1、高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系, .UxACxAx2.德摩根公式 .();()UUUBBC3.包含关系 AACAR4集合 的子集个数共有 个；真子集有 1 个；12,na 2n2n非空子集有 1 个；非空的真子集有 2 个.5.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 ;2()(0)fxabc(2)顶点式 ;)hka(3)零点式 .12fx6.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处)0()(2acbxf qp, abx2及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若 ，则 ；qp, minmax()(),(),2bfxfffpq若 ， ， .q
2、pabx,2max(),fqini(2)当 a0 时，若 ，则 ，bx,2min()(),fxfpq若 ，则 ， .x,max(),fpmin(),xfpq7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间 上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要, ,0fxt条件是 min(,)0()fxtL(2)在给定区间 上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要, ,ft条件是 .,anft(3) 恒成立的充要条件是 或 .0)(24cbxf 0abc240ac8.四种命题的相互关系原命题 互逆 逆命题若则 若则互 互互 为 为 互否 否逆 逆 否 否否命题 逆否命题 若非则非
3、互逆 若非则非9.充要条件（1）充分条件：若 ，则 是 充分条件 .pq（2）必要条件：若 ，则 是 必要条件.（3）充要条件：若 ，且 ，则 是 充要条件 .pq注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.10.函数的单调性(1)设 那么2121,xbax上是增函数；()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.1212xx,在(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如)(fy)(f)(xf果 ，则 为减函数.0)(f11奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函
4、数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数12.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴)xfR)()(xbfaxf)(xf是函数 ;两个函数 与 的图象关于直线2baxyy对称.13.两个函数图象的对称性(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.()yfx()yfx0xy(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.()yfmxa()yfbmx2abxm(3)函数 和 的图象关于直线 y=x 对称.)1xf14.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数)(f的图象；若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得baxfy)( 0,(yab到曲线 的图象.0,y15
5、.几个常见的函数方程(1)正比例函数 , .()fxc()(),(1fyfxyfc(2)指数函数 , .a0a(3)对数函数 , .logf,1)fff(4)幂函数 , .()x()(),yxy16有理指数幂的运算性质(1) .(0,)rsrsaQ(2) .()(3) .,rrbbr注： 若 a0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数 幂都适用.17.指数式与对数式的互化式.logbaN(0,1)aN18.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ).llma 0m10N推论 ( ,且 , ,且 , , ).oglmnabanm1n019对数的四
6、则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1) ;log()llogaaN(2) ;a(3) .ll()naR20.等差数列的通项公式；*11()()nadnaN其前 n 项和公式为1()2nnas1()2d.1dd21.等比数列的通项公式；1*()nnaqN其前 n 项的和公式为1(),nnsaq22常见三角不等式（1）若 ，则 .(0,)2xsintax(2) 若 ，则 .1cos2(3) .|sin|cos|23.同角三角函数的基本关系式 ， = ， .22si1tancositan1cot24.正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变 符号看象限25.和角与差角公式;sin()sicosin;c
7、otanta()1t= (辅助角 所在象限由点 的象限决定,sinsb2si)b()ab).t26.二倍角公式 .sin2icos.2222coincs1sin.tata1.27.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，sin()yxcos()yx且 A0，0)的周期 ；2T函数 ， (A, 为常数，且 A0，0)tan()yx,kZ的周期 .T28.正弦定理 .（R 是外接圆的半径）2sinisinabcABC29.余弦定理;22coabA;sca.30.面积定理（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）.122abcShhabch、 、（2） .1sinsisin
8、CAB31.三角形内角和定理 在ABC 中，有 ()B.2A2AB32.向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律）;(2)（ a）b= （ ab）= ab= a（ b）;(3)（ a+b）c= a c +bc.33.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、 2，使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底34. a 与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos数量积 ab 等于 a 的长度| a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积35.平
9、面向量的坐标运算(1)设 a= ,b= ，则 a+b= .1()xy2(,)12(,)xy(2)设 a= ,b= ，则 a-b= . (3)设 A ，B ,则 .1(,)xy2()21(,)ABOxy(4)设 a= ，则 a= .R(,)xy(5)设 a= ,b= ，则 ab= .12,xy12)36.两向量的夹角公式(a= ,b= ).122cosxy1)xy2(,)37.平面两点间的距离公式=,ABd|AB(A ，B ).2211()()xy1(,)xy2(,)38.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则1()2(,)a|b b=a .121xya b(a 0) ab=0 .
