1、1高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一切线问题题型 1 求曲线 在 处的切线方程。)(xfy0方法： 为在 处的切线的斜率。0题型 2 过点 的直线与曲线 的相切问题。),(ba)(xfy方法：设曲线 的切点 ，由 求出 ，进而解决相关问题。)(f,0 bxffax)()(000 0x注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲 线 过 某 点 的 切 线 往 往 不 止 一 条 。例 已知函数 f（x）=x 33x（1）求曲线 y=f（x）在点 x=2 处的切线方程；（答案： ）0169yx（2）若过点 A 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围、)2(,1m)(fym（提示：设
2、曲线 上的切点（ ） ；建立 的等式关系。将问题转化为关于 的方fy,0x)(,0f mx,0程有三个不同实数根问题。 （答案： 的范围是 ）23题型 3 求两个曲线 、 的公切线。)(xfy)(g方法：设曲线 、 的切点分别为（ ） 。 （ ） ；xy)(,1xf)(,2xf建立 的等式关系， ， ；求出 ，进而求出21,x 1212yf 12y 21,x切线方程。解 决 问 题 的 方 法 是 设 切 点 ， 用 导 数 求 斜 率 ， 建 立 等 式 关 系 。例 求曲线 与曲线 的公切线方程。 （答案 ）yeln0e二单调性问题题型 1 求函数的单调区间。求含参函数的单调区间的关键是确
3、定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0 的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，与0 的关系不定） ；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例 已知函数 xaxaf )1(2ln)(（1）求函数 的单调区间。 （利用极值点的大小关系分类）（2）若 ，求函数 的单调区间。 （利用极值点与区间的关系分类）ex,)f题型 2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。方法 1：研究
4、导函数讨论。方法 2：转化为 在给定区间上恒成立问题， 0)()( xff或方法 3：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。注意：“函数 在 上是减函数”与“函数 的单调减区间是 ”的区别是前者是后者的子集。)(xfnm, )(xfba,例 已知函数 2lfa+ 在 上是单调函数，求实数 的取值范围x,1（答案 ）,0题型 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。方法 1：正难则反，研究在某区间的不单调方法 2:研究导函数是零点问题，再检验。方法 3:直接研究不单调，分情况讨论。例 设函数 ， 在区间 内不单调，求实数 的取
5、值范围。1)(23xaxf Ra1,2a（答案： ） ）,a三极值、最值问题。题型 1 求函数极值、最值。基本思路：定义域 疑似极值点 单调区间 极值 最值。例 已知函数 ，求在 的极小值。12)1()( kxekxefx 2,1x（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法 2.转化为函数单调性问题。例 函数 。0 是函数 的极值点。求实数 值。 （答案：1）1)(21)(341)(3xpxpxf )(xf p2题型 3 已知最值，求系数值或范围。方法：1.直接求最值；2.转化恒
6、成立，求出范围，再检验。例 设 ，函数 若函数 ，在 处取得最大值，求 的aR23)(xaxf()()02gxfx， ， xa取值范围 （答案： ）56,四不等式恒成立（或存在性）问题。一些方法1.若函数 ， 恒成立， ，则nmxf,)(值 域 a)(xfna2.对任意 ， 恒成立。则 。21)(21gmin1)(xfax2)(g3.对 ， 成立。则 。, ai4.对 ，恒成立 。转化 恒成立)(1f01xf4. 对 ， 成立。则 。nxx,21(21xf in1)(fin2)(5. 对 ， 成立。则gmaxaxg6. 对 ， 成立。则构造函数 。 转化证明 在m,21f21) ft)( )(
