1、高等数学（二）- 1 -第一章 函数、极限和连续第一节 函 数一、函数的概念1. 函数的定义 （了解）设在某个变化过程中有两个变量 和 ，变量 随变量 的变化而变化。当变量 在一个非空xyxx实数集合 上取某一个数值时，变量 依照某一对应规则 总有唯一确定的数值与之对应，则称Df变量 是变量 的函数，记为 ，其中 叫做自变量， 叫做因变量或函数。yxD)( )f y数集 称为这个函数的定义域，记为 或 。f当 取定值 时所对应的 的数值 或 ，称为当 时，函数0y00|0xy0的函数值。)(xfy全体函数值的集合 称为函数 的值域，记为 或 。xf),(| )(fZ)(f2.分段函数 （了解）
2、函数不能用一个统一的公式表示出来，必须要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数。形如： Dxgfy21 )(例如： 1 ,32就是定义在 内的分段函数。 ,3.隐函数 （了解）函数 与自变量 的对应规则用一个方程 表示的函数，称为隐函数。yx0),(yxF例如 就是一个隐函数。0424.反函数 （了解）二、函数的简单性质1.函数的单调性 （了解）设函数 在区间 内有定义，如果对于 内的任意两点 ，)(xfyb ,ab ,a21x若恒有 ,则称 在区间 内单调增加；21)(xf ,若恒有 ,则称 在区间 内单调减少；若恒有 ,则称 在区间 内严格单调增加；)(ff ,若恒有 ,则称
3、在区间 内严格单调减少。21x)(fba2.函数的奇偶性： （了解）设函数 的定义区间 D 关于原点对称（即若 ，则有 ） 。如果对)(fy Dxx于定义区间内的任意点 ，恒有 ，则称 为 D 内的偶函数；如果恒有x)(fxf)(f，则称 为 内的奇函数。 )(xff偶函数： )(f奇函数：高等数学（二）- 2 -3.函数的周期性 （了解）周期函数： ，)(xfTf ,周期：T最小的正数4.函数的有界性 （了解），Mxf)(),(ba三、基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n , (n 为实数)3.指数函数： (a0、a1)xya4.对数函数： ,(a0
4、、a1)log5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x四、复合函数和初等函数1.复合函数(x)u ,)(fyX2.初等函数 （了解）由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数第二节 极 限一、极限的概念1.数列的极限: 定义 对于数列 ，如果当 时，数列 无限地趋于一个固定的常数 A，则称 n 趋于无nxnx穷大时，数列 以常数 A 为极限，或称数列 收
5、敛于 A，记作或 （当 时）nlimn称数列 以常数 A 为极限 ;或称数列 收敛于 A.nxx定理: 若 的极限存在 必定有界.n2.函数的极限：当 时， 的极限：x)(xf AxfAfx )(limli高等数学（二）- 3 -当 时， 的极限：（重点）0x)(xfAlim左极限： fx)(li0右极限： 函数极限存在的充要条件： AxffAxf xx)(lim)(li)(li 000二、无穷大量和无穷小量1、无穷大量： )(lif称在该变化过程中 为无穷大量。xX 在某个变化过程是指：,x0002、无穷小量： )(limxf称在该变化过程中 为无穷小量。3、无穷大量与无穷小量的关系：定理：
6、 )0(,)(1li0)(li xfxfxf4、无穷小量的比较： ,若 ,则称 是比 较高阶的无穷小量；lim若 （c 为常数） ，则称 与 同阶的无穷小量；若 ，则称 与 是等价的无穷小量，记作：；1li若 ,则称 是比 较低阶的无穷小量。定理：若： ；， 21则： 12limli三、夹逼性定理1、数列极限存在的判定准则：设： （n=1、2、3）zxynn且： alili则： nm2、函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0 的某个邻域内的一切点（点 x0 除外）有： )()(xhfg高等数学（二）- 4 -且： Axhgx)(lim)(li00则： f四、极限的运算规则（重点）若： Bxv
