1、高考数学中的内切球和外接球问题一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ . 27.例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为4，则该球的体积为_. 43.2、求长方体的外接球的有关问题例 3 （2007 年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2，则此球的表面积为 .14.例 4、 （2006 年全国卷 I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积为（ ）. C.A. 16 B. 0 C. 24 D. 323.求多面
2、体的外接球的有关问题例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为，则这个球的98体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为 ，高为 ，则有xh正六棱柱的底面圆的半径 ，球心到底面263,1,9384xh 12r的距离 .外接球的半径 . .3d2Rrd43V球二、构造法(补形法)1、构造正方体例 5 （2008 年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_. 9解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱长为 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设
3、其外接球的半径为 ，则有 . .故其外R222233924R接球的表面积 .249S小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的abc、 、长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 ，则有R.出现“墙角 ”结构利用补形知识，联系长方体。22R【例题】：在四面体 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为 的长即： 所以 球的表面积为例 6.一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面
4、上，则此球的表面积为（ ）A. 3 B. 4 C. 3 D. 6解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体 ABDE满足条件，即 AB=DE2B，由此可求得正方体的棱长为 1，体对角线为 3，从而外接球的直径也为 3，所以此球的表面积便可求得，故选 A.例 7在等腰梯形 C中， A=D， 0B=6， E为 的中点，将 E与 分布沿 E、 向上折起，使 A、 重合于点 P，则三棱锥 P-D的外接球的体积为（ ）.A. 4327B. 62C. 68D. 6
5、24解析： 因为 AE=BDC1， 0A=BED=，所以D，即三棱锥 P-C为正四面体，至此，这与例 6 就完全相同了，故选 C.例 8 .已知球 O的面上四点A、B 、 C、D， 平 面 ， B， =3，则球的体积等于 .解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于 DAC平 面 ， B，联想长方体中的相应线段关系，构造长方体，又因为 =3，则此长方体为正方体，所以 CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出 D=.故球 O的体积等于92.2、构造长方体例 9.已知点 A、B、C、D 在同一个球面上， BCDA平 面 ，若 6,=213,
6、8，则球的体积是 .解析：首先可联想到例 8，构造下面的长方体，于是 为球的直径，O 为球心， O=4为半径，要求 B、C 两点间的球面距离，只要求出 B即可，在 RtABC中，求出 =4，所以 0=6，故 B、C 两点间的球面距离是 3.三.多面体几何性质法例 1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是A. B. C. D.6202432解 设正四棱柱的底面边长为 ，外接球的半径为 ，则有 ，解xR2416x得 .2x .这个球的表面积是2246,R .选 C.小结 本题是运用 “正四棱柱的体对角线的长等于其外接球24的直径”这一性质来求解的.四
7、.寻求轴截面圆半径法例 11.正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点SABCD2都在同一球面上，则此球的体积为 .SAB、 、 、 、解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为 ，如图 11OO所示.由球的截面的性质，可得 .ABCD平 面又 ，球心 必在 所在的直线上.1SOABCD平 面 1S 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在 中，由 ，得 .2SA， 22SAC. 是外接圆的半径，也是外接球的半径.ASC是 以 为 斜 边 的 Rt1故 .43V球五 .确定球心位置法例 11.在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一个ABCD4,3BCABCD直二面角 ，则四面体 的外接球的体积为 A. B. C. D.125125912561253解 设矩形对角线的交点为 ，则由矩形对角线互相平分，可知O.点 到四面体的四个顶点 的距离相等，OABCD ABCD、 、 、即点 为四面体的外接球的球心，外接球的半径 .故O52ROA.选 C.341256VR球【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上， 且， ， ， ,求球 的体积。解： 且 ， ， , 因为 所以知 所以 所以可得图形为：在 中斜边为 ,在 中斜边为 ,取斜边的中点，在 中 ,在 中 所以在几何体中 ，即为该四面体的外接球的球心, ,所以该外接球的体积为CDA BSO1图3
