1、第 1 页（共 17 页）一选择题（共 2 小题）1 （2011河北区模拟）在俄罗斯民间流着这样一道数学趣题：甲、乙两人合养了若干头羊，而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等，全部卖完后，两人按下面的方法分钱：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去为了平均分配，甲应该找补给乙多少元？（ ）A1 元 B2 元 C3 元 D4 元2 （2015株洲）有两个一元二次方程 M：ax 2+bx+c=0；N：cx 2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四个结论中，错误的是（ ）A如果方程 M 有两个相等的实数根，那么方程 N 也有两个相等的实数根B如果方程 M 的两根符号相同，
2、那么方程 N 的两根符号也相同C如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根D如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1二填空题（共 5 小题）3 （2016潍坊模拟）如图，将矩形沿图中虚线（其中 xy）剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形若 y=2，则 x 的值等于 4 （2015港南区二模）阅读材料：设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系式 x1+x2= ，x 1x2= 根据该材料填空，已知 x1，x 2 是方程x2+3x+1=0 的两实数根，则 的值为 5 （2014贵阳）如图，在 RtABC
3、 中，BAC=90，AB=AC=16cm，AD 为 BC 边上的高动点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向以 cm/s 的速度向点 D 运动设ABP 的面积为S1，矩形 PDFE 的面积为 S2，运动时间为 t 秒（0t8） ，则 t= 秒时，S1=2S26 （2014南通）已知实数 m，n 满足 mn2=1，则代数式 m2+2n2+4m1 的最小值等于 7 （2012德清县自主招生）如果方程（x 1） （x 22x+ ） =0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 k 的取值范围是 第 2 页（共 17 页）三解答题（共 9 小题）8 （2012湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解
4、答下列问题：例题：解一元二次不等式 x240解： x24=（x+2） （x 2）x24 0 可化为（x+2） （x 2）0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组，得 x2，解不等式组，得 x2，（ x+2） （x 2）0 的解集为 x2 或 x2，即一元二次不等式 x240 的解集为 x2 或 x 2（1）一元二次不等式 x216 0 的解集为 ；（2）分式不等式 的解集为 ；（3）解一元二次不等式 2x23x09 （2014江西模拟）等腰 ABC 的直角边 AB=BC=10cm，点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作直线运动，已知 P 沿射线
5、AB 运动，Q 沿边 BC 的延长线运动，PQ 与直线 AC 相交于点 D设 P 点运动时间为 t， PCQ 的面积为 S（1）求出 S 关于 t 的函数关系式；（2）当点 P 运动几秒时，S PCQ=SABC？（3）作 PEAC 于点 E，当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度是否改变？证明你的结论10 （2013合肥模拟）实验与操作：小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为 4cm 的正方体第 3 页（共 17 页）（1）如图 1 所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为 1cm 的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm 2；（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面中心
6、位置（如图 2 中的虚线所示）从前到后打一个边长为 1cm 的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm 2；（3）如果把（1） 、 （2）中的边长为 1cm 的通孔均改为边长为 acm（a 1）的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为 118cm2？如果能，求出 a，如果不能，请说明理由11 （2011西宁）国家发改委公布的商品房销售明码标价规定 ，从 2011 年 5 月 1 日起商品房销售实行一套一标价商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报某市某楼盘准备以每平方米 5000 元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格
7、两次下调后，决定以每平方米 4050 元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：打 9.8 折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月 1.5 元请问哪种方案更优惠？12 （2012重庆模拟）已知：如图，在 ABC 中，B=90，AB=5cm，BC=7cm点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s的速度移动（1）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于 6cm2？（
