1、 高等数学 教案系 部： 基础部 任课教师： 教师职称： 授课对象： 大一 课程学时： 120 学年学期： 60 第 1 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分1 不定积分的概念授课类型（请打） 理论课 研讨课 习题课 复习课 其他教学目的：1、正确理解原函数，不定积分的概念；2、熟悉基本积分公式。教学方法、手段：讲授法，板书，课件展示。教学重点、难点：重点：原函数，不定积分的概念；难点：利用积分公式求函数的积分。教学内容及过程设计 补充内容和时间分配一、引入新课通过实例（变速直线运动（课件展示） ）的分析和讲解，知其速度是路程函数对时间 的导数，即速度 。反过来，如果已知变速直
2、线运动物体的速度)(tst )(tsv函数 ，如何求出物体的路程函数 ，使得它的导数 等于已知的速度函数v )(ts。这是我们这节课所要讲解的重点。)(t说明：从数学的观点来看，它的实质是：已知函数 ，求一个函数 ，使)(tv)(ts得 。这就是与求导数相反的问题。)(tvs通过对此例题的讲解，引出此节课要讲的不定积分的概念。二、讲授新课1、原函数的概念定义 3.1 设函数 在某区间上有定义，若存在函数 ，使得在该区间任一)(xfy )(xF点处，均有或)(xfF xfFd)(d则称 为 在该区间上的一个原函数。)(xFf设计思路：通过几个例子加以说明，加强学生对于原函数概念的理解，为不定积分
3、概念的学习做铺垫。2、不定积分的概念不定积分的概念（课件展示） ，强调不定积分的重要性。说明：根据不定积分的定义可知，求函数 的不定积分，只需求出 的一个原)(xf )(xf函数再加上一个常数 即可。C（5 分钟）（20 分钟）（25 分钟）值得注意的是，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。例如： ，有 ； ，有 ；att21 Cattd21xcos)(sinCxdsinc，有 。231x Cxd3注意：求不定积分时，不要忘记在一个原函数后面再加任意常数 ，否则求的只是C一个原函数，不是所有的原函数，即不定积分。通常把求不定积分的方法称为积分法。提问：积分运算与微分
4、运算有什么样的关系？小结： ，此式表明，先求积分再求导数（或求微分）xfxffxf d)()(d)(d)( 或，两种运算的作用相互抵消。 ，此式表明，先求导数（或求微分）再求 CxFCxF)()()(或积分两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数 。对这两个式子，要熟练运用。2、基本积分公式课件展示：基本积分公式。说明：求不定积分就是求导数的逆运算。结合例题加以分析讲解基本的积分公式，加深学生对于积分公式的记忆，常用的积分公式着重讲解。强调：以上 13 个公式是积分法的基础，必须熟记，不仅要记住等式右端的结果，还要熟悉左端被积分函数的形式。三、课堂演练练习题：1、求下列各式的不定积分。（1） ；
5、（2） ；（3） ；（4） 。dxxdsindxedx212、已知曲线上任意一点切线的斜率为 ，且该曲线过 点，求曲线方程。2)5,(四、课堂小结本次课程的内容有：原函数的定义，不定积分的概念，基本积分公式。（20 分钟）（15 分钟）（5 分钟）思考题、作业题、讨论题：作业题：P71: 5.1, 1 第 2 次课 学时 2 课后总结分析：授课题目（章，节） 第五章 不定积分2 不定积分性质授课类型（请打） 理论课 研讨课 习题课 复习课 其他教学目的：1、正确理解不定积分的性质，掌握性质求简单函数的不定积分。教学方法、手段：讲授法，板书。教学重点、难点：重点：不定积分的性质；难点：会利用性质
6、求函数的不定积分。教学内容及过程设计 补充内容和时间分配一、引入新课提问：上次课程我们学了不定积分的概念，引入实例，通过实例的求解，引入不定积分性质的话题，初步分析不定积分的性质。二、讲授新课1、不定积分的性质1. 积分对于函数的可加性，即，()()()fxgdfxgdx可推广到有限个函数代数和的情况，即。 xfxfxfxfxff nn d)()()()()( 2121 设计思路：给出几个例题，让学生们练习不积分的可加性，加强学生对性质的理解。2. 积分对于函数的齐次性，即。)0 (d)()(kxfkxf说明：利用不定积分的基本积分公式和性质，就可以求一些简单函数的不定积分。2、典型例题例 1
7、 求下列各式的不定积分：（15 分钟）（25 分钟）5 分钟学生消化以上所讲的知识。（10 分钟）（1） ； （2） ； （3） 。dx3dxdxe讲解：略例 2 求 。xx)1cos(讲解：略例 3 求 。dx2)(讲解：略例 4 求 。x21例 5 求 。dcos例 6 求 。x2sin例 7 求 。dxcoi1说明：不定积分性质运用，理解比较困难，这种加强例、习题的讲解和练习，帮助学生掌握不定积分的性质。（5 分钟）（5 分钟）（5 分钟）（5 分钟）（5 分钟）（10 分钟）思考题、作业题、讨论题：作业题：P71 5.1 2.（2） （4） （6）. 课后总结分析：第 3 次课 学时
