1、 1 / 5抛物线基础训练题一、选择题 1抛物线 ，F 是焦点，则 表示（ ）F 到准线的距离 F 到准线距离的28(0)ypxp 14F 到准线距离的 F 到 轴的距离 y抛物线 的准线方程是 ，则 的值是（ ） 8 2yax132ya1818直线 与抛物线 交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点的横坐标是 2，则 （ ）k8x k1 2 1 或 2 2 或 4 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 轴上，抛物线上的点 到焦点的距离等于 4，则 的值为（ ）y(,)mm4 2 4 或4 2 或2 过抛物线 的焦点的直线 交抛物线于 P ，Q 两点，如果 ，则 （ ）yxl1(,)x2(,)y
2、126xPQ边长为 1 的等边三角形 AOB，O 是原点， 轴，以 O 为顶点，且过 A，B 的抛物线的方程是（ ）AB 236236y23623yx抛物线 截 所得弦长为（ ） 1521yx1151515过点 P(1，0)且与抛物线 有且只有一个公共点的直线又（ ）1 条 2 条 3 条 4 条 2y设抛物线 的准线与 轴交于点，若过点的直线 与抛物线有公共点，则直线 的斜率的取值范围是（ ）28yxl l 2，2 1，1 4，4,10过点 M（2，4）作直线 L 与抛物线 只有一个公共点，这样的直线的条数是（ ）1 2 3 08yx二、填空题 11直线 过抛物线 的焦点，并且垂直于 轴，若
3、直线 被抛物线截得的线段长为 4 则 。l2axl a12.抛物线 上到顶点 O 和焦点 F 的距离相等的点的坐标是 。216yx13设抛物线 上一点 P 到 轴的距离为 12，则点 P 与焦点 F 的距离 的值是 。x14已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，焦点在曲线 ，则抛物线的方程为 。214xy三、解答题： 15 （10 分）已知抛物线的方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程。2ya16 （10 分）直角三角形 AOB 的三个顶点在抛物线 上，直角顶点 O 为原点，直角边 OA 所在的直线方程为 ，斜边px 2yxAB 的长为 ，求此抛物线的方程。51317过抛物线 的焦点 F 作一直线
4、交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 ，则 （ ）2(0)yax ,pq12 / 5A B C D2a12a4a418抛物线 与过点（0，1）的直线 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA 和 OB 的斜率之和为 1，求直线 的xyl l方程。19 （5 分）双曲线 的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 的焦点重合，则 的值为（ ）2(0)mn24yxmnAA B C D316381638320连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）菱形； 有三条边相等的四边形； 梯形 平行四边形； 有一组对角相等的四边形。21如图 2-3-12，M
5、 是抛物线 上的一点，动弦 ME，MF 分别交轴于 A，B 两点，且 MAMB。2yx（1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值；（2）若 M 为动点，且 ，求三角形 EMF 的重心 G 的轨迹方程。90EF，基础训练题答案与点拨一、选择题 1B 点拨：化为标准形式 ，则 就是焦点 F 到准线的距离，所以 表示焦点 F 到准线的距离2(4)0ypx4pp的 。4D 点拨：标准方程是 ，由准线方程 排除 A，C，由 得： 。21xya132y1432a8B 点拨： 代入抛物线的方程得： ，所以 A，B 两点的横坐标 有kx2()0kxx12,x，所以 或 2。当 是直线与抛物线相切，应
6、舍去。1248xk20,11C 点拨：点 到抛物线的准线的距离是 4，所以 ， ，抛物线的方程是 ， 时，(,)m()4pp28xy，所以 。2164C 点拨：抛物线 的准线方程是 ，由抛物线的定义知，抛物线上的点 P，Q 到焦点的距离等遇到准线的距离，所以2yx1x。12128PQxC 点拨：代入验证法，点 A 的坐标是（ ） ，代入选项验证即得。注意焦点的位置。3,2ExyFMA BO图 2-3-123 / 5A 点拨：直接代入弦长公式 。将 代入抛物线的方程得：222111()4ABkxkxx21yx， ，所以 。24810x1212,4xx245C 点拨：方法一、数形结合法。两条切线和