8、2）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于 5cm？（3）在（1）中，PQB 的面积能否等于 8cm2？说明理由13 （2012开县校级模拟）某店买进一批运动衣用了 1000 元，每件按 10 元卖出，假如全部卖出这批运动衣所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进 11 件运动衣所用的款，求这批运动衣有多少件？14 （2011淄博）已知： ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+ =0 的两个实数根第 4 页（共 17 页）（1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（
9、2）若 AB 的长为 2，那么ABCD 的周长是多少？15 （2011安徽模拟）合肥市百货集团旗舰店 2010 年春节期间的各项商品销售收入中，家用电器类收入为 600 万元，占春节销售总收入的 40%，该旗舰店预计 2012 年春节期间各项商品销售总收入要达到 2160 万元，且计划从 2010 年到 2012 年，每年经营收入的年增长率相同，问该旗舰店预计 2011 年春节期间各项商品销售总收入为多少万元？16 （2010 春 乐安县校级期末）某种产品的年产量不超过 1 000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1） ；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的
10、函数关系如图（2） 若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得 7500 万元毛利润？（毛利润=销售额费用）第 5 页（共 17 页）曹子杨 一元二次方程 2参考答案与试题解析一选择题（共 2 小题）1 （2011河北区模拟）在俄罗斯民间流着这样一道数学趣题：甲、乙两人合养了若干头羊，而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等，全部卖完后，两人按下面的方法分钱：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去为了平均分配，甲应该找补给乙多少元？（ ）A1 元 B2 元 C3 元 D4 元【分析】先设甲、乙两人合养了 n 头羊，两人先分了 x 次，每人每次 10
11、 元，最后一次甲先拿了 10 元，乙拿了 2y（02y10，2y 是整数）元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y）元，甲给了乙 10（5+y）=5y 元，再根据 2y 是奇数和偶数两种情况进行讨论即可【解答】解：设甲、乙两人合养了 n 头羊，两人先分了 x 次，每人每次 10 元，最后一次甲先拿了 10 元，乙拿了 2y（02y10，2y 是整数）元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y）元，甲给了乙 10（5+y）=5y 元，有 n2=20x+10+2y，（ 20x+10）个位为 0，2y 是完全平方数的个位数， 2y=1，4，5，6，9，若 2y 是奇数，则 2y=1，5，或 9，20x
12、+10+2y=20x+11，20x+15 或 20x+19，20x+11、20x+15 、20x+19 除以 4 的余数都是 3，它们不是完全平方数，2y 是偶数， 2y=4 或 6，y=2 或 3若 y=2，n 2=20x+14=2（10x+7） ，右边不是完全平方数y=3，甲应该找给乙 53=2（元）钱故选：B【点评】本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，解答此题的关键是根据题意设出相应的未知数，得出关于 n、x、y 的方程，再分类讨论2 （2015株洲）有两个一元二次方程 M：ax 2+bx+c=0；N：cx 2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四个结论中，错误的是（ ）A如果方程
13、 M 有两个相等的实数根，那么方程 N 也有两个相等的实数根B如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同C如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根D如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1【分析】利用根的判别式判断 A；利用根与系数的关系判断 B；利用一元二次方程的解的定义判断 C 与 D第 6 页（共 17 页）【解答】解：A、如果方程 M 有两个相等的实数根，那么=b 24ac=0，所以方程 N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同，那么=b24ac0， 0，
14、所以 a 与 c 符号相同， 0，所以方程 N 的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果 5 是方程 M 的一个根，那么 25a+5b+c=0，两边同时除以 25，得 c+ b+a=0，所以 是方程 N 的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么 ax2+bx+c=cx2+bx+a， （a c）x 2=ac，由ac，得 x2=1，x= 1，结论错误，符合题意；故选：D【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系： 0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根； 0方程没有实数根也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义二填空
15、题（共 5 小题）3 （2016潍坊模拟）如图，将矩形沿图中虚线（其中 xy）剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形若 y=2，则 x 的值等于 +1 【分析】根据三角形的相似很容易证明对应边的相似比，所在的小直角三角形和，构成的大直角三角形相似，根据相似比可求出 x 值【解答】解：三角形相似对应边成比例 = ，y=2x22x4=0解得：x=1 （舍去） ，x= +1故答案为： +1【点评】本题考查理解题意能力，关键是在图中找到相似比构造方程求解第 7 页（共 17 页）4 （2015港南区二模）阅读材料：设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1，x 2，则两根与方程系数之间有
