1、第一讲 函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作 N、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作 N+。、全体整数组成的集合叫做整数集，记作 Z。、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作 Q。、全体实数组成的集合叫做实数集，记作 R。集合的表示方法、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“”括起来表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征
2、来表示集合集合间的基本关系、子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，我们就说 A、B 有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B。、相等：如何集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，此时集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全一样，因此集合 A 与集合 B 相等，记作 AB 。、真子集：如何集合 A 是集合 B 的子集，但存在一个元素属于 B 但不属于 A，我们称集合 A 是集合B 的真子集，记作 A。、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之间的基本关系，可
3、以得到下面的结论：、任何一个集合是它本身的子集。、对于集合 A、B、C，如果 A 是 B 的子集，B 是 C 的子集，则 A 是 C 的子集。、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算、并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集。记作 AB。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即 ABx|xA，或 xB。、交集：一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集。记作 AB。即 ABx|xA，且 xB。、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所
4、涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作 U。、补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U的补集。简称为集合 A 的补集，记作 CUA。即 CUAx|xU，且 x 不属于 A。、运算公式：交换律：AB=BA AB=BA结合律：（AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC）分配律：（AB)C=（AC）（BC)（AB)C=（AC）（BC)对偶律：CU（AB)=C UACU BCU（AB)=C UACU B集合中元素的个数、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。、用 card 来表示有限集中元素
5、的个数。例如 Aa,b,c ，则 card(A)=3。、一般地，对任意两个集合 A、B，有card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB)2、常量与变量、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其 称之为变量。、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间a，+)：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为：ax+；(-，b)：表示
6、小于 b 的实数的全体，也可记为：-xb；(-，+)：表示全体实数，也可记为：-x+注：其中-和+，分别读作“负无穷大“和“正无穷大“,它们不是数,仅仅是记号。、邻域：设 与 是两个实数，且 0.满足不等式x- 的实数 x 的全体称为点 的 邻域，点 称为此邻域的中心， 称为此邻域的半径。3、函数、函数的定义：如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量 y 按照一定的法则 f 总有确定的数值与它对应，则称 y 是 x 的函数。变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域。通常 x 叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量 y 的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明 y 是 x 的
7、函数，我们用记号 y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母“f“、“F“表示 y 与 x 之 间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只 讨论单值函数。、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。3、函数的简单性态、函数的有界性：如果对属于某一区间 I 的所有 x 值总有f(x)M 成立，其中 M 是一个与 x 无关
8、的常数，那么我们就称 f(x)在区间 I 有界，否则便称无界。注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数。函数的有界性，单调性应与相关点集 联系起来，离开了点集 。这些概念是没有任何意义的。II、函数的单调性：如果函数在定义域区间(a,b)内随着 x 增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点 x1及 x2，当 x1x2 时，有 ，则称函数 在区间(a,b)内是单调增加的。)(21f)(xf如果函数 在定义域区间(a,b)内随着 x 增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点)(fx1 及 x2，当 x1x2 时，有 ，则称函数 在区间(a,b)内是单调减小的。)(21fx)(f、函数
9、的奇偶性如果函数 对于定义域内的任意 x 都满足 ，则 叫做偶函数；如果函数对于)(xf )(xff)(f定义域内的任意 x 都满足 ，则 叫做奇函数。)(ff)(注：偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。奇偶函数的定义域必关于原点对称。、函数的周期性设 的定义域为 。若存在 ，对任意的 ，都使得 ，则)(xfI0TIx)(ITxfxf称函数 为周期函数，称 为其周期。注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域必是无限的点集，但也不能说是全体实数，如 的定义域为（-，+）。xytan且 k /2(k=0,1,2.)xA.奇函数+奇函数=奇函数 B.偶函数+偶函