8、2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分3 第一换元积分法授课类型（请打） 理论课 研讨课 习题课 复习课 其他教学目的：1、熟练掌握第一换元积分法；2、会利用第一换元积分法求简单函数的不定积分。教学方法、手段：讲授法，板书。教学重点、难点：重点：第一换元积分法；难点：会用第一换元积分法求函数的不定积分。教学内容及过程设计 补充内容和时间分配一、引入新课引入一个例子，通过例题的讲解；提问：你能通过例子总结一下不定积分的积分方法吗？ 二、讲授新课1、第一换元法的概念给出不定积分 ，计算了它的原函数，xd2cos注意： 为复合函数。分析此不定积分：通过观察在积分表中没有此公式，只有 ，若将公式改写
9、为员Cxdsinco。令 ，)2(cos12cosxdxdxu2则上式变为。111cos2cos2()cosinsi22xdxdudCx这种先凑微分形式，再作代换的积分方法，叫做第一换元积分法。说明：第一换元积分法，又称凑微分法。设计思路：讲练结合，给出例题，让学生们利用第一换元积分法求函数的不定积分，加强对上方法的理解和运用。2、利用第一换元法求函数不定积分的步骤。提问：通过以上对第一换元法例题的讲解，同学们总结一下第一换元法求函数的不（15 分钟）（20 分钟）（20 分钟）定积分的步骤是什么？小结：（1）先凑微分，即 凑微分 ；dxf)()(xdf（2）变量代换后积分，令 ， ，u)(f
10、令 ；)(xCuFdf（3）最后回代， 回代 。CuFdf)( )(x其中，第一步凑微分是关键，因而第一换元法又常称为凑微分法。设计思路：给出例题，根据所讲的求积分的步骤，求函数的不定积分，加强对此步骤的应用。三、课堂练习例 1 求下列函数的不定积分。（1） ；（2） ；（3） ；dx3dxe12dxe2（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；a2lndxe3（8） ；（9） ；（10） 。xdtanxdcosxd3si四、课堂小结本次课程的内容有：第一换元积分法的概念；不第一换元积分法求不定积分的步骤5 分钟学生消化以上所讲的知识。（25 分钟）（5 分钟）思考题、作业题、讨论题：作业题：P
11、76: 5.2 1.（2） （6） （8）课后总结分析：第 4 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分4 第二换元积分法授课类型（请打） 理论课 研讨课 习题课 复习课 其他教学目的：1、熟练掌握第二换元积分法；2、会利用第二换元积分法求函数的不定积分。教学方法、手段：讲授法，板书。教学重点、难点：重点：第二换元积分法；难点：会用第二换元积分法求函数的不定积分。教学内容及过程设计 补充内容和时间分配一、引入新课回顾第一换元法。说明：第一换元法是先凑微分，再用新变量 替换 。但是有些积分是不容易凑u)(x微分的，需要新的积分方法。给出例子 ，分析、解答此问题。dx1分析：在基本积分
12、公式中，没有类似被积函数的公式，这就不能直接积分；也找不到合适的凑微分的部分，第一换元法就不能用。如果先去掉根号，可令 ，则tx。tdxt2,解 12td= Cttdtt 1ln2112lnxC设计思路：通过例题讲解，引出第二积分法这一求解不易凑微分的求解积分的方法。二、讲授新课1、第二换元法的概念从以上例题的解法，可以看出，这种先换元，再积分，称为第二换元积分法。2、第二换元积分法的步骤第二换元积分法的步骤如下：（1）先换元，令 ，即)(tx；dttftxdf )()(换 元（2）再积分，即 积分 ；ttf)( CtF（3）最后回代， ，即1xt回代 。CtF)()(t x)(1强调：运用第
13、二换元积分法的关键是选择合适的变换函数 。对于 ，要)(t)(tx求单调可微，且 ，其中 是 的反函数。0)(t)(1xt)(t说明：（1）第一换元法先凑微分再换元；第二换元法是先换元再积分。（2）第二换元法常用的代换有幂代换和三角代换，当被积函数含有 时，可nbax（20 分钟）（10 分钟）（25 分钟）5 分钟学生消化以上所讲的知识。作幂代换令 ；当被积函数含有 ， ， 等表达式时，可nbaxt2xa2x2a作三角代换，分别令 ， ， 。tsintxtsec三、典型例题例 1 求下列函数的不定积分。（1） ；（2） ；（3） 。dxdx1)0(2adx讲解：略点评：上述类型的习题，由于第一换元积分等方法不易求解，可根据第二积分换元法的解题步骤，逐次解答。四、课堂小结本次课程的内容有：第二换元积分法的概念；第二换元积分法求不定积分。（20 分钟）（10 分钟）思考题、作业题、讨论题：作业题：P78:5.2 1.2.3.4课后总结分析：
