高等数学(上)重要知识点归纳.doc

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1、1高等数学(上)重要知识点归纳(粗体带下划线是重中之重,必须掌握)第 1 章 函数的极限与连续1、极限的定义与性质1、定义(了解)2、性质(1) ,其中 为 时的无穷小。)()()(lim0 xAfxfx )(x0(2)(唯一性) 若 , ,则 。xf)(li0 Bxf)(lim0 A(3)无穷小乘以有界函数仍为无穷小。2、求极限的主要方法与工具1、两个重要极限公式 (1) (2)1sinl0e)1(lim2、两个准则(了解即可) (1) 夹逼准则 (2)单调有界准则3、等价无穷小替换法常用替换:当 时0(1) (2) sintan(3) (4)arcrc(5) (6))1l( 1e(7) (

2、8)2cosnn4、分子或分母有理化法 5、分解因式法 6、用定积分定义23、无穷小阶的比较 高阶、同阶、等价4、连续与间断点的分类1、连续的定义(函数在某点连续的证明)在 点连续)(xfa )()()(lim0li affaffxyax 2、间断点的分类 其 他震 荡 型 ( 来 回 波 动 ) )无 穷 型 ( 极 限 为 无 穷 大第 二 类 但 不 相 等 )跳 跃 型 ( 左 右 极 限 存 在可 去 型 ( 极 限 存 在 )第 一 类5、闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理3第 2 章 导数与微分1、导数的概念1、导数的定义 axfxaffxydxyaf

3、y axax )(lim)(limli|)(| 002、左右导数 左导数 axfyfaxx )(lili)(0右导数 fafaxxlimli03、导数的几何意义 kfxfyax 处 的 切 线 斜 率在 点 (等 于 曲 线 )(,)(|4、导数的物理意义 加 速 度 )速 度 )则若 运 动 方 程 : ()(),)() tavtstvst 5、可导与连续的关系: 连 续 , 反 之 不 然 。可 导 2、导数的运算1、四则运算 vu)( vu)( 2)(vu2、复合函数求导 (链式法则)设 ,一定条件下)(xfy xuydxy3、反函数求导 4设 互为反函数,一定条件下:)()(1yfxf

4、y和 yx14、求导基本公式(要熟记)见 P60-615、隐函数求导 方法:在 两端同时对 求导,其中0),(yxFx要注意到: 是中间变量,然后再解出y6、对数求导法则 主要用于: 幂指函数求导数 多个函数连乘除或开方求导数 方法:先对函数式两边取对数,再用隐函数求导法得到 y7、参数方程确定函数的求导 ,一定条件下)(tyx设(可以不记公式,理解做题)3)()(, ttttxtx xyydydy 8、常用的高阶导数公式(1) .)2,10(),sin(i)( xn(2) .,co)(n3、微分的概念与运算1、微分定义若 ,则 可微,记)(xoAy)(xfyAdxdy2、公式: dfd3、可

5、微与可导的关系 两者等价54、近似计算 当 ,较 小 时 ,|xdyxfxf)()第 3 章 微分中值定理和导数的应用1、微分中值定理1、拉格朗日中值定理 )()()()(), abfabfabffba 使 得 :(当加上条件 则演变成:2、罗尔定理 0)(),f使 得 :(2、罗比达法则记住:法则仅能对 型直接用,对于 转,0 ,01,化后用. 幂指函数恒等式 fgefln三、单调性判别1、 ,0yy02、单调区间分界点:驻点和不可导点.四、极值求法1、极值点来自:驻点或不可导点(可疑点).2、求出可疑点后再加以判别.3、第一判别法:左右导数要异号,由正变负为极大,由负变正为极小.64、第二

6、判别法:一阶导等于 0,二阶导不为 0 时,是极值点.正为极小,负为极大.五、闭区间最值求法找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点,比较大小.六、凹凸性与拐点1、 ,0yy02、拐点:曲线上凹凸分界点 .),(0x横坐标 不外乎 ,找到后再加以判别0x不 存 在或,)(0fxf附近的二阶导数是否变号.07第四章(1) 不定积分一、不定积分的概念若在区间 上, ,I dxfxdFfxF)()(),()(亦则称 .)(的 原 函 数为 fx称全体原函数 F(x)+c 为 f(x)的不定积分,记为 .xf)(2、微分与积分的互逆关系1、 dxfxfdfdxf )()()()(2、 cc3、积分法1、

7、第一类换元法(凑微分法)2、第二类换元法(去根号)三角代换 根式代换3、分部积分法 (反对幂三指,确定 )uduv4、常用的基本积分公式(要熟记).见 P1438第四章(2) 定积分1、定积分的定义 niiixba xfdf10)(lm)(2、可积的充分条件 连续或只有有限个第一类间断点.3、几何意义 定积分等于面积的代数和.4、主要性质1、线性性质 bababa gdxkfdxgkf 2121)(2、可加性 c3、比较 在a,b 上,有 ,则fxfbaba4、估值 在a,b 上, Mdm)()()(5、积分中值定理当 f(x)在a,b 上连续时: ba bafxf ,)()(6、变上限积分函

8、数1、 )()()(,)( xfdtfdtfFbaxf xaxa 可 导 , 且连 续 , 则在若2、 ,且可 导可 导 , 则,连 续 ,在若 )()xtx()()(ffxF7、牛顿-莱布尼茨公式 )(|)()(,)( aFbdxfxfbaxf baa连 续 , 则在若8、定积分的积分法91、换元法 牢记:换元同时要换限2、分部积分法 babavduud|3、特殊积分(1) aa xfdfdxf0)(,)(2,)( 为 偶 函 数 时当为 奇 函 数 时当(2)当 f(x)为周期为 T 的周期函数时: 2,)()(TnTa Zndxfdxf(3) 是 正 偶 数 时,! 是 正 奇 数 时, nnn 2!)1(!cossi2020 10第五章 定积分应用1、几何应用1、面积(1)直角坐标系中 dyxAba)( )( 左右 下上 (2)参数函数 则),(,):ttyxCdtxtyA|)(|2、体积(1)旋转体体积 或baxdV2dcyx2bayxV2(2)截面面积为 的立体体积为)(AbadA)(

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