10、数=偶函数 C.奇函数偶函数=奇函数 D.奇函数奇函数=偶函数 E 偶函数偶函数=偶函数若 以 为最小正周期，则 以 为最小正周期)(fT)(xf)0(T4、反函数、反函数的定义：若由函数 得到 ，则称 是 的反函数，)(xfy)(y)(yx)(xf为直接函数，反函数也可记为)(xfy1f注： xff)(11、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，则它的反函数必然在 R上确定，且严格增(减).例题： ，其定义域为(-,+)，值域为0,+).对于 y 取定的非负值,可求得 .若我2xy yx们不加条件，由 y 的值就不能唯一确定 x 的值，也就是在区间(-,+)上，函数不
11、是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求 x0，则对 y0、x= 就是 在要求 x0 时的反函数。即是：函数在2xy此要求下严格增(减).、反函数的性质：在同一坐标平面内， 与的图形是关于直线 y=x 对称的。例题：函数 与函数 互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线xy2xy2log对称的。如右图所示：5、复合函数复合函数的定义：若 y 是 u 的函数： ，而 u 又是 x 的函数： ，且 的函数)(fy)(xu)(值的全部或部分在 的定义域内，那么，y 通过 u 的联系也是 x 的函数，我们称后一 个函数是由函数 及 复合而成的函数，简称复合函数，记作)(uf)
12、(x，其中 u 叫做中间变量。)(fy注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。例题：函数与函数是不能复合成一个函数的因为对于的定义域(-,+)中的任何 x 值所对应的 u 值（都大 于或等于 2），使 都没有定义。uyarcsin6、初等函数、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.注：初等函数必须能用一个式子表示，不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数，故分
13、段函数一般不能叫初等函数7、数列的极限、数列的极限：设 为一数列，如果存在常熟 a，对于任意给定的正数 (不论其多么小)，总存在正nx整数 ，使得当 时，不等式 都成立，那么就称常数 a 是数列 的极限，或者称数列收敛Nn nx于 a，记为 或axnlim)(注：此定义中的正数 只有任意给定，不等式才能表达出与 a 无限接近的意思。且定义中的正整数 N 与任意 给定的正数 是有关的，它是随着 的给定而选定的。在利用数列极限定义证明某个数列是否存在极限时，重要的是对于任意给定的正数 ，只要能够指出定义中所说的这种正整数 N 确实存在，但没有必要去求最小的 N。如果知道 小于某个量（这个量是 n
14、的一个函数），那么当这axn个量小于 时， 当然也成立若令这个量小于 来定出 N 比较方便的话，就可以采用这种方n 法。、数列的有界性：对于数列，若存在着正数 M，使得一切都满足不等式 M，则称数列是有界的，若正数 M 不存在，则可说数列是无界的。、收敛数列的几个重要性质：A.极限的唯一性：如果数列 收敛，那么它的极限唯一。（根据极限的定义用反证法证明）nxB.有界性：如果数列 收敛，那么它一定有界。n注：数列收敛是数列有界的充分非必要条件。即数列收敛，一定有界，但数列有界不一定收敛。例：数列 1，-1，1，-1，(-1)， 是有界的，但它是发散的。C.保号性：如果 且 （或 ）那么存在正整数
15、 ，当 时，都有axnlim00Nn（或0nx）0nx推论：如果数列 从某项起有 （或 ），且 ，那么 （或0nxnaxnlim0）a注：即使从某项起有 （或 ），且 ，那么 a 不一定一定为 ，也有可能0nxnnli 。D.收敛数列与子数列的关系：如果数列 收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛，且极限是 a。nx如果数列 有俩个子数列收敛于不同的极限，那么数列 是发nx散的。.数列存在的充分必要条件： axnlimaxnn122limli其任一子数列的极限都为8、函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取 内的正整数，n若自变量不再限于正整数的顺序，而是
16、连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点 x0下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!、函数的极限(分两种情况)a):自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数 当 大于某一正数时有定义，若存在常数 ，对于任意给定的正数 (不论其多么)(xf A小)，总存在着正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式XXx)(xf，那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作 或Axf( )(fAxlimxf)(（当 ）注： 时 的极限定义只需要将以上定义中的 改为 （或 ）即可。)(xf XX下面我们用表格
17、把函数的极限与数列的极限对比一下：b):自变量趋向有限值时函数的极限定义：设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，若存在常数 ，对于任意给定的正数 (不论其)(xf0 A多么小)，总存在着正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式x0x)(xf，那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作 或Axf( )(fxlim0 Af)(（当 ）0x注：在定义中只要求在去心邻域内不等式成立，不要求在 点此不等式成立，意味着 时 以0x0x)(f为极限与 在 点是否有定义即使有定义函数值等于什么无关。A)(xf0自己参考数列极限引生函数的左右极限概念。注： 时函数极限存在的充要条件：0Axf)(
18、lim0Axffxx)(lim)(li00有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？a):先任取 0；b):写出不等式 ；xf)(c):解不等式能否得出去心邻域 ，若能；0xd): 则对于任给的 0 ，总能找出 ，当 时， 成立，因此0Axf)( Axf)(lim0、函数的极限的性质参考数列极限的重要性质：唯一性，局部有界性，局部保号性、函数极限与数列极限的关系如果极限 存在， 为函数 的定义域内任一收敛于 的数列，且满足： ，那么)(lim0xfn)(xf 0x0xn相应的函数值数列 必收敛，且 。)(limli00fxnx9、无穷小与无穷大无穷大量：设有函数 ，在 x=x0 的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数 N(一个任意大)(xfy的数)，总可找到正数 ，当 时， 成立，则称函数当 时为无穷大量。0Nxf)( 0x记为： （表示为无穷大量，实际它是没有极限的）)(lim0xf同样我们可以给出当 x时， 无穷大的定义：设有函数 ，当 x 充分大时有定义，对于任意)(fy给定的正数 N(一个任意大的数)，总可以找到正数 M，当 时， 成立，则称函数当 x时xN是无穷大量，记为： )(lixf
