1、21 （本小题满分 14 分）已知数列 na中， 13， 25a，其前 n项和 nS满足 123nnS ，令 1nnb（1）求数列 a的通项公式；（2）若 12xf，求证： 1216n nTbffbf （ n ） 解：（1）由题意知 123nSS 即 13na -2 分 32nnaa -3 分12215123nn n -5分检验知 1n、 2时，结论也成立，故 2na -7 分（2）由于 11 11 12nnn nnn nbf -10 分故 12 22311122n n nTbffbf -12 分11226n -14 分19. (本题满分12分)各项为正数的数列 na的前n项和为 nS，且满足
2、： .41241NnaSn（1）求 n；（2）设函数 为 偶 数 ，为 奇 数 ，nff,2,42NnfCn求数列.nnCT的 前 项 和19、解：（1）由 21144nnSa得，当 n2 时， 211144nnnSa；由化简得： 11()()0，又数列 各项为正数，当 n2 时，12na，故数列 n成等差数列，公差为 2，又 211，解得,n；5 分（2）由分段函数,()2naff为 奇 数为 偶 数可以得到：132 1(6)5,84()cffa；7 分当 n3， nN时， 1221(24)()(1)()nnnncfff，3235()()6(15,nnnTT故 当 ， 时 ，19、(本小题满
3、分 14 分) 已知等差数列 的公差 大于 ，且 、 是方程nad02a5的两根.数列 的前 项和为 ，满足 02712xnbTnnb)(N() 求数列 , 的通项公式；na() 设数列 的前 项和为 ，记 .若 为数列nS),()(*Rbcnn6c中的最大项，求实数 的取值范围.nc)解：()由 + =12， =27，且 0,所以 =3， =9，2a525ad2a5从而 ， （3 分）1,3d1n)(N在已知 中，令 ，得nnbTb当 时， ， ，两式相减得， ，2112nnTnnb1， （6 分）)2(1nbn 1)(nb)N() 2S则 （8 分）12)(nnnc当 时，2 221 )1
4、()( nc（11 分）24n有 时，7n01nc23时，6则有 231419 （本小题满分 14 分）已知数列 满足 ，na41),(21Nnann（）试判断数列 是否为等比数列，并说明理由；nn1（）设 ，数列 的前 项和为 求证：对任意的 ，2)(sicn ncnTNn3nT解：（1） ,111 222 nnnnn aaa得由 已 知.又 ， 2nna 03故 是以 3 为首项，公比为-2 的等比数列. 7 分1（2）由（1）得 .11)2(3)(4nnnna所以 ， ，1)2(3 nnna)(1.111 23)2(3si nnc所以 . 21)(3nnT19 （本题满分 14 分）数列
5、 中 ，且满足 N*） na21)1(nan(（I）求证：数列 为等差数列，并求通项公式；（II）数列 满足 ， N*） ，问从第几项开始nb21 abnn,2(,)1(1有 167nb19(本题满分 14 分)已知数列 的前 n 项和为 ，满足anSnna（1）证明:数列 + 2是等比数列.并求数列 的通项公式 ；n a（2）若数列 满 足 ，设 是数列 2nb的前 n 项和.求证：b2log()nnT.3nT(19)(本题满分 14 分) 已知数列 na的首项 t10， 132nna， *N（1）若 53t，求证 1n是等 比数列并求出 n的通项公式；（2）若 na1对一切 *N都成立，求
6、 t的取值范围。（1） 由题意知 ,0n， nna3121， 32na，31nna， 1 4 分所以数列 n是首项为 23，公比为 的等比数列；5 分nna351， 23na 8 分（2）由（1）知 31nna，131nnt10 分由 10,2知 0，故 1a得 1na 11 分即 1()()33nntt 得 0t，又 t，则 01t19 （本题满分 14 分）已知数列 ， 满足： ，当 时，nanb312；对于任意的正整数 ， 设 的前an41 12nnbaLnb项和为 .S（）计算 ，并求数列 的通项公式；32,na（）求满足 的 的集合.14n（）在 中，取 ，得 ，又， ，故 同样取n
7、an41 2821a31a.52可得 分3.73由 及 两式相减可得： ，所以数列n1 )(41nan 41n的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为 ，而 ，故 是公差a 422an为 的等差数列， 分2.2n 5注：猜想 而未能证明的扣 分；用数学归纳法证明不扣分.1n（）在 中令 得 分12+nnbbaL1.31ab6又 ，与 两式相减可得：1()12nnbaL，4)()()(1nnnn n2341，即当 时， 214nb经检验， 也符合该式，所以， 的通项公式为 931 nb12nb分.17(4)22nnSL121135()4)(.2nn相减可得： 2 1nL利用等比数列求和公式并化简得
8、： 11 分17nnS可见， ， 12 分N14nS经计算， ，注意到 的各项为正，故 单调递32,36271465 S nbnS增，所以满足 的 的集合为n .,6Nn19.（本小题满分 14 分）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 anS1na（I） 求数列 的通项公式；na（）设数列 满足 ，且数列 的前 项和为 ，bnn)2(nbnT求证：数列 为等差数列2nT解：（）由 ， ，两式相减得 1naS1naS 011nnaS，又由 ，可得 ， )2(n2n)(根据 ，得 ， 111所以 ；7 分na2（） ,对数列 进行错位相减法得到 ， bnbnT2于是数列 ，就是数列 显然就是一等
