1、姓名： 班级： 学号： 1第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意 是点 以任何方式趋于 ;Ayxfyx),(lim),(),0 ),(yx),(0yx注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。习题 811.求下列函数表达式:(1) ，求xyxf),( ),(yxf解： y(2) ，求2,f,f解： ()()()y xy2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形:(1) 21)ln(yxxz解： 2201yx(2) )1ln(2yz解： 0(3) |l),xxf解：
2、 1|y3.求下列极限:(1) 2)1,0(,limxyx解： (,), 1xyy(2) yx4li)0,(,解一： (,)0, (,)0, (,)0,12 148lim2lim2lim4xy xy xyxyxy解二： (,), (,), (,),4(lili li)xy xy xyxy2(3) (4)yxyx)sin(lim)0,1,( 201limyxy解一： (,), (,)1,0i sn()li2)li23xy xyx解二： (,)1,0(,), (,)1,0snli2)xy xyxyx(4) 20limyx解一：22200011lilimli()0x xxy yyy解二：2 2222
3、0 00lili lim0()1xx xyy yyx 4.证明下列函数当 时极限不存在:,),(1) 2),(xf解：222001limlixxykk(2) 22)(),(yf解：400lilim1x xy20lim()xy5.下列函数在何处是间断的?(1) yxz1解：(2)z2解： yx第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设 在 的某一邻域有定义，则),(yfz),0x姓名： 班级： 学号： 3，xyffyxfx ),(),(lim),( 0000 .yyy0的几何意义为曲线 在点 处的切线对 轴),(0yxf ),(fz ),(,(00yfMx的斜率.在任意点 处
4、的偏导数 、 称为偏导函数， 简称偏导数.求),(f),(yx),(yxf),(f时，只需把 视为常数，对 求导即可.yx2.高阶偏导数的偏导数 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导),(fz),(),(ffyx数称为三阶偏导数，如此类推 . 二阶偏导数依求导次序不同，有如下 4 个：，其中后两个称 为混合偏导数.yzx22,若两个混合偏导数皆为连续函数， 则它们相等，即可交 换求偏 导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 821.求下列函数的一阶偏导数:(1) xyz解： 21,zx(2) yzarctn解： 22221,1()()yzxyxx yx(3) lnz解： 2221(1
5、)xyxyy2222()zy x(4) )ln(zxu解： 222222,uyuzyxzy4(5) yzxtdeu 2解： 2222,zyzyzxzuee(6) xyzcosin解： 221 1sin,cossinyxuxyxyy(7) (8)yxz)( )(e解： l(),(1)l11xyx xy(8) coseu解： ()sin(),cos()in()ue 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数:（1） ，求yxyxzarcsi)1(2)1,0(xz解：20,)limxx（2） ，求xezyarctn)1(2)0,1(yz解： 0(1,)liyy3.求下列函数的高阶偏导数:(1) ， 求 ，
6、 ，)ln(xz2xzyxz2解： 1,y222,zzxxy(2) ，求 ， ， ，)(cos22zyx2z2解： sin()sin()zxy4cos()2y姓名： 班级： 学号： 522 2cos(),8cos(),4cos(2)zzzxyxyxyx(3) ， 求 ， 2 yxtde2解： 2 2 22,(1),4yxxyxxyzzzee 4.设 ，求 和 .0 0),( 223yxxf )0,(xyf),(yxf解： ()(,),limlimxx xfff，0 0,()yy yy4242, ,()xf xx2(,),y yy540 0(,)(,)(,)limlim1xxxyy yfff54
7、0 0(,)(,)(,)li lixxyx xfff5.设 ， 求证)1(yez zyz22解: 1()()22,xyxe11()()()2 22xyxyxyzx ez6.设 ， 证明22zyr rzr2证明: 2 22322, xxrxryz由轮换对称性, 323,rz62222331rrxyzrxyzr第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数 在点 处的全增量 表示成),(yxfz),(0z2,( yxoyBA则称 在点 可微，并称 为 在点,f,0 BdAyx),(xfz的全微分，记作 .),(0yxdz2.可微的必要条件：若 在 可微， 则),(xf),0
