1、第 1 页 共 10 页高考椭圆几种题型 引言在高考之中占有比较重要的地位，并且占的分数也多。分析历年的高考试题，在选择题，填空题，大题都有椭圆的题。所以我们对知识必须系统的掌握。对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解。二 椭圆的知识（一） 、定义1 平面内与与定点 F1、F 2 的距离之和等于定长 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，其中 F1、F 2 称为椭圆的焦点，|F1F2|称为焦距。其复数形式的方程为|Z-Z 1|+| Z-Z2|=2a(2a|Z1-Z2|)2 一动点到一个定点 F 的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于 0 小于 1 的常数，则这个动点的轨迹叫椭圆，其
2、中 F 称为椭圆的焦点，l 称为椭圆的准线。（二） 、方程1 中心在原点，焦点在 x 轴上： )0(12bay2 中心在原点，焦点在 y 轴上： )(2x3 参数方程： sincobax4 一般方程： )0,(12BAy（三） 、性质1 顶点： 或),0(ba),(ba2 对称性：关于 ， 轴均对称，关于原点中心对称。xy3 离心率： )1,(ce4 准线 cayx22或5 焦半径：设 为 上一点，F 1、F 2 为左、右焦点，则 ，),(0xP)0(12bay 01exaPF；设 为 上一点，F 1、F 2 为下、上焦点，则 ，02exaPF),(0y)(2ba 01。02第 2 页 共 1
3、0 页三 椭圆题型（一）椭圆定义1.椭圆定义的应用例 1 椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当 为长轴端点时， ， ， a1b椭圆的标准方程为： ；142yx（2）当 为短轴端点时， ， ，0，Ab4a椭圆的标准方程为： ；1642yx说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况例 2 已知椭圆 的离心率 ，求 的值1982ykx21ek分析：分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 由 ，得 x82a92b12kc2e4k当椭
4、圆的焦点在 轴上时， ， ，得 y9k由 ，得 ，即 21e419k5满足条件的 或 说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在 轴上，8k x也可能在 轴上故必须进行讨论y例 3 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围1352kyx解：由 得 ，且 ,0,k4满足条件的 的取值范围是 ，且 53k第 3 页 共 10 页说明：本题易出现如下错解：由 得 ，故 的取值范围是 ,035k5k53k出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件，当 时，并不表示椭圆0baba例 4 已知 表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围1cossin22yx)(y分
5、析：依据已知条件确定 的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出 的取值范围解：方程可化为 因为焦点在 轴上，所以 cossin22 0sin1co因此 且 从而 01ta)43,2(说明：(1)由椭圆的标准方程知 ， ，这是容易忽视的地方0sin0cos1(2)由焦点在 轴上，知 ， (3)求 的取值范围时，应注意题目中的条件yco12ain2b0例 5 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方程P3，A6432yxB： P分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 动点 到两定点，MP即定点 和定圆圆心 距离之和恰
6、好等于定圆半径，0，0，即 点 的轨迹是以 ， 为两焦点，8BMPBA AB半长轴为 4，半短轴长为 的椭圆的方程： 7342b 1762yx说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法2.关于线段长最值的问题一般两个方法：一种是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值，或用均值不等式来求最值。例(1)：点 P 为为椭圆 上一点，F 1、F 2 是椭圆的两个焦点，试求： 取得最值时)0(12bayx 21PF的 点坐标。解：(1)设 ，则 。由椭圆第二定义知：),(0yx,0。002021 )(, exa
7、exaPFecaPF 第 4 页 共 10 页 。当 时， 取最大值 ，此时点 P(0,b)；当 时，21PF02xea21PF2aax0取最小值 b2，此时点 P(a，0)。（二).焦半径及焦三角的应用例 1 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭圆上一点，012bayx 1A21F2P， 求： 的面积（用 、 、 表示） 21PA21F1PF分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面CabSsin2 积解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，不妨设yx， yx， 在第一象限由余弦定理知： 21F 221PF1224cos由椭圆定义知：
8、，则 得 a21 2 cos121bPF故 sin2121PFSPF sinco12b2ta第 5 页 共 10 页例 2. 已知椭圆 内有一点 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点，点 是椭圆上一点 求1592yx)1,(AF2 P的最大值、最小值及对应的点 坐标；1PFAP分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解解：如上图， ， ， ，设 是椭圆上任一点，由 ，62a)0,(2F2AP621aPF， ，等号仅当 时成AP 62
9、21 AFaFP 2AF立，此时 、 、 共线2由 ， ，等号仅当F 2221 PA时成立，此时 、 、 共线2APP2F建立 、 的直线方程 ，解方程组 得两交点20yx4595,02yx、 )1457,9(1P )17,249(2P综上所述， 点与 重合时， 取最小值 ， 点与 重合时， 取最大值 1FA26P22PFA26第 6 页 共 10 页（三） 、直线与椭圆相交问题(1) 常用分析一元二次议程解的情况，仅有还不够，且用数形结合的思想。(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但0 这一制约条件不同意。akAB2121x例 1. 已知直线 过椭圆 的一个焦点，斜率为 2， 与