9、差数列nT(19)(本题满分 14 分) 已知等差数列 的公差 大于 ，且 、 是方程nad02a5的两根.数列 的前 项和为 ，满足 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 02712xbnTnnb)(N() 求数列 , 的通项公式；na() 设数列 的前 项和为 ，记 .若 为数列nS),()(*Rcnn6中的最大项，求实数 的取值范围. nc19 （本小题满分 14 分）设数列 na的前 项和为 nS，已知 1(,nnpSq为常数，*N） ， 123,aqp（）求数列 n的通项公式；（）是否存在正整数 ,m，使 12mnS成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对 (,)n；若
10、不存在，说明理由解：（）由题意，知 213,Spaq+即 32,pq+解之得1,2pq2分 12nnS， 当 2n 时， 1nS，得， 1na ， 4 分又 21，所以 *12nnaN，所以 na是首项为 2，公比为 1的等比数列，所以 2na7 分（）由得，12()4()2nnnS，由 12mnS，得14()212mn+，即 ()421nm，10 分即 (4)1nm，因为 0m，所以 (4)2n，所以 ，且 12(4)24n+， ()因为 *N，所以 或 或 3 12 分当 1m时，由 ()得， 28n，所以 1n；当 2时，由 得， 2，所以 或 2；当 3时，由 ()得， 0n，所以 n
11、或 3或 4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对 (,)m为：(1,)2,(),2(),3419 （本小题满分 14 分）已知 是正项数列 的前 项和， （ ） nSna2naS*N（1）求证： 是等差数列；na（2）若数列 满足 ， ，求数列 的通项公式b121nabnbnb（1） 2 2 211111, ,0,n nnnnnS aaa是等差数列，公差为 1；102,nnna（2） ，12ab，112,nnb利用逐差累加得 ，而 1212, 2nnb 112nb19 （本题满分 14 分）已知等差数列 na中，首项 10，公差 d。（1）若 1a=1， 2d，且 2214,m成等比数列，
12、求整数 m的值；（2）求证：对任意正整数 n， 221,na都不成等差数列。19(本题满分 14 分)已知 为数列 的前 项的和，满足 ，其nS1nntaS*()N中 为常数，且 ，t0t1（1）求通项 na（2）若 ，设 问数列 的最大项是它的第几项？32t(2)lnnba， nb.13144203ln)(2)1( 0,1.92*11项的 最 大 项 为 第 最 大 项 为设，为 奇 数 时 ，当 不 存 在 最 大 项，为 偶 数 时 ，当 ）（ 为 公 比 的 等 比 数 列为 首 项 ，为（ 常 数 ）时） 当解 ： （nmmnnn nnnnbbbbNta ttatataSt20 （本
13、题满分 15分） 函数 的定义域为 R，数列 满足 （ 且()fxna1=()nfa*N） 2（） 若数列 是等差数列， ，且 (k 为非零常数， na12a11()()nnnfafk且 )，求 k 的值；*nN（）若 ， ， ，数列 的前 n 项和为 ，对于()fx1*l()nbNnbnS给定的正整数 ，如果 的值与 n 无关，求 k 的值m()mnS解：（）当 时，2n因为 ， ，1()naf11()()nnnfafka所以 111()()nnnnafafka因为数列 是等差数列，所以 1n因为 ， 所以 k 6 分11()nnaka来源:学科网因为 ，1lnnbk所以 是首项为 ，公差为
14、 的等差数列 2lnk所以 nS1()(1)ln因为 ， (1)()l2ln(1)ln2l1nmnmkS mkk 又因为 的值是一个与 n 无关的量，(1)mnS所以 ，2l2ln(1)kk解得 4k19 （本小题满分 14 分）已知各项均为正数的数列a n前 n 项和为 Sn，(p 1)Sn = p2 an，n N*，p 0 且p1，数列b n满足 bn = 2logpan（）若 p = ，设数列 的前 n 项和为 Tn，求证：0 M 时，a n 1 恒成立？若存在，求出相应的 M；若不存在， 请说明理由（）解：由(p 1)S n = p2 an (nN *) 由(p 1) Sn 1 = p
15、 2 an 1 得 (n2)a n 0 (nN *)又(p 1)S 1 = p2 a 1，a 1 = pan是以 p 为首项， 为公比的等比数列an = p nn21bn = 2logpan = 2logpp2 nb n = 4 2n 4 分证明：由条件 p = 得 an = 2n 21T n = 23201 462 n14n 得 123210 4421 nnnT= 4 2 来源:Z|xx|k.Com1n= 4 2 1124nnT n = 8 分031nTn Tn 1 = 3422n当 n 2 时，T n Tn 1 2 时，0 1 恒成立，则需分 p 1 和 0 1 时，2 n 0，n 2当 0 M 时，a n 1 恒成立19(本题满分 14 分) 已知数列 有 ， （常数 ） ，对任意的正整数na1pa20， ，并有 满足 nnS21S)(1n（）求 的值；a（）试确定数列 是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；n