7、一条 轴。x方法二、解方程组 得 ，2(1)ykx 222(1)0k因为只有一组解，所以 或 ，即 或 。024() k12 C 点拨：方法一、数形结合法与特殊值验证法相结合：由抛物线的图象，知点 A（2，4）在抛物线上，此时直线的斜率为 1，排除 A；再取直线的斜率为 2，联立直线方程和抛物线方程组成的方程组，无解，排除 B，D。方法二、直接解法：抛物线 的准线方程是 ，点 Q（2，0） ，设直线 的方程是 ，代入抛物线方程得：8yxxl(2)ykx，有公共点，所以 ，即222(48)0kxxk 4(48)16kk21,10 B 点拨：点 M（2，4）是抛物线上的点，所以直线 L 有两条，一
8、条是切线，另一条是平行于轴的直线。二、填空题11 点拨：抛物线 的焦点坐标是（ ） ，所以直线 与抛物线的两个交点坐标是 和 ，所以2yax,04al (,)42a(,)a， 。()42aa12. 或 点拨：所求的点在线段 OF 的垂直平分线 上，所以 。,(2,) 2x23,42y1313 点拨：抛物线 的准线方程是 ，取点 P 的纵坐标为 12，则横坐标是 ，点 P 到准线的距离是 216yx4196，所以9(4)133PF14 或 。点拨：因为抛物线的焦点在曲线 ，所以抛物线的焦点坐标就是双曲线的顶点 或28yx2214xy(2,0)，即 ，所以抛物线的方程是 或 。找出题中的隐含条件：
9、抛物线的焦点在 轴上，且又在双曲(,0),4p28y2 x线上，所以是双曲线与 轴的交点，即双曲线的顶点。x三、解答题： 15解：抛物线的方程 化成形式： 当 时， ， ，所以焦点坐标是2ax21xya021xya2p，准线方程是 。当 时， ， ，所以焦点坐标是 ，即 ，1(0,)4Fa14y0p(0,)4F1(0,)Fa准线方程是 综上可知，抛物线的焦点坐标是 ，准线方程是 。(,)4F4yP xyO第 8 题4 / 516解：解方程组 ，解得: 或 所以点 A 的坐标是（ ） 。因为 ，所以 OB 的方程为2yxp2py0x,2pOBA，1yx由 ，解得： 或 所以点 B 的坐标是（ ）
10、 ，所以2ypx84py0xy8,4p222(8)()(513)ABp所以 。所求抛物线的方程为 。p24yx17C 点拨：本题是对抛物线的标准方程的考查。易出错的方面就是把已知方程当作抛物线的标准方程。方法一、数形结合与特殊化的方法。抛物线的标准方程是 ，取过焦点 F 与 轴平行的直线，则 ，所以21yax12pqa14apq。 方法二、用抛物线的定义直接求解。抛物线的标准方程是 21xya，焦点 F 的坐标是 1(0,)4a，准线方程为： ，设直线 PQ 的方程是4y,代入 2xy得： ，k2()16ky设点 P,Q 的坐标分别为 ，则 ， ， ，所以12(,),14pa214qya21k
11、ya且 26ya。方法三、特殊值法。取 ，直线 垂直于 轴，则 ， ；14pqal 4pq818解：方法一、设 ，直线 的方程为 ，则 ，由12(,)(,)AxyBl1ykx212yx，又 ， ，所以 ，即 ，所以12OABkx1x21212OABx12x，直线 的方程为 。ly方法二、设 ，直线 的方程为 ，解方程组 得： ，所以12(,)(,)xl1ykx21ykx20kx，又因为 ，所以 ，直线 的方1212,xk121212xx 1klFO xy第 1 题5 / 5程为 。1yx19A 点拨：本题是抛物线与双曲线的综合题，考查标准方程、焦点、离心率等知识点。 ，24cmnea，所以 。
12、2()1pmnc3,4mn20 点拨：结合抛物线的对称性知，不能做出来，菱形有两条对称轴，平行四边形是中心对称图形。易做；的做法是，在抛物线上任取两点 A，B， ，作线段 AB 的中垂线，交抛物线于 C，D 两点，则四边形 ACBD 就是有一组对角相等的四边形。21解：设 ，直线 ME 的斜率为 ，则直线 MF 的斜率为 ，所以直线的 ME 的方程为 ，20(,)My(0)kk200()ykxy解方程组 ，202kx 消去 得： ，x0(1)yy解得 ，所以 ，同理可得： ， ，Ek20Ekx01Fky20(1)Fkyx所以 （为定值） 。即直线 EF 的斜率为定值。012FFEyxy（2）当 时， ， ，所以直线 ME 的方程为 ，9M45AB1k 200yxy解方程组 得： ，同理可得 ，2002yxy 200(),Ey200(1),)F设重心 ,那么： ，()Gxy3MFExy所以 消 得： 。22220000(1)()33yxy 212()973yxExyFMA BO第 21 题