8、（1） 在 处连续；,f,(0y（2） 在 处可偏导，且 ，从而) ),(),(00yxfyxf.ddfdzyx,),(0一般地，对于区域 内可微函数， .Ddffzyx,3.可微的充分条件：若 在 的某邻域内可偏导，且偏导数在 处连,f,0 ),(0yx续，则 在 可微。),(yxfz)0注：以上定义和充分条件、必要条件均可推广至多元函数 。习题 831.求下列函数的全微分(1) (2)2lnyxz xyz1arctn解: 2211d()dd()xyxy(2) xyzarctn解: 21dd() 22222()(d)(1)d(1)(1)()1xyxyxyxyxy(3) 0,sinz解: il
9、sinl sinsindd(il)(col)xyxyxeyyxy(4) 2u姓名： 班级： 学号： 7解: 222 22 ddd xyxyzxyzxyzuxy 232()()(5) )(zyxeu解: 22()22dd()xyzexyz2 d)z2(3)xyz所以 2()22(3)2d)xyxyzue zxyx (6) yz解: lnlddlnlyzxyzxey(ldl)yzx2.求函数 ，当 时的全微分.1(2yx2,1x解: 2)dz(1,2)| (d)43xy3.求函数 ，当 时的全增量与全微分.xyz 20,1.,解: (2,1)2d| 54z(0.1,)(,)0.8.6.| .192
10、yyzxx4.研究函数 在点 处的可微性.)0,(, sin,2yxf ),(解: 由于 ，所以 在点 连22001lim(,)li()ixxyyf f ,fxy(0,)续，又2 20 00sin(,)(,) 1(,)li limlimsnxx x xfff8 2 20 001sin(,)(,) 1(,)limlimlimsn0yy x xyfff yy又 22,xf y所以 222()()(,)(,)1sinxyfffxyxy2220 0,0,limlimi0xyx xy yffff 所以 在点 处可微(,)f(,)5.计算 的近似值.33971.解：令 ，则 ，(,)fxy23dd(,)x
11、yfy再设 02,0.0则 33 0(1.)(.97)(,)(,)fxfxyf31.62.956.已知边长 的矩形，如果 边增加 5cm，而 边减少 10cm，求这个矩形8m,6yx的对角线的长度变化的近似值.解：对角线长为 ，则 ，2(,)fxy2d(,)xyf所以 2(6,8)60.58.10.5(6.05,79,d| 9fff第四节 多元复合函数的求导法则本节主要概念，定理，公式和重要结论复合函数的求导法则（链式法则）如下：1.设 在 可偏导， 在相应点有连续偏导数，则),(),(yxvyxu, ),(vufz在 的偏导数为fz yfuf ;2.推广：(1)多个中间变量：设 ， 则),(
12、),(yxvyx),(),(wvufzxw且,),(yxfz姓名： 班级： 学号： 9ywfvfyufzxwfvfxufz ;(2)只有一个中间变量：设 则 且),(),(fzy),(,xfufufz ;(3)只有一个自变量：设 ， 则 且)(,tvt)(tw)(,)(ttfzdffdtftz习题 841.求下列复合函数的一阶导数(1) 32,sin, tytxezyx 解： 3222sinddcos(co6)xxy tzeettett(2) 34,),arcsi(tz解：22211dd1()()(34)xzytttttxyxy(3) ez),arcn(解： 222()()1xyz exx(4
13、) zxaaeucos,sin,1)(2解： 222dd()sin11axaxyuzeyeexx 2(sincossin()ii1a xaxeax2.求下列复合函数的一阶偏导数(1) yvyuvz ,2解： ()4xxy(2) tsytsxz 23,ln2 解：2 221 33ln()ln()()2ssy stst tt t10 222223 ln(3)1lnln()(3) 2zsxssstxytt t t st 3.求下列复合函数的一阶偏导数（ 是 类函数）f1(C(1) ),(xyefz解： ，12fx12xyzfef(2) ),(fz解： ，1y12zxf(3) )(2fz解： ，2xyf2zfyf(4) )(u解： ， ，22yzfzfxx 1zfxzfxyuf4.设 且 具有二阶连续偏导数，求),(uf z2,解： 123fyzx2 2332fxfzfyzxf 5.已知 ，其中 有二阶连续导数，求)()(yxfz, yxz2,解： 212yfx2 221z xff fxyxy6.设 ，其中 有连续二阶偏导数，求)(,(yggf, z2解： 12122zyfxxyx213231yfffgx