10、2y39.线段的定比分点公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，1(,)Pxy2(,)xy(,)Px12P12P则 12y12O（ ）.12()OPttPt40.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC 的重1A(x,y)2B3C(xy)心的坐标是 .123123(,xyG为 的重心 .OABC0OC41.点的平移公式 . xhxhykyk P注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，F(,)Pxy且 的坐标为 .P(,)hk42.“按向量平移”的几个结论（1）点 按向量 a= 平移后得到点 .(,)xy(,)hk(,)Pxh
11、yk(2) 函数 的图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的函数fC,)kC解析式为 .(3) 图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 (,) ()yfx的函数解析式为 .Cyfxhk(4)曲线 : 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的方程为(,)0, .(,)fxhyk(5) 向量 m= 按向量 a= 平移后得到的向量仍然为 m= .,(,) (,)xy43.常用不等式：（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2b（2） (当且仅当 ab 时取“=”号)a（3） 330,).cc（4）柯西不等式： 222()(,.bdcdR（5） .ba44.最值定理（积定和
12、最小）已知 都是正数，则有yx,（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；pyxp2（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .sx41s推广 已知 ，则有Ryx, y)()(22（1）若积 是定值,则当 最大时, 最大；|yx|当 最小时, 最小.|（2）若和 是定值,则当 最大时, 最小；| |x当 最小时, 最大.|yx|45.指数不等式与对数不等式 (1)当 时,1a; ()()()fxgxfgx.0lol()aafff(2)当 时,01;()()fxgxfgx()0log()l()aafxfxgfg46.斜率公式 （ 、 ）.21ykx1(,)Pxy2(,)xy47.直线的五种
13、方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )11)ykxl1(,)Pxyk（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).b（3）两点式 ( )( 、 ( ).212121(,)2,)12x(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， )xyab、 0ab、（5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0ABC48.两条直线的平行和垂直 若 ，11:lykxb22:lykxb ;2|, .112l49. 到 的倒角公式 2(1) .21tank( ， , )1:lyxb2:lykxb1250两种常用直线系方程(1)平行直线系方程：与直线 平行的直线系方程是0AByC( )， 是参变量0Ax
14、By(2)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系x方程是 , 是参变量51.点到直线的距离 (点 ,直线 ： ).02|AxByCd0)Pxyl0AxByC52. 或 所表示的平面区域设直线 ，则 或 所表示的平面区域是：:lxyxy（1）若 ，当 与 同号时，表示直线 的上方的区域；当 与0BAxByClB异号时，表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.AxyCl（2）若 ，当 与 同号时，表示直线 的右方的区域；当 与 lA异号时，表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.l53. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .22()()xaybr（2）圆的一般方
15、程 ( 0).0DEF24EF（3）圆的参数方程 .cosinr（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点1212()()0xy是 、 ).1(,)Axy2(,)By54.直线与圆的位置关系直线 与圆 的位置关系有三种:0C22)()(rbyax;交rd;.交其中 .2BAbad55.椭圆 的参数方程是 .21(0)xyabcosinxayb椭圆 焦半径公式 2()， .21caxePF)(22xcaePF椭圆的的内外部（1）点 在椭圆 的内部 .0(,)xy21(0)yab201xyab（2）点 在椭圆 的外部 .,P2x256.双曲线 的焦半径公式21(0,)xyab， .1|()|PFec2
16、2|(|PFexc双曲线的内外部(1)点 在双曲线 的内部 .0(,)xy21(0,)yab201xyab(2)点 在双曲线 的外部 .,P2,x2双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12byax20xyabxab(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .02(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦12byax 2byax0点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）.057. 抛物线 的焦半径公式pxy2抛物线 焦半径 .()02pCFx过焦点弦长 .CD12158.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22221212()|tan|tABkxxyco（弦端点 A ，由方程 消去 y 得到 ，),(,1yB0),(Fbkx0cbxa, 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）. 059证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；
