1、高二上半期考试数学试题第卷（选择 题 共 50 分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上1、 选择题：本题共有 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1直线 l 的倾斜角是斜率为 的直线的倾斜角的 2 倍，则 l 的斜率为( ) 33A1 B C D 3233 32以圆 的圆心为圆心，半径为 2 的圆的方程( )022yxA B 214xyC D212yx 3设 m，n 是两
2、条不同的直线， ， 是两个不同的平面( )A若 m ，n，则 mn B若 m，m，则 C若 m， ，则 m D若 mn，m，则 n4在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( )A30 B45 C60 D905在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设 A( ， )，B( ，0) ，C ( ， )，则( )1212 12 1212 1313 13AOAAB BAB AC CAC BC DOBOC6若点 P(1,1)为圆(x 3) 2y 29 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为(
3、)A2xy30 Bx 2y10 Cx2y 30 D2xy107将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，则异面直线 AB 与 CD 夹角的余弦值是（ ）A B C D 123638已知过点 P(2,2)的直线与圆( x1) 2y 25 相切，且与直线 axy 10 垂直，则 a( )A B1 C 2 D12 129已知点 P(x，y) 满足Error!点 Q(x，y)在圆( x2) 2(y2) 21 上，则|PQ|的最大值与最小值为( )A6,3 B6,2 C5,3 D5,2 10如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且总是保持
4、APBD 1，则动点 P 的轨迹是( )A线段 B1CB线段 BC1CBB 1 中点与 CC1 中点连成的线段DBC 中点与 B1C1 中点连成的线段第 卷注意事项：必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）把答案填在答题卷中的横线上.11直线 l1，l 2 的斜率 k1，k 2 是关于 k 的方程 2k23kb0 的两根，若 l1l 2，则b_；若 l1l 2，则 b_ 12过点 M(2,4) 作圆 C：(x2) 2
5、( y1) 225 的切线 l，且直线 l1：ax3y2a0 与 l平行，则 l1 与 l 间的距离是_13以直线 2xy 40 与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为_14已知变量 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则实数 ,xy1,3xyzkxy5k15已知 m、n 为直线，、 为平面，下列命题：Error! n；Error!m n；Error!；Error!mn 其中正确的命题是 （写出所有正确命题）三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 （本小题满分 12 分）三角形的三个顶点是 , , .(40)A2B(03)C(1
6、) 求 边的中线所在直线 的方程；AB1l(2) 求 边的高所在直线 的方程；C2(3) 求直线 与直线 的交点坐标.1ll17 （本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，D、E、F 分别为棱 PC、AC、AB 的中点，已知 PAAC，PA 6，BC 8，DF5.(1) 证明：直线 PA面 DEF；(2) 证明：平面 BDE平面 ABC.18 （本小题满分 12 分）已知一个圆 C 与 y 轴相切，圆心 C 在直线 l1：x3y0 上，且在直线 l2：xy0 上截得的弦长为 2 ，求圆 C 的方程719 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 a 的正
7、方形，侧棱PDa，PA PC a，2(1) 证明：PD 平面 ABCD；(2) 求异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值；(3) 求二面角 PBCD 的正切值20 （本小题满分 13 分）已知圆 C：x 2y 22x4y40，斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于A、B 两点(1) 化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；(2) 是否存在直线 l，使以线段 AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由21 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：( x3) 2(y 1) 24 和圆C2：(x4) 2(y 5) 24(1) 若直线 l
8、过点 A(4,0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 ，求直线 l 的方程；3(2) 设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2，它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标数学参考答案评分标准一、选择题BDDCC、DBCBA二、填空题11. 2， 12. 13x 2( y4) 220 或(x2) 2y 220 14 或 15. 98 125 12三、解答题16解：（1） （4 分）390（2） （8 分）8xy（3） （12 分）(,)17证明：(1)
9、在PAC 中，D 、E 分别为 PC、AC 中点，则 PADE ，PA 面 DEF，DE面 DEF，因此 PA面 DEF （6 分）(2)DEF 中，DE PA3， EF BC4，DF5，12 12DF2 DE2EF 2，DEEF，又 PAAC，DEAC.DE面 ABC，面 BDE面 ABC. （12 分）18.分析：设出圆心坐标，利用几何性质列方程求出圆心坐标，再求出半径即可解： 圆心 C 在直线 l1：x3y0 上，可设圆心为 C(3t，t) （2 分）又 圆 C 与 y 轴相切， 圆的半径为 r|3t|. （4 分）再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得( )2 ( )2|3t
10、| 2. 解得 t1. （8 分）|3t t|2 7圆心为(3,1)或(3，1)，半径为 3. （10 分）故所求圆的方程为(x3) 2(y1) 29 或(x3) 2(y1) 29. （12 分）19.证明：(1)PDa，DCa，PC a，2PC2PD 2DC 2.PDDC. （3 分）同理可证 PDAD，又 ADDCD，PD平面 ABCD. （6 分）(2)四边形 ABCD 是正方形，ABCD,即PBA 是异面直线 PB 与 CD 所成的角，由(1)知 PD平面 ABCD，PDAB. 由 DAAB .AB面 PAD. 即 ABPA, （8分）在 RtPAB 中, PA a，ABa，COSPB
11、A= （9 分）2 3(3)由(1)知 PDBC，又 BCDC，BC平面 PDC.BCPC. PCD 为二面角 PBC D 的平面角 （11 分）在 RtPDC 中，PDDCa， PCD45.二面角 PBC D 的正切值是 1 （12 分）20解：(1)( x1) 2( y2) 29.圆心 C(1，2) ，r3. （6 分）(2)假设存在直线 l，设方程为 yx m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因此直线 AB 的圆过原点 O，所以 OAOB ，即 x1x2y 1y20. （7 分）Error!消去 y 得 2x22(m1)x m 24m 40.0 得 3 3m3 3. （9
12、分）2 2由根与系数关系得：x1x 2(m1)，x 1x2 ，m2 4m 42y1y2(x 1m)(x 2m)x 1x2m (x1x 2)m 20.x1x2y 1y22x 1x2m(x 1x 2)m 20. 解得 m1 或4. （12 分）直线 l 方程为 yx1 或 yx4. （13 分）21解：(1)由于直线 x4 与圆 C1 不相交，所以直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为yk(x 4)，圆 C1 的圆心 C1(3,1)到直线 l 的距离为 d ， 2 分|1 k 3 4|1 k2因为直线 l 被圆 C1截得的弦长为 2 ，34 ( )2d 2， k(24k7) 0， 3即 k0
13、或 k ， 4 分724所以直线 l 的方程为 y0 或 7x24y280 6 分(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1的方程为 ybk(xa) ，k0，则直线 l2的方程为 yb (xa)，因为 C1和 C2的半径相等，及直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l2被1k圆 C2截得的弦长相等，所以圆 C1的圆心到直线 l1的距离和圆 C2的圆心到直线 l2的距离相等，即 8 分|1 k 3 a b|1 k2|5 1k4 a b|1 1k2整理得：|13 kakb| |5k4abk|，1 3kakb5k4abk或 13kakb5k 4 abk，即(ab2) kba3 或(ab8)kab5. 10 分因为 k 的取值有无穷多个，所以Error!，或 Error!， 解得Error! 或Error!这样点 P 只可能是点 P1 或点 P2 .(52， 12) ( 32，132)经检验点 P1 和 P2 满足题目条件 14 分
