1、数学分析中极限的求法 摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式,
2、 级数收敛的必要条件.极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数 yf(x)在 0x处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。1：利用两个准则求极限。(1)夹逼准则：若一正整数 N,当 nN 时，有 nxynz且limli,nnxxza则有 limnxya . 利用夹逼
3、准则求极限关键在于从 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列 ny和 nz，使得 nnyxz。例1 22211.nx求 n的极限解：因为 x单调递减，所以存在最大项和最小项222211.n nxn222211.n nxn则 221nx又因为 22limlixxnli1nx（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：1 证明下列数列的极限存在，并求极限。 123,nyaayayaa 证明：从这个数列构造来看 n 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 21321,nnya
4、yya 所以得 nn. 因为前面证明 是单调增加的。两端除以 ny得1n因为 1,na则 n, 从而1nayy即 n 是有界的。根据定理 ny有极限，而且极限唯一。令 limyl 则 21lilim()na则 2la. 因为 0,ny 解方程得142al所以 14lim2nal2：利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但
5、不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例；求极限(1)21limx(2) 3lix(3) 31li()x(4) 已知 11,2()n n 求 limnx解：(1) 21limx 1()lix 1li2x 3 (2)3lix 3(2)()lix 3li()12)xx 4(3) 31li()x231limx 21()li1xx 21limx-1 (4) 因为 11,23()nxn 14 nn所以 1limli()nx3：利用两个重要极限公式求极限两个极限公式 (1) 0sin1llmsixx:(2)101li()li()xxx e在这一类型题中，一般
6、也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例：求下列函数的极限4(1) 230limcoscsos2nnxx (2)2li(1)m解：(1) 23coscsos2nxx 231sincoscosin22xxx sin2x3limcoscsos2nnx 1liin2snxsin =lm2xsix230limcoscsos2nxnxx 0limxs1(2) 2li(1)m2()li(1mnm:2()li(nm: 0e14：利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在
7、。例：x021sin,()fx求 f(x)在 x=0 的左右极限解： 01limsnx10lix100li()li()xxffm5：利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点 0x连续 g( 0)=u,而 y=f(u)在点 0x连续，那么复合函数 y=f(g(x)在点 连续。即0 0lim()()(lim)x xfgffg也就是说，极限号 0limx可以与符号 f 互换顺序。例：求1limn()xx解：令 ylnu, u ()x因为 lnu 在点 01lin()xxe处连续所以 lim()xx1lni()xx le16：利用无穷小量的性质求极限：无穷小量的性
8、质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果0lim()xf,g(x)在某区间 00(,)(,)xx有界，那么 0lim()0xfgx.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。例：求sinlx解： 因为 si1 1lim0x所以 nlix07：利用等价无穷小量代换求极限：等价无穷小量：当 1yz时，称 y,z 是等价无穷小量：记为 y :z 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。例：求430lim(sn)2x解： i:430lim(sn)2x430li()x430lim8x88：利用导数的定
9、义求极限导数的定义：函数 f(x)在 0x附近有定义， ,x:则 00()(yfxfx: 如果00()(limlixxffy:存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 0 的导数记为 /0()f.即/ 000()()limxffxf:在这种方法的运用过程中。首先要选好 f(x)。然后把所求极限。表示成 f(x)在定点 0的导数。例：求 2lim()xctgx解：取 f(x)= t.则22211li()li ()2limxxxcgttg 2()limxf/1()2f21sec)x19：利用中值定理求极限：1：微分中值定理：若函数 f(x) 满足 ( i) 在 ,ab连续 .( i)在(a,b)可导
10、；则在(a,b)内至少存在一点 ，使 /()fbaf例2：求 30sin()silmxx解： i()i(i)cos(in)x 01 30snslx30(i)co(sin)lmx x 20s1colix 0inl6x12：积分中值定理：设函数 f(x) 在闭区间 ,ab上连续 ;g(x) 在 ,ab上不变号且可积，则在 ,ab上至少有一点 使得 ()()aafxgfgxd ab例：求 40limsnnxd解： 40lin li()nsx04 lim()4nn010：洛必达法则求极限：洛必达法则只能对0或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当
11、/()limfxg等于 A 时，那么()limfxg也存在且等于 A. 如果/()lifxg不存在时，并不能断定()lifx也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论 ()lifg。例1：(1) 求 0lnsimx(2)求 lix解：(1) 由 00nslinsx所以上述极限是 待定型0lnsimx 0cosinlixmx 0sinlxm1(2) lix它为 型由对数恒等式可得 lnxxe0lix= 0limnxe0li1xx0lix 0e11：利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数 f(x)。把所求极限的和式表示成 f(x)在某区间 ,ab上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。例：求 22221lim(1)nnn 解：由于 22221(1)nnn 222111nnn 可取函数 f(x) 2x区间为 0,1上述和式恰好是 21()fx在 0,1上 n 等分的积分和。所以 2222lim(1)nnn lin222111nn 120dx 412：利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数 1n收敛，则 0n运用这个方法首先判定级数 1n收敛，然后求出它的通项的极限例： 2 求 2lim!n