7、xu)(li,)(li则： BAxvu)(li vlimlilim BAxvu)(lim)(li )0(lixv推论： )()(li21xunlilixun lic nn)(li)(五、两个重要极限（重点）1 或1silm0x1)(sil0)(xx2 e)(i exi第三节 连 续一、函数的边续性1、函数在 处连续0x定义 1 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量 趋于 0)(f0x ()x时，相应的函数该变量 也趋于 0，即0()yfx，)(limli0 xffx则称函数 在点 处连续。)(xf0定义 2 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果当 时，函数 的极限值存在，0
8、()fx且等于 处的函数值 ，即0()f )(li00xfx则称函数 在点 处连续。)(xf02、左连续、右连续定义 设函数 ，如果 ，则称函数 在点 处左连续；()yf)(lim00fx ()f0x设函数 ，如果 ，则称函数 在点 处右连续。 x3、函数在 处连续的必要条件：0x定理： 在 处连续 在 处极限存在)(f)(xf04、函数在 处连续的充要条件：定理： )(limlilim00000 xfffff xxx 5、函数在 上连续ba,高等数学（二）- 5 -定义 如果函数 在 上每一点都连续，则称 在 内连续。如果 在)(xf,ab)(xf,ab)(xf内连续，且在左端点 处 右连续
9、，即 ；在右端点 处 左(,)ab)(flimax连续，即 ，则称函数 在 上连续。)(limfbx,二、函数的间断点若 在 处不连续，则 为 的间断点。)(f00x)(f间断点有三种情况：1o 在 处无定义；x2o 不存在；)(li0f3o 在 处有定义，且 存在，但 。)(lim0xf)(li00xfx三、函数在 处连续的性质0x1、连续函数的四则运算设 ，)(lim0fx)(li00xgx1o fg2o )()(li 00fx 3o 00xflim0xg2、复合函数的连续性（了解）)(),(),(fyufy )()(lim),(li 0000 xfuxxux 则： lilim00 xfx
10、3、反函数的连续性（了解）)(),(),( 01fyffylili 11000 yx 四、函数在 上连续的性质,ba1、最大值与最小值定理：在 上连续 在 上一定存在最大值与最小值。)(xf)(xf,ba2、有界定理：在 上连续 在 上一定有界。,3、介值定理：在 上连续 在 内至少存在一点)(xfba),(，使得： ， 0f cf)(其中： Mcm推论（零点定理）：在 上 连 续 ， 且 与 异 号)(xf,)(afbf在 内 至 少 存 在 一 点 c， 使 得 ： 。ba)(4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。高等数学（二）- 6 -第二章 一元函数微分学第一节 导数
11、与微分一、导数的概念1导数的定义定义 设函数 在 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍()yfx0 x0x0x在该领域内）时，相应地函数 y 取得增量 。如果当 时，函数的增0()(yff量 与自变量的增量 之比的极限000limlixxx存在，则称此极限值为函数 在 处的导数，并称函数 在 处可导，记作()yf ()f0x， ，00|xy0xd即 。00()()lixfxff由于 ，则 ，当 时也即 ，于是上式又可写成x000()()limxff2左导数与右导数左导数： 00()()lixff右导数： 00xx定理： 在 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；()f
12、则： （或： ）0lim()xf0()lim()xff3.函数可导的必要条件：定理： 在 处可导 在 处连续()ff04. 函数可导的充要条件：定理： 存在 ， 0)xyf()xf二、求导法则1、基本求导公式：（1） （ 为常数） ()c（2） （ 为任意常数，只要掌握 为整数）1x（3） ， lnxa(0,)a()xe（4） ， (log)e11lnx（5） （6）sics (cos)i（7） （8）21(tan)x 2t高等数学（二）- 7 -（9） （10）21(arcsin)x(1)x21(arcos)(1)xx（11） （11）tt2、导数的四则运算： 1o )uv（2o uv（3o