10、椭圆相交于 M、N 两点，求弦 的长。l7982yx l N解：由 得 。798)1(2yx012方法一：由弦长公式 1601948522 akAB方法二： )()()( 21212 xaexcexcNFM16038例 2 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 ， 两x1F3AB点，求弦 的长AB分析：可以利用弦长公式 求得，4)(11212122 xxkk也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为 ， ，所以 因为焦点在 轴上，21xkAB 4)(21212xxk6a3b3c
11、x所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 936y0,3F9xy由直线方程与椭圆方程联立得： 设 ， 为方程两根，所以 ，86721x1x2 13721x第 7 页 共 10 页， ， 从而 13862xk 1348)(1122122 xxkxkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ， 19362yxmF1n1mAF12nBF2在 中， ，即 ；21FA 3cos212122 AA 1363)( 所以 同理在 中，用余弦定理得 ，所以 34m21B46n148n(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分别是 ，
12、 的横坐标08367213x1x2AB再根据焦半径 ， ，从而求出1exaAFeaBBFA（四） 、 “点差法”解题。 “设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤：1.设 A(x1,y1) B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设 为 AB 的中点。两式相减，,(0yxp 022121)(yaxbyaxbxy3.得出 21k注：一般的，对椭圆 上弦 及中点， ，有2byaxABM2abKOMAB说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二
13、是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法” 有关二次曲线问题也适用例 1 已知椭圆 ， （1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；2yx21，P（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；，A第 8 页 共 10 页（4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，PQOOPQ21OQPk求线段 中点 的轨迹方程 M分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则1yx， 2yxN， MNy
14、xR， ， ， ，yxy2121得 02212111 x由题意知 ，则上式两端同除以 ，有2xx，0212121 xyy将代入得 21（1）将 ， 代入，得 ，故所求直线方程为： 2x1y21xy 0342yx将代入椭圆方程 得 ， 符合题意， 为所求204601643yx（2）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21xy yx（3）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21 022（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得22121yx， ， ， 21214x 212214yy将代入得： ， 421212x再将 代入式得： ， 即 2121xy 21212 xy 12yx此即为所求轨迹
15、方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 2 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点， 为 中点， 的斜率为x01yxABMAO0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程第 9 页 共 10 页解：由题意，设椭圆方程为 ，12yax由 ，得 ，102yax022x ， ，21aM 21ayM， ，42xykO2 为所求142例 5 分析：已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程),(Pl19362yx l本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，得到关于 (或 )的一元二次yxxy方程，再由根与系数的关系，直接
16、求出 ， (或 ， )的值代入计算即得21x121并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为 代入椭圆方程，整理得)4(2ky 036)4(8)14( 22xkxk设直线与椭圆的交点为 ， ，则 、 是的两根，,1yA),(2yB1x2 14)2(821kx 为 中点， ， 所求直线方程为 )2,(PB42k0y方法二：设直线与椭圆交点 ， 为 中点， ， ),(1yx),(2yx),4(PAB821x421又 ， 在椭圆上， ， 两式相减得 ，A362136)(4)(2y即 直线方程为 0)(4)(222121 yyxx )
17、(42121yxxy 082x方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 ，另一个交点 ,(A,8B 、 在椭圆上， 。 AB3642yx 36)()(22yx从而 ， 在方程的图形 上，而过 、 的直线只有一条，直线方程为 08 082yx（五） 、轨迹问题第 10 页 共 10 页这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y) ，直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动点 Q(x0,y0)在已知曲线 F(x,y)=0，上运动，而动点 P(x,y)与 Q 点满足某种关系，要求 P 点的轨迹。其关键是列出 P、Q 两点的关系式 ),(0yxfo3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4.参数法：在 x，y 间的方程 F(x,y)=0 难以直接求得时，往往用 (t 为参数) 来反映 x，y 之间的关系。(tyfx常用的参数有斜率 k 与角 等。例： 的一边的的顶点是 B(0,6)和 C(0,-6)，另两边斜率的乘积是 ，求顶点 A 的轨迹方程：ABC 94解：设 ，由题设得 。化简得),(yx )0(946xyx )0(13682xyx
