1、1勾股定理看数学思想【附练习】1.数形转化“勾股定理”定理是“形数”的转化。条件是形-“直角三角形”，得出的结论是数-“边之间的数量关系”。标准格式是：ABC 是直角三角形， C 是直角， CA 2+CB2=AB2“勾股定理”的逆定理是“数形”的转化。条件是数-“边之间的数量关系”，得出的结论是形-“直角三角形”。标准格式：CA 2+CB2=AB2，ABC 是直角三角形，C 是直角应用举例：如图所示，有一块地，已知 AD=4 米，CD=3 米，ADC=90，AB=13 米，BC=12 米，则这块地的面积为多少？解：ADC 是直角三角形AC=AD +DC=4+3=5（注：这是在用勾股定理）AC+
2、BC=5+12 =169AB=13=169AC+BC=AB ABC 是直角三角形（注：这是在用勾股定理的逆定理）S 地 =SABC -SADC = （米 2）423512ADCB2.方程思想我们知道，知道直角三角形的两条边，可以借助勾股定理求出第三边。但是有的问题只知道直角三角形的一条边，这时候，要考虑借助勾股定理列方程解决问题。例 1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC6cm ，BC8cm，先将直角边 AC 沿 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ）2 4 3 5解：在 RtABC 中，AB=AC+BC=6+8=100=10AB=10（cm）AE=
3、AC=6cm，EB=4cmECABD2 AED=C=90 DEB=90DEB 是直角三角形DE +EB=DB设 CD=xcm，则 DE=CD=xcm，DB=（8-x）cmx+4 =(8-x) 解得 x=3，所以，CD=3cm例 2：在笔直的公路上 A、B 两点相距 20km，在 A 的正南方 8km 处有村庄D，在 B 的正南方 11km 处有村庄 C.现在要在 AB 上建一个中转站 E，是的C、D 两村庄到 E 站的距离相等。(1) 利用尺规作图，做出点 E 的位置。(2) 计算点 E 距离点 A 多远？解：（1）如图，点 E 就是要建中转站的位置（2）设 AE=xkm，则 EB=(20-x
4、)km在 Rt ADE 中DE=AD+AE=8+x在 Rt EBC 中EC=EB+BC=(20-x)+11DE=EC8+x =(20-x)+11解得 x= km4057所以，点 E 与点 A 的距离是 km4057典型题目练习一折叠问题1.一张直角三角形的纸片，如图所示折叠，使两个锐角的顶点 A、B 重合，若AC=6，BC=8，求 DC 的长。EDCBA(B)32.如图所示，将长方形纸片 ABCD 的一边 AD 向下折叠，点 D 落在 BC 边的 F处。已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求 EC 的长。其他折叠问题常见图形：BA DCCEF二最短问题1. 如图是一个三级台阶，它的
5、每一级的长，宽和高分别为 50 寸，30 寸和 10寸，A 和 B 是这个台阶的两个相对端点，A 点上有一只蚂蚁想到 B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是多少？2. 如图，长方体的长，宽，高分别为 8，4，10若一只蚂蚁从 P 点开始经过4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？EFDCBAEFDACB43.如图，一圆柱体的底面周长为 16，高 AB 为 15，BC 是上底面的直径一只昆虫从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，则昆虫爬行的最短路程为多少？4. 如图,长方体的长为 15,宽为 10,高为 20,点 B 离点 C 的距离为 5,一只蚂蚁如果要沿着长
6、方体的表面从点 A 爬到点 B,需要爬行的最短距离是多少？5. 如图所示，有一根高为 2m 的木柱，它的底面周长为 0.3m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕 圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？三梯子问题1. 如图，一架云梯 AC 长为 25m，斜靠在一竖直的墙 CO 上，这时梯子底端A 离墙的距离 AO 是 7m，如果梯子的顶端 C 沿墙下滑了 4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？52.如图，两墙之间的距离 BC=22 米，当云梯靠在西墙的时候，此时可以达到的高度 AB=24 米；若云梯底部 O 不动，使云梯靠在东墙上，
7、此时云梯可以达到的高度 DC=20 米，试求 BO 的距离。四芦苇问题1.有一个边长为 1O 尺的正方形水池，一棵芦苇 AB 生长在它的中央，高出水面BC 为 l 尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B碰到岸边的 B（如图）时，水恰好没过芦苇问水深和长各多少？2. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m 处，发现此时绳子末端距离地面 2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为多少米？6五构造直角三角形1. 如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则ABC 的度数为（ ）A90 B60 C4
8、5 D302. 如图， A，B 是公路 l（l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路 l 的距离 AC1kmB 村到公路 l 的距离 BD2km，CD=4km（1）求出 A，B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）六综合题目1. 如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约多少米？2. 如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB ECD90，D 为AB 边上一点，求证：（1） ACEBD ；（2） 22ABDECBA7