13、 2(0)3、复合函数的导数：(),(),yfuxyfx，或 dx()x注意 与 的区别：()f()f表示复合函数对自变量 求导；x表示复合函数对中间变量 求导。 ()4、隐函数的导数5、高阶导数： (3)(),(,fxff或()124nnf函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。三、微分的概念1、微分： 在 的某个邻域内有定义，()fx)yAo其中： 与 无关， 是比 较高阶的无穷小量，即：(x0()limxo则称 在 处可微，记作：()fxdyA(0)2、导数与微分的等价关系：定理： 在 处可微 在 处可导，且()fxfx()fxA3、微分形式不变性：dyu不论 u 是自变量，还是中
14、间变量，函数的微分 都具有相同的形式。dy第二节 洛必达（LHospital ）法则洛必达法则 （重点） 1、 “ ”型不定式0定理： 和 满足条件：()fxg； 0limali()0xa高等数学（二）- 8 -在点 a 的某个邻域内可导，且 ；02()0gx3()lim,xfAg（ 或 ）则： ()lili,()xaxaffg（ 或 ）2、 “ ”型不定式定理： 和 满足条件：()fx； 01limali()xag在点 a 的某个邻域内可导，且 ；2()0x03()li,xfA（ 或 ）则： ()()lili,xaxaffgg（ 或 ）注意：1 o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数
15、之比的极限。2o 若不满足法则的条件，不能使用法 则。即不是 型或 型时，不可求导。03o应用法则时，要分 别对分子、分母求 导，而不是对整个分式求导。4o 若 和 还满足法则的条件，()fxg可以继续使用法则，即：()()()limlilimxaxaxaffAg （ 或 ）5o 若函数是 型可采用代数变0,形，化成 或 型；若是 型可01,采用对数或指数变形，化成 或 型。第三节 导数的应用1 切线方程和法线方程设： 0(),)yfxMy切线方程为： 0()fx法线方程为： 0 01,()fx2 曲线的单调性：（1） 在 内单调增加()(,) )fxabf,ab（2） 在 内单调减少(高等数
16、学（二）- 9 -（3） 在 内严格单调增加 ()0(,) (x)fxabf,ab（4） 在 内严格单调减少3.函数的极值：极值的定义：设 在 内有定义， 是 内的一点；若对于 的某个邻域内的任意点 ，都有：()fx,ab0x(,)ab0x0x0()(ffxff或则称 是 的一个极大值（或极小值） ，0()ff称 为 的极大值点（或极小值点） 。x极值存在的必要条件：定理： 000()()()ffxf存 在 极 值存 在称为 的驻点xf极值存在的充分条件：定理一： 000()()fxfxff在 处 连 续 是 极 值 ；或 不 存 在 是 极 值 点 。过 时 变 号当 渐增通过 时， 由（+
17、）变（） ；则 为极大值；x0()0()f当 渐增通过 时， 由（）变（+） ；则 为极小值。fxx定理二： 00()()ff是 极 值 ；存 在 是 极 值 点 。若 ，则 为极大值；0()fx0()fx若 ，则 为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点：若 ；则 在 内是上凹的（或凹的） ， （） ；(),fxab(),fxab()fx,ab若 ；则 在 内是下凹的（或凸的） ， （） ；0,(,) 00()()f fxx称过 时 变 号 为 的 拐 点5 曲线的渐近线：水平渐近线：lim()()xfAyf若 是的 水 平 渐 近 线或铅直渐近线： li()()xCfxCf若 是的 铅 直 渐 近 线或高等数学（二）- 10 -第三章 一元函数积分学第一节 不定积分一、重要的概念及性质1原函数：设 (),fxFxD若： 则称 是 的一个原函数，并称 是 的所有原函数,()C()f其中 C 是任意常数。2不定积分：函数 的所有原函数的全体，称为函数 的不定积分；记作：()fx()fxdFC其中： 称为被积函数； 称为被积表达式； 称为积分变量。f()fx3. 不定积分的性质： ()()fxdf或： xd ()()ffC或： dx 12()()nffxd2()nfx (k 为非零常数)()(kfxdf4.基本积分公式：