7、xt是增函数。nm,题型 1 已知不等式恒成立，求系数范围。方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。（2）讨论法: 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与 0 的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，与 0 的关系不定） ；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。（3）数形结合：（4）变更主元解题思路 1.代特值缩小范围。2. 化简不等式。3.选方法（用讨论法，或构造新函数） 。方法：分离法。求最值时，可能用罗比达法则
8、；研究单调性时，或多次求导。例 函数 。在 恒成立，求实数 取值范围。 （方法：分离法，多次求导axexf)ln()2e,1xf)(a答案： ）,0方法：讨论法。 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与 0 的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，与 0 的关系不定） ；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例 设函数 f(x)= .若当 x0 时 f(x)0，求 a 的取值范围.21xea（答案： 的取值范围为 ）a,方法：数形结合。数形结合解不等
9、式恒成立问题的步骤：（1）不等式等价变形（2）把不等式两端的式子分别看成两个函数（其中一个函数的图像为直线， ） 。 （3）利用导数研究函数的单调性，极值、最值，图像的凹凸性。 （4）画出两个函数图像。 （5）根据不等式关系和图形的位置关系，列式求解。例 （2012 新课标全国卷理科 21 题第二问）已知函数 满足 ；若 ，求 的最大值。()fx12()(0)xfefx21()fxab(1)解： ，令 得：12100fee 0f得： ，21()()()xfef2)(xxf(变形)又 ，()faxbbax(设函数)设 ， 。ge)(h)(画函数图像) 的图像是过（0，1）)(x的曲线 C，曲线
10、C 随着 的增大 值增大且图像下凹。y的图像是过点（0，b）且斜率为ha1的直线 L，如图一。(列式求解)由 ，则曲线 C 必在直线 L 的上方或曲线 C 与直线 L 相切。xaex)(设曲线 C 与直线 L 的切点为 M ，曲线 C 在点 M 的切线方程为 L: ，切线),(0y),(0yx )1(000xeyx的斜率为 ，在 轴上的截距为 。又直线 L 的斜率为 ，在 轴上的截距为 ，则有 ，0xy1e1aba，bex)1(0所以 = ，设 ， ， ，a0xe)(00 )(020x)(0t)(020xeR)(0xt)2(00xex当 ， 0 当 ， 0，故 有最大值 ，所以， 的最大2,0
11、)t ,t2(t1值为 。e方法：变更主元例：设函数 在区间 D 上的导数为 ， 在区间 D 上的导数为 ，若在区间 D 上，()yfx()fxf ()gx恒成立，则称函数 在区间 D 上为“凸函数 ”，已知实数 m 是常数， ，若()0gx()f43216mxf对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为 “凸函数” ，求 的最大值. （答案： ）2mmf,abba0yx bah)1(C: xeg)(,0yx1 ML：3五函数零点问题题型 1：判断函数零点的个数。方法：方程法；函数图象法；转化法；存在性定理例.设 31,()()lnaRfxaxx若函数 ()yfx有零点，求 的取值范围a（
12、提示：当 时， ， ，所以成立，答案 ）0)f03af ,31题型 2：已知函数零点，求系数。方法：图象法(研究函数图象与 x 轴交点的个数) ；方程法；转化法（由函数转化方程，再转化函数，研究函数的单调性。 ）例.函数 在（1,3）有极值，求实数 的取值范围。 （答案 ）31(ln)axf a18,六不等式证明问题方法 1：构造函数，研究单调性，最值，得出不等关系，有的涉及不等式放缩。方法 2：讨论法。方法 2.研究两个函数的最值。如证 ，需证 的最小值大于 的最大值即可。)(xgf)(xf)(xg方法：讨论法例：已知函数 ln()1axbf，曲线 ()yf在点 1,()f处的切线方程为 2
13、30y。证明：当 0x，且 1x时， 。方法：构造函数例：已知函数 与函数 为常数， （1）若 图象上一点2()(0)fxakbx()ln,、 、gxabxk()gx处的切线方程为： ，设 是函数 的图(2,pg2ln0y122()(,)AyBxy象上两点， ，证明：210()y 12方法：构造函数，不等式放缩例.已知函数 )(ln)(2Rmxxf(I)；若 m=0，A(a,f(a)、B(b，f(b)是函数 f(x)图象上不同的两点.且 ab0, 为 f(x)的导函数，求证：)(xf)()2( bfafbf (II)求证 ：*)(1.321ln2.753 Nn方法：求同项。方法：数学归纳法。七导数在实际中的应用
