1、 让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 1 页 共 5 页待定系数法求二次函数的解析式知识讲解（提高）撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的 【要点梳理】知识点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式： (a，b，c 为常数，a0)；2yax(2)顶点式： (a，h，k 为常数，a0)
2、；()(3)交点式： ( ， 为抛物线与 x轴交点的横坐标，a0)12yx1x22.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 或 ，2yabc2()yaxhk或 ，其中 a0；12()yax第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 ；当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小
3、值2yaxbc时可设函数的解析式为 ；当已知抛物线与 x轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，()hk可设函数的解析式为 12yx【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线 经过 A，B，C 三点，当 时，其图象如图 1所示.求抛物yaxbc2 x0线的解析式，写出顶点坐标.让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 2 页 共 5 页图 1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为 （ ）.yaxbc2a0由图象可知 A，B，C 的坐标分别为（0，2） ， （4，0） ， （
4、5，-3）.解之，得cab2164053,， abc123,抛物线的解析式为 yx123yx123258()()该抛物线的顶点坐标为 .2，【点评】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式” ，那就必须加上自变量的取值范围 .x02. 一条抛物线 经过点 与 .求这条抛物线的解析式.yxmn142()032， ()4，【答案与解析】抛物线 经过点（ ）和 ，yx2,(,)这条抛物线的对称轴是直线 .x2设所求抛物线的解析式为 .yh1()让更多
5、的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 3 页 共 5 页将点 代入，得 ，解得 .(,)03214023()h12这条抛物线的解析式为 ，即 .yx2()yx432【点评】解析式中的 a值已经知道，只需求出 的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次mn,函数的一般式入手列方程组解答.还可以从所给两点 的特征入手：这两点关于抛物(,)0线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线 ，这样又可以从抛物线的顶点式入手.当点 M（x2）和 N（ ）都是抛物线上的点时，若 ，则对称轴方程为 ，这xy1,xy2, y
6、12x12一点很重要也很有用.3. 已知抛物线 的顶点坐标为（1，4） ，与 轴两交点间的距离为 6，求此抛物abc2 x线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为（1，4） ，所以对称轴为 ，又因为抛物线与 轴两交点的距离为 6，x1x所以两交点的横坐标分别为： ， ， 则两交点的坐标为（ ，0） 、13234（2，0） ；求函数的函数关系式可有两种方法：解法 ：设抛物线的函数关系式为顶点式： (a0)，把（2，0）代入得(1) yax()142，a49所以抛物线的函数关系式为 ；yx4912()解法 ：设抛物线的函数关系式为两点式： (a0)，(2) (4)yax（ -2）把（1，4）代
7、入得 ，a49所以抛物线的函数关系式为： ；(4)yx（ -）【点评】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清 ID号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例 3-例 4】【变式】已知一抛物线与 x轴的交点是 ， B（1，0） ，且经过点 C（2，8）.),2(A（1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.【答案】 （1） ；42y（2） .)9,(类型二、用待定系数法解题让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-8207968
8、7 第 4 页 共 5 页4. 如图所示，已知二次函数 的图象经过 A(2，0)，B(0，-6)两点21yxbc(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与 x轴交于点 C，连接 BA，BC，求ABC 的面积【答案与解析】 (1)把 A(2，0)，B(0，-6)代入 21yxbc得 解得20,6,bc4,6.c 这个二次函数的解析式为 21yx(2) 该抛物线的对称轴为直线 ，42 点 C的坐标为(4，0)， ACOC-OA4-22 1162ABSOA【点评】求ABC 的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解(1)将 A、B 两点坐标分
9、别代入解析式求出 b，c 的值(2)先求出点 C的坐标再求出ABC 的面积举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清 ID号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例 3-例 4】【变式】已知二次函数图象的顶点是 ，且过点 (12)， 302，（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数 ，点 都不在这个二次函数的图象上.m()M，【答案】 （1） ；23xy让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 5 页 共 5 页（2）证明：若点 在此二次函数的图象上，则 2()Mm， 221()m得 230= ，该方程无实根418所以原结论成立
