1、第 30 练 双曲线的渐近线和离心率问题题型分析高考展望 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型精析题型一 双曲线的渐近线问题例 1 (1)(2015重庆)设双曲线 1(a0，b0) 的右焦点是 F，左，右顶点分别是x2a2 y2b2A1，A 2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，若 A1BA 2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_.(2)(2014江西)如图，已知双曲线 C： y 21( a0)的右焦点为
2、F.点 A，B 分别在 C 的两x2a2条渐近线上，AFx 轴，AB OB，BFOA(O 为坐标原点 ).求双曲线 C 的方程；过 C 上一点 P(x0，y 0)(y00) 的直线 l： y 0y1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 xx0xa2相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时， 恒为定值，并求此定值 .32 MFNF点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法. 由 y x 0 0，ba xayb x2a2 y2b2所以可以把标准方程 1(a0 ，b0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.x2a2 y2b2(2)已知双曲线渐近线方程：y x，可设双曲线方程为 (
3、0)，求出 即得双曲ba x2a2 y2b2线方程.变式训练 1 (2014山东改编) 已知 ab0，椭圆 C1 的方程为 1，双曲线 C2 的方程x2a2 y2b2为 1，C 1 与 C2 的离心率之积为 ，则 C2 的渐近线方程为_.x2a2 y2b2 32题型二 双曲线的离心率问题例 2 (1)(2015湖北改编)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(ab)同时增加 m(m0)个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则下列命题正确的是 _.对任意的 a，b，e 1e2；当 ab 时，e 1e2；当 ab 时，e 1e2.(2)已知 O 为坐标原点，双曲
4、线 1(a0，b0)的右焦点为 F，以 OF 为直径作圆交双x2a2 y2b2曲线的渐近线于异于原点的两点 A、B，若( ) 0，则双曲线的离心率 e 为AO AF OF _.点评 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于 e 是一个比值，故只需根据条件得到关于caa、b、c 的一个关系式，利用 b2c 2a 2消去 b，然后变形求 e，并且需注意 e1.同时注意双曲线方程中 x，y 的范围问题.变式训练 2 (2014湖南)如图， O 为坐标原点，椭圆 C1： x2a21(a b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，离
5、心率为 e1；双曲y2b2线 C2： 1 的左、右焦点分别为 F3、F 4，离心率为 e2.已x2a2 y2b2知 e1e2 ，且 F2F4 1.32 3(1)求 C1，C 2 的方程；(2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为 AB 的中点，当直线 OM 与 C2 交于 P，Q 两点时，求四边形 APBQ 面积的最小值.题型三 双曲线的渐近线与离心率的综合问题例 3 (2014福建)已知双曲线 E： 1(a0，b0)的两条渐近线分x2a2 y2b2别为 l1：y2x，l 2：y 2x.(1)求双曲线 E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1，
6、l 2 于 A，B 两点(A，B 分别在第一、四象限)，且OAB 的面积恒为 8.试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，请说明理由.点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练 3 (2014浙江)设直线 x3ym0(m 0)与双曲线 1(a0，b0)的两条x2a2 y2b2渐近线分别交于点 A，B.若点 P(m,0)满足 PAPB，则该双曲线的离心率是_.高考题型精练1.(2015课标全国改编)已知 M(x0，y 0)是双曲线 C： y 2
7、1 上的一点，F 1，F 2 是 C 的x22两个焦点，若 0，b0)的两条渐近线均和圆 C：x 2y 26x50 相切，且双x2a2 y2b2曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为 _.4.以椭圆 1 的右焦点为圆心，且与双曲线 1 的渐近线相切的圆的方程是x2169 y2144 x29 y216_.5.已知双曲线 1(a0，b0)以及双曲线 1 的渐近线将第一象限三等分，则x2a2 y2b2 y2a2 x2b2双曲线 1 的离心率为_.x2a2 y2b26.(2015镇江模拟)已知双曲线 C： 1 (a0，b0) 的左，右焦点分别为 F1，F 2，过x2a2 y2b2F2 作双曲
8、线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 H，若 F2H 的中点 M 在双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为_.7.已知抛物线 y28x 的准线过双曲线 1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率x2a2 y2b2为 2，则该双曲线的方程为_.8.已知双曲线 C 的中心在原点，且左，右焦点分别为 F1，F 2，以 F1F2 为底边作正三角形，若双曲线 C 与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线 C 的离心率为_.9.已知 F1，F 2 分别是双曲线 1 (a0，b0)的左，右焦点，过点 F2 与双曲线的一条x2a2 y2b2渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线
