1、第 1 页 共 5 页OCBA1 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对 的弧、弦和弦心距之 间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的 圆周角。例：如图，是O 的直径 ,POAB 交O 于 P 点，弦 PN 与 AB 相交于点 M，求证：PMPN=2PO 2.分析：要证明 PMPN=2PO2，即证明 PMPC =PO2，过
2、O 点作 OCPN 于 C，根据垂经定理 NC=PC，只需证明PMPC=PO2，要证明 PMPC=PO2 只需证明 RtPOCRtPMO.证明: 过圆心 O 作 OCPN 于 C，PC= PN1POAB, OCPN，MOP=OCP=90.又OPC=MPO，Rt POCRt PMO. 即PO 2= PMPC. PO 2= PM PN，PMPN=2PO 2.PCM【例 1】如图，已知ABC 内接于O，A=45，BC=2，求O 的面积。 【例 2】如图，O 的直径为 10，弦 AB8，P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP 的长的取值范围是_【例 3】如图，弦 AB 的长等于O 的半径，点 C 在弧
3、 AMB 上，则C 的度数是_.第 2 页 共 5 页OCBAOCBA2 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。例 如图，在ABC 中，C=90，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M，交 BC于点 N（1） 求证：BABM=BCBN；（2） 如果 CM 是O 的切线，N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值分析：要证 BABM=BCBN，需证ACBNMB，而C=90 ，所以需要NMB 中有个直角，而BN 是圆 O 的直径，所以连结 MN 可得BMN=90。（1） 证明：连结 MN，则BMN=90=
4、ACBACBNMB BNAMCABBM=BC BN（2） 解：连结 OM，则OMC=90N 为 OC 中点MN=ON=OM，MON=60OM=OB，B= MON=3021ACB=90，AB=2AC=2 3=6【例 4】如图，AB 是O 的直径，AB=4，弦 BC=2, B= 3 遇到 90的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例 5】如图，AB、AC 是O 的的两条弦，BAC=90，AB=6，AC=8，O 的半径是 5 遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） （2）常常添加连结圆上一点和切点作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定
5、理。2、利用切线的性质定理可得 OAAB，得到直角或直角三角形。BMN OCA第 3 页 共 5 页【例 6】如图，AB 是O 的直径，弦 AC 与 AB 成 30角，CD 与O 切于 C，交 AB的延长线于 D，求证：AC=CD6 遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.” ，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端， （2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.
6、1无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.例 7已知：如图，AB 是O 的直径，ADAB 于 A， BCAB 于 B，若DOC= 90.求证：DC 是O 的切线.分析：DC 与O 没有交点， “无点作垂线” ，过圆心 O 作 OEDC，只需证 OE 等于圆的半径.因为 AO 为半径，若能证 OE=OA 即可.而 OE、OA 在DEO 、DAO 中，需证明DEO DAO证明：作 OEDC 于 E 点，取 DC 的中点 F，连结 OF.又DOC= 90. FO=FD 1= 3.ADAB，BCAB, BCAD, OF 为梯
7、形的中位线.OFAD . 2= 3. 1= 2.DO 是ADE 的角平分线. OADA，OE DC，OA=OE=圆的半径 . DC 是O 的切线.2有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例 8已知：如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD，求证：CD 是O 的切线.分析：D 在O 上，有点连圆心，连结 DO，证明 DODC 即可. 证明：连结 DO，OCAD DAO=COB，ADO=DOC而DAO=ADODOC=COB，又 OC=OC，DO=BO DOCBOC ODC=OBC， BC 为O
8、的切线，切点为 BOBC=90， ODC=90，又 D 在O 上，CD 是O 的切线.【例 7】如图所示，已知 AB 是O 的直径，ACL 于 C，BDL 于 D，且 AC+BD=AB。求证：直线 L 与O 相切。第 4 页 共 5 页【例 8】如图，ABO 中，OA= OB，以 O 为圆心的圆经过 AB 中点 C，且分别交 OA、OB 于点 E、F求证：AB 是O 切线；7 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到： 角、 线段的等量关系； 垂直关系；全等、相似三角形。【例 9】如图，P 是O 外一点，PA、PB 分别和
9、O 切于 A、B，C 是弧 AB 上任意一点，过 C 作O 的切线分别交 PA、PB 于 D、E，若PDE 的周长为 12，则 PA 长为_8 遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。【例 10】如图，ABC 中，A=45，I 是内心，则BIC= 【例 11】如图，RtABC 中，AC=8，BC=6 ，C=90 ，I 分别切 AC，BC ，AB 于 D，E，F，求RtABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离9 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用
10、：外心到三角形各顶点的距离相等。课后冲浪 1已知：P 是O 外一点，PB，PD 分别交O 于 A、B 和 C、D，且 AB=CD.求证：PO 平分BPD2如图，ABC 中，C=90，圆 O 分别与 AC、BC 相切于 M、N，点 O 在 AB 上，如果 AO=15，BO=10，求圆 O 的半径.ABCDEPO. .A C B M N o BADCPO第 5 页 共 5 页3已知： ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O 点，BC 切O 于 E 点.求证：AD 也和O 相切.AB CDOE4如图，学校 A 附近有一公路 MN，一拖拉机从 P 点出发向 PN 方向行驶，已知NPA=30，AP=160 米，假使拖拉机行使时，A 周围 100 米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为 18 千米小时，则受噪音影响的时间是多少秒？5如图，A 是半径为 1 的圆 O 外的一点，OA=2，AB 是圆 O 的切线，B 是切点，弦 BCOA，连结 AC，求阴影部分的面积.CAOB我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角，圆心作半径；已知有两圆，常画连心线；.遇到相交圆，连接公共弦；遇到相切圆，作条公切线；“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.
