1、西南石油大学高等数学专升本讲义 0讲义无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30 分钟） ，在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20 分钟） 。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25 分钟）
2、，课堂练习（15分钟） 。【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了 数列 的极限、 （ 、 ）函数nnxxx的极限、 （ 、 ）函数 的极限这七种趋近方式。xf0x00()f下面我们用西南石油大学高等数学专升本讲义 1表示上述七种的某一种趋近方式，即x 000xxxxn定义：当在给定的 下， 以零为极限，则称 是 下的无()f ()f穷小，即 。0limfx例如, ,sn0.0sin三三三x,1lix .1,0)(limn .)(三三三n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义： 当在给定的 下， 无限增大，则称 是 下的无x
3、xf xf穷大，即 。显然， 时， 都是无穷大量，fxli n、 32n【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如， ，0limxe xelim所以 当 时为无穷小，当 时为无穷大。xe x2无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果 为无xf穷大，则 为无穷小；反之，如果 为无穷小，且 ，则 为无穷大。xf1xf0xfxf1小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变
4、化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理 1 其中 是自变量在同一变化过0lim()()(),xfAfxx=+)(程 （或 ）中的无穷小.0x证：（必要性）设 令 则有0li(),xf(),xfA=-0lim(),x=西南石油大学高等数学专升本讲义 2).()(xAf（充分性）设 其中 是当 时的无穷小，则()(),fAx=+()0x00lim()li(xxf=lim0x.【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2） 0()(),().fxfxAx给 出 了 函 数 在 附 近 的 近 似 表 达 式 误 差 为3.无穷小的运算性质定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数
5、和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.三三n1,.1三三n定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如： ， ，0)(limn 0silxx 0sinlmxx推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如， 观察各极限：2210,sin,ixx当 时 都 是 无 穷 小 ，x3lim20,;2三xsnli0,1;i三x不可比.20lixxsinl0三极限不同, 反映了趋向于零的“快慢” 程度不同.1定义: 设 是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且 , 0.()
6、lim0,();o=如 果 就 说 是 比 高 阶 的 无 穷 小 记 作 ;),(2三三三 Cli1, 特 殊 地 如 果 则 称 与 是 等 价 的 无 穷 小 ， 记 作西南石油大学高等数学专升本讲义 3(3)lim(0,), .kCkk=如 果 就 说 是 的 阶 的 无 穷 小例 1 .tan4,:3三三三 xx证： 430talix 30)(lix,4.tan4,03三三三x例 2 .sint,三三三 x解 30sitanlimxx)cos1a(l20x, .sinta三x2常用等价无穷小: ,三（1） ； （2） ； （3） ； si xrsint（4） ； （5） ； （6）
7、xarctn)1l(1xe（7） （8） （9） os2xxa-lnx*用等价无穷小可给出函数的近似表达式: ,1lim,0li),(o三 ).(o三例如 ),(snxo.21cs2x3等价无穷小替换定理： .limli,lim, 三三三证： lim)li(lilili .li例 3 （1） ； （2） .cos2tanli0xx三 1cosli20xex解: （1） 故原极限 = .tan,1,2三三 20()lim1x8（2）原极限= =2lim20x1例 4 .sintal30x三西南石油大学高等数学专升本讲义 4错解: =0.sin,ta,0xxx三三30)2(limx三正解: ,三三
8、,2si cos1tanit,3故原极限3012lim()x=.6【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例 5 .3sin1co5tali0xx三解: ),(t),(xo).(21cs2xo原式2015lim3()xox+= xx)(35lim0.35三、极限的简单计算1. 代入法：直接将 的 代入所求极限的函数中去，若 存在，0x 0xf即为其极限，例如 ；若 不存在，我们也能知道属924312lim51x 0xf于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如， 就代不进去了，但39lim2x我们看出了这是一个 型未定式，我们可以用以下的方法来求
9、解。02. 分解因式，消去零因子法例如， 。63lim9li23xx3. 分子（分母）有理化法例如， 35125123li512li 2 xxxxx4lim2x西南石油大学高等数学专升本讲义 52lim2xx又如， 01li1lim22 xxx4. 化无穷大为无穷小法例如， ，实际上就是分子分母同时除以2 273373lili144xxx+-+-=这个无穷大量。由此不难得出2 mnbaxbannmmx ， ，0li10又如， ， （分子分母同除 ） 。12lim21li xxxx x再如， ， （分子分母同除 ） 。153li32li nnn n55. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
10、例如， ， （无穷小量乘以有界量） 。013arctlim2xx又如， .41三解： 商的法则不能用)3(li2x,14limx三,01432lim1xx .0由无穷小与无穷大的关系,得 .li2x再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例 3例 5。西南石油大学高等数学专升本讲义 66. 利用两个重要极限求极限（例题参见1.4 例 3例 5）7. 分段函数、复合函数求极限例如， ).(lim,0,1)(2xfxxf 三三解: 三三,0)(li)(limxxfx)1(li)(li200xfx ,左右极限存在且相等, .m三【启发与讨论】思考题 1： 10,sinxyx=当 时 是 无 界 变
11、量 吗 ？ 是 无 穷 大 吗 ？解： ),3210(21)1(0 kkx三无界，,2)(0kxy .)(,0Mxy三31(12k三不是无穷大,kxk kxyk2sin)三 .结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题 2：若 ，且 ，问：能否保证有 的结论？试举0)(f Afx)(lim0A例说明.解：不能保证. 例 f1)(,01)(xf )(limxf.01li思考题 3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能例如当 时 都是无穷小量x,)(xfgsin)(西南石油大学高等数学专升本讲义 7但 不存在且不为无穷大，故当 时 和 不能)(limxfgxxsinl x
12、)(xfg比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1） ；xexcosli0解：原极限= 1coslim1lilim000 xxex（2）求 )1ln(cos(i3l20xx【分析】 “ ”型，拆项。解：原极限= = =xx2cossin3lm0 xx21cossin3lm03（3） ； 14235li2xx【分析】“抓大头法” ，用于 型解：原极限= = ，或原极限54312limxx252limx=（4） ；)(lix【分析】分子有理化解：原极限= = =xx2li 1lix2（5） )14(lim2x【分析】 型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。西南石油大学高等数学专升本讲
13、义 8解： = = =)214(lim2xx 42limx1lix43（6） 39li20x【分析】“ ”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。 解：原极限= =62039limxx（7） ).1(li2nn三解: 先变形再求极限.三,2221lim)1(limnnn 2)1(lin)1(limnn.2【内容小结】一、无穷小（大）的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3） 无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较:1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低) 阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.