9、段 F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是_.10.过双曲线 1 (a0，b0)的左焦点 F 作圆 x2y 2 a2 的切线，切点为 E，直线 EFx2a2 y2b2 14交双曲线右支于点 P，若 ( )，则双曲线的离心率是_.OE 12OF OP 11.已知双曲线 1 (a0，b0)的一条渐近线方程为 2xy 0，且顶点到渐近线的距y2a2 x2b2离为 .255(1)求此双曲线的方程；(2)设 P 为双曲线上一点，A，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求AOB 的面积.AP PB 12.(2015盐城模拟)已知双曲线 1 (a0，b0)的右焦点为 F(c
10、,0).x2a2 y2b2(1)若双曲线的一条渐近线方程为 yx 且 c2，求双曲线的方程；(2)以原点 O 为圆心， c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过 A 作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率.3答案精析第 30 练 双曲线的渐近线和离心率问题常考题型典例剖析例 1 (1)1解析 双曲线 1 的右焦点 F(c,0)，左，右顶点分别为 A1(a，0)，A 2(a,0)，易求x2a2 y2b2B ，C ，则(c，b2a) (c， b2a)kA2C ，kA 1B ，又 A1B 与 A2C 垂直，b2aa cb2aa c则有 kA1BkA2C1，即 1，b2aa cb2aa
11、c 1，a 2b 2，即 ab，b4a2c2 a2渐近线斜率 k 1.ba(2)解 设 F(c,0)，因为 b1，所以 c ，a2 1直线 OB 的方程为 y x，1a直线 BF 的方程为 y (xc )，1a解得 B( ， )c2 c2a又直线 OA 的方程为 y x，1a则 A(c， )，k AB .caca c2ac c2 3a又因为 ABOB，所以 ( )1，3a 1a解得 a23，故双曲线 C 的方程为 y 21.x23由知 a ，则直线 l 的方程为3y 0y1(y 00)，即 y .x0x3 x0x 33y0因为直线 AF 的方程为 x2，所以直线 l 与 AF 的交点为 M(2
12、， )；2x0 33y0直线 l 与直线 x 的交点为 N( ， )32 32 32x0 33y0则 MF2NF22x0 323y0214 32x0 323y02 2x0 329y204 94x0 22 .43 2x0 323y20 3x0 22因为 P(x0，y 0)是 C 上一点，则 y 1，x203 20代入上式得 MF2NF2 43 2x0 32x20 3 3x0 22 ，43 2x0 324x20 12x0 9 43即所求定值为 .MFNF 23 233变式训练 1 x y02解析 由题意知 e1 ，e 2 ，c1a c2ae 1e2 .c1ac2a c1c2a2 32又a 2b 2
13、c ，c a 2b 2，21 2c a 2b 2，21 1( )4，c21c2a4 a4 b4a4 ba即 1( )4 ，ba 34解得 ， .ba 22 ba 22令 0，解得 bxay0 ，x2a2 y2b2x y0.2例 2 (1) (2) 2解析 (1)由题意 e1 ；双曲线 C2的实半轴长为 am，虚半轴长为a2 b2a2 1 (ba)2bm，离心率 e2 .a m2 b m2a m2 1 (b ma m)2因为 ，且 a0，b0 ，m0，ab，b ma m ba ma baa m所以当 ab 时， 0，即 .ma baa m b ma mba又 0， 0，b ma m ba所以由不
14、等式的性质依次可得 2 2,1 21 2，所以 (b ma m) (ba) (b ma m) (ba) 1 (b ma m)2，即 e2e1；同理，当 ab 时，e 1e2.(2)如图，设 OF 的中点为 T，由( ) 0 可知 ATOF，AO AF OF 又 A 在以 OF 为直径的圆上，A ，(c2，c2)又 A 在直线 y x 上，baab，e .2变式训练 2 解 (1)因为 e1e2 ，所以 ，即 a4b 4 a4，因此32 a2 b2a a2 b2a 32 34a22b 2，从而 F2(b,0)，F 4( b,0)，于是 bbF 2F4 1，所以 b1，a 22.3 3 3故 C1
15、，C 2的方程分别为 y 21， y 21.x22 x22(2)因 AB 不垂直于 y 轴，且过点 F1(1,0) ，故可设直线 AB 的方程为 xmy1.由Error! 得(m 22)y 22my10.易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1，y 2是上述方程的两个实根，所以 y1y 2 ，y 1y2 .2mm2 2 1m2 2因此 x1x 2m(y 1y 2)2 ， 4m2 2于是 AB 的中点为 M( ， )， 2m2 2 mm2 2故直线 PQ 的斜率为 ，PQ 的方程为 y x.m2 m2由Error! 得(2 m 2)x24，所以 2m 2
16、0，且 x2 ，y 2 ，42 m2 m22 m2从而 PQ2 2 .x2 y2m2 42 m2设点 A 到直线 PQ 的距离为 d，则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d，所以 2d .|mx1 2y1| |mx2 2y2|m2 4因为点 A，B 在直线 mx2y0 的异侧，所以(mx 12y 1)(mx22y 2)0，于是|mx 12y 1|mx 22y 2|mx 12y 1mx 22y 2|，从而 2d .m2 2|y1 y2|m2 4又因为|y 1y 2| y1 y22 4y1y2 ，22 1 m2m2 2所以 2d .22 1 m2m2 4故四边形 APBQ 的面积 S PQ2d 2 .12 22 1 m22 m2 2 1 32 m2而 02m 22 ，故当 m0 时，S 取得最小值 2.综上所述，四边形 APBQ 面积的最小值为 2.例 3 解 (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y2x，y2x，所以 2，ba所以 2，故 c a，c2 a2a 5从而双曲线 E 的离心率 e .ca 5(2)方法一 由(1) 知，双曲线 E 的方程为 1.x2a2 y24a2设直线 l 与 x 轴相交于点 C.当 lx 轴时，若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，