16、如下关系式 x1+x2= ，x 1x2= 根据该材料填空，已知 x1，x 2 是方程x2+3x+1=0 的两实数根，则 的值为 7 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据= ，代入数值计算即可【解答】解：x 1，x 2 是方程 x2+3x+1=0 的两个实数根，x1+x2=3，x 1x2=1 = = =7故答案为：7【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法5 （2014贵阳）如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC=16cm，AD 为 BC 边上的高动点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向以
17、 cm/s 的速度向点 D 运动设ABP 的面积为S1，矩形 PDFE 的面积为 S2，运动时间为 t 秒（0t8） ，则 t= 6 秒时，S 1=2S2【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出 S1 和 S2，然后根据S1=2S2，即可列方程求解【解答】解：Rt ABC 中， BAC=90，AB=AC=16cm，AD 为 BC 边上的高，AD=BD=CD=8 cm，又 AP= t，则 S1= APBD= 8 t=8t，PD=8 t，PEBC，APEADC， ，PE=AP= t，S2=PDPE=（ 8 t） t，S1=2S2，第 8 页（共 17 页）8t=2（8 t） t，解得
18、：t=6故答案是：6【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出 S1和 S2 是关键6 （2014南通）已知实数 m，n 满足 mn2=1，则代数式 m2+2n2+4m1 的最小值等于 4 【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值【解答】解：m n2=1，即 n2=m10，m1，原式 =m2+2m2+4m1=m2+6m+912=（m+3 ） 212，则代数式 m2+2n2+4m1 的最小值等于（1+3） 212=4故答案为：4【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的
19、关键7 （2012德清县自主招生）如果方程（x 1） （x 22x+ ） =0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 k 的取值范围是 3k4 【分析】根据原方程可得出：x 1=0，x 22x+ =0；根据根与系数的关系，可求出方程的 x1+x2 和 x1x2 的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出 k 的取值范围【解答】解：由题意，得：x1=0，x 22x+ =0；设 x22x+ =0 的两根分别是 m、n（mn） ；则 m+n=2，mn= ；mn= = ；根据三角形三边关系定理，得：mn 1 m+n，即 12； ，解得 3k 4【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以
20、及三角形三边关系定理三解答题（共 9 小题）第 9 页（共 17 页）8 （2012湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式 x240解： x24=（x+2） （x 2）x24 0 可化为（x+2） （x 2）0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组，得 x2，解不等式组，得 x2，（ x+2） （x 2）0 的解集为 x2 或 x2，即一元二次不等式 x240 的解集为 x2 或 x 2（1）一元二次不等式 x216 0 的解集为 x4 或 x 4 ；（2）分式不等式 的解集为 x3 或 x1 ；（3）解一元二次不等式 2x23x0【分析】 （
21、1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；（2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；【解答】解：（1）x 216=（x+4） （x4）x216 0 可化为（x+4） （x 4）0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组，得 x4，解不等式组，得 x4，（ x+4） （x 4）0 的解集为 x4 或 x4，第 10 页（共 17 页）即一元二次不等式 x2160 的解集为 x4 或 x 4（2） 或解得：x3 或 x1（3）2x 23x
22、=x（2x3）2x23x0 可化为x（2x3 ）0由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得或解不等式组，得 0x ，解不等式组，无解，不等式 2x23x0 的解集为 0x 【点评】本题考查了一元一次不等式组及方程的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过加工得到解决此类问题的方法9 （2014江西模拟）等腰 ABC 的直角边 AB=BC=10cm，点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作直线运动，已知 P 沿射线 AB 运动，Q 沿边 BC 的延长线运动，PQ 与直线 AC 相交于点 D设 P 点运动时间为 t， PCQ 的面积为 S（1）求出 S 关于 t 的函数关系式；（2）当点 P 运动几秒时，S PCQ=SABC？（3）作 PEAC 于点 E，当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度是否改变？证明你的结论
