xytancos的值域解： 定义域：cosx0 x 的终边不在 x 轴上 又tanx0 x 的终边不在 y 轴上当 x 是第象限角时， ,0y cosx=|cosx| tanx=|
6、tanx| y=2, |cosx|=cosx |tanx|=tanx y=2, ,yx |cosx|=cosx |tanx|=tanx y=04、诱导公式 )Z(tan)2tan(coscosiikk5、三角函数线的定义：设任意角 的顶点在原点 O，始边与 x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P(,)xy，过 P作 x轴的垂线，垂足为 M；过点 (1,0)A作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线交与点 T.函 数 定 义 域 值 域sinyR1,cota|,2kZRoxyTPoxyMTPAxyoTPAxyoMPA（）（）/285由四个图看出：当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段 ,O
7、MxPy，于是有sin1yPr， cos1r， tanMPATxO我们就分别称有向线段 ,AT为正弦线、余弦线、正切线。说明：（1）三条有向线段的位置：正弦线为 的终边与单位圆的交点到 轴的垂直线段；余弦线在 x轴上；正切线在过单位圆与 x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向 的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与 的终边的交点。（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与 x轴或 y轴同向的为正值，与 x轴或 y轴反向的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。6
8、、利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 32sin与 54i 2 3tan与 54t 解： 如图可知：32sin54sintan 32 tan 54 1.2.2 同角三角函数的基本关系1、 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：1. （1）商数关系： consita （2）平方关系： 1sin22co2、已知 2sin3，并且 是第二象限角，求 cos,tact （）（） /286解： 22sincos1， 222215cos1in()3又 是第二象限角， cs0，即有 5，从而sitanco5， 1otan23、已知 2i，求 cssi44、求证： s1incx证法一：由题义知 o0，所
9、以 in0,1ixx左边= 2()s()1siicoxsnco右边原式成立证法二：由题义知 c，所以 i,ixx又 22(in)(i)1sinss， cos1sx证法三：由题义知 co0x，所以 i0,1inxxsinixs()(s)1nco22cos1in0()sx， co1ss13 诱导公式1、诱导公式（一） tan)360tan(cos)60(cos sin)360sin( kkk诱导公式（二） t18t18i8i 诱导公式（三）22sinicos/287tan)ta(cos)s( sin)si( 诱导公式（四）sin( )=sin cos( )= cos tan ( )= tan诱导公
10、式(五) sin2cos( s)2sin诱导公式（六） i)( )i( 2、化简： .)29sin()si()3sin()co( 1co2si 3、 .3co4)tan(,0c,54si 的 值求且已 知 4、化简: );2cos()sin(25sico)1( .)sin(360ta)(cos)2o5、 .273021cos,i 2 的 两 根 ， 且的 方 程是 关 于已 知 axx.)90in()18(6cos6tan的 值求 1.4.1 正弦、余弦函数的图象1、y=cosxy=sinx 2 3 4 5 6-2-3-4-5-6-6 -5 -4 -3 -2 - 65432-11yx-11ox
11、y/288正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数 y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) ( 2,1) (,0) ( 23,-1) (2,0)余弦函数 y=cosx x0,2的五个点关键是哪几个？(0,1) ( ,0) (,-1) ( ,0) (2,1)3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的 x 的集合：1()sin;2x15(2)cos,(0).2x1.4.2 正弦、余弦函数的性质1、奇偶性： y=cosx 是偶函数 y=sinx 是奇函数。2、单
12、调性正弦函数在每一个闭区间 22 k ， 2 k ( kZ)上都是增函数，其值从1 增大到1；在每一个闭区间 2 k ， 32 k ( kZ)上都是减函数，其值从 1 减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2 k1) ，2 k ( kZ)上都是增函数，其值从1 增加到 1；在每一个闭区间2 k ，(2 k1) ( kZ)上都是减函数，其值从 1 减小到1.3、有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx 的对称轴为 x= 2k kZ y=cosx 的对称轴为 x= k kZ4、判断下列函数的奇偶性(1) 1sinco();xf (2) 2()lgsin1si);fxx1.4.3 正切函数的性
13、质与图象1、正切函数 tanyx的定义域是什么？ zkx,2|2、 Rt，且 zk2的 图象，称“正切曲线” 。/2893、正切函数的性质（1）定义域： zkx,2|；（2）值域：R 观察：当 从小于 k， 2 x时， tanx 当 x从大于 z2， k 时， 。（3）周期性： T；（4）奇偶性：由 tanta知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间 zk2,内，函数单调递增。4、求下列函数的周期：（1） 3tan5yx 答： T。 （2） tan36yx 答： 3T。说明：函数 0,A的周期 T5、求函数 3tanxy的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解：1、由 2k得
14、1853kx，所求定义域为 zkxR,1853,| 且2、值域为 R，周期 T， 3、在区间 zk1853,上是增函数。1.5 函数 y=Asin(wx+)(A0，w0) 的图象1、函数 y = Asin(wx+)，(A0，w0)的图像可以看作是先把 y = sinx 的图像上所有的点向左(0)或向右(0)平移|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w1)或伸长(01)或缩短(0A1)到原来的 A 倍，(横坐标不变)。即：平移变换周期变换振幅变换。2、 函数 y = sin2x 图像向右平移 125个单位所得图像的函数表达式为 )125(sinxy函数 y = 3cos(x+ 4)图像向左平移 3
15、个单位所得图像的函数表达式为 7co3函数 y = 2loga2x 图像向左平移 3 个单位所得图像的函数表达式 )(lg2xya函数 y = 2tan(2x+ )图像向右平移 3 个单位所得图像的函数表达式为(2tnx3、函数 y = Asin(wx+)表示一个振动量时：A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.T： . 2间 ， 称 为 “周 期 ”往 复 振 动 一 次 所 需 的 时f ： . 1次 数 ， 称 为 频 率单 位 时 间 内 往 返 振 动 的:x称为“相位” .x=0 时的相位，称为“初相”.4、 .)|(sin.2的 表 达 式求由 右 图 所 示 函 数 图 象 ，例 Ay解析：由图象可知 A=2， ).42sin(.082),(.2,)8(7xyT为因 此 所 求 函 数 的 表 达 式，）（因 此 ，为 五 点 作 图 的 第 一 个 点又 ，即1.6 三角函数模型的简单应用1、画出函数 y|sin x|的图象并观察其周期.212yo x8 8387 |sin22x
