1、与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学 刘光杰QQ 1519819521一问题的引入：在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册 P42，有这样一个问题在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。二
2、数学模型：1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B ，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B ，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。3.如图，点 P 是MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使PAB 的周长最小为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”4.如图，点 P，Q 为MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B 。使四边形 PAQB 的周长最小。为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点 A 是MON 外的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点
3、P 到射线 OM 的距离之和最小6. .如图，点 A 是MON 内的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三.两边之和大于第三边型(一) 直线类1如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC10 千米，BD30千米，且 CD30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？作点 B 关于直线 CD 的对称点 B，连接 AB，交CD 于点 M则 AM+BM =
4、 AM+BM = AB，水厂建在 M 点时，费用最小如右图，在直角ABE 中，AE = AC+CE = 10+30 = 40EB = 30所以：AB = 50总费用为：503 = 150 万2如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接AC、EC。已知 AB=5，DE=1，BD=8，设 CD=x.(1)用含 x 的代数式表示 ACCE 的长；(2)请问点 C 满足什么条件时，ACCE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 +错误！未定义书签。x2+4的最小值(12-x)2+9(1)AC = ，CE = (8-x)2 + 25x2 + 1
5、则 AC+CE = + (8-x)2 + 25 x2 + 1(2)A、C、E 三点共线时 AC+CE 最小连接 AE，交 BD 于点 C，则 AE 就是 AC+CE 的最小值最小值是 10ME BC DAB5 1x8-xF EB DAEC(3)如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值在直角AEF 中,AF = 5 EF = 12 根据勾股定理 AE = 133求代数式 （0x4）的最小值x2 + 1 + (4-x)2 + 4如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值在直角AEF 中AF = 3 EF = 4则 AE = 5所以，这个代数式的最小值是 5(二) 角类4两条公路 OA、OB 相交，在
6、两条公路的中间有一个油库，设为点 P，如在两条公路上各设置一个加油站， ，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA 与 OB 相交，点 P 在AOB 内部，通常我们会想到轴对称，分别做点 P 关于直线 OA 和 OB 的对称点 P1、P 2 ，连结 P1P2 分别交 OA、OB 于C、D， C、D 两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.解：分别做
7、点 P 关于直线 OA 和 OB 的对称点P1、P 2，连结 P1P2 分别交 OA、OB 于 C、D，则 C、D 就是建加油站的位置.若取异于 C、D 两点的点，则由三角形的三边关系，可知在 C、D 两点建加油站运油车所走的路程最短.点评：在这里没有详细说明为什么在 C、D 两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。32x12-x CFBDAE21x4-xFB DAEC5如图AOB = 45，P 是 AOB 内一点，PO = 10，Q、P 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P 2，连接 P1P2，交 OA、OB 于
8、点 Q，R，连接 OP1，OP 2，则 OP = OP1 = OP2 = 10且P 1OP2 = 90由勾股定理得 P1P2 = 10 2(三) 三角形类6如图，等腰 RtABC 的直角边长为 2，E 是斜边 AB 的中点，P 是 AC 边上的一动点，则 PB+PE 的最小值为 即在 AC 上作一点 P，使 PB+PE 最小作点 B 关于 AC 的对称点 B，连接 BE，交AC 于点 P，则 BE = PB+PE = PB+PEBE 的长就是 PB+PE 的最小值在直角BEF 中，EF = 1，BF = 3根据勾股定理，BE = 107如图，在ABC 中，ACBC2，ACB90，D 是 BC
9、边的中点，E 是 AB 边上一动点，则 ECED 的最小值为_。即是在直线 AB 上作一点 E，使 EC+ED 最小作点 C 关于直线 AB 的对称点 C，连接 DC交 AB 于点E，则线段 DC的长就是 EC+ED 的最小值。在直角DBC中DB=1，BC=2 ，根据勾股定理可得，DC= 58等腰ABC 中，A = 20，AB = AC = 20，M 、N 分别是 AB、AC 上的点，求 BN+MN+MC 的最小值分别作点 C、B 关于 AB、AC 的对称点 C、B，连接 CB交 AB、AC 于点 M、N，则 BN+MN+MC = BN+MN+MC = BC， BN+MN+MC 的最小值就是
10、BC的值BAC = BAC，CAB = CABBAC = 60 AC = AC ，AB = AB，AC = ABAC = ABABC是等边三角形BC = 209如图，在等边ABC 中，AB = 6，ADBC，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，FPBE D ERQP2P1AO BPNM BCCBA且 AE = 2，求 EM+EC 的最小值因为点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，所以连接 BE，交 AD 于点 M，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BH AC 于点 H，则 EH = AH AE = 3 2 = 1，BH = = = 3BC2 - CH2 62 - 32 3在直
11、角BHE 中，BE = = = 2BH2 + HE2 (3r(3)2 + 12 7(四) 正方形类10如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM2，N 是 AC 上的一动点，DNMN 的最小值为_ 。即在直线 AC 上求一点 N，使 DN+MN 最小故作点 D 关于 AC 的对称点 B，连接 BM，交 AC 于点 N。则 DN BN线段的长就是 DN的最小值在直角中，则故 DN的最小值是11如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PDPE 的和最小，则这个最小值为（ ）A2 B2 C
12、3 D3 6 6即在 AC 上求一点 P，使 PE+PD 的值最小点 D 关于直线 AC 的对称点是点 B，连接 BE 交 AC 于点 P，则 BE = PB+PE = PD+PE，BE 的长就是 PD+PE 的最小值BE = AB = 2 312在边长为 2的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则PBQ 周长的最小值为_（结果不取近似值）.即在 AC 上求一点 P，使 PB+PQ 的值最小因为点 B 关于 AC 的对称点是 D 点，所以连接 DQ，与 AC 的交点MB CDANPEB CDAPQB CDADAB CMEHMDA
13、CBEP 就是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ故 DQ 的长就是 PB+PQ 的最小值在直角CDQ 中，CQ = 1 ，CD = 2根据勾股定理，得，DQ = 513如图，四边形 ABCD 是正方形， AB = 10cm，E 为边 BC 的中点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；连接 AE，交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值在直角ABE 中，求得 AE 的长为 5 5(五) 矩形类14如图，若四边形 ABCD 是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PD 的最
14、小值；作点 C 关于 BD 的对称点 C，过点 C，作 CBBC，交BD 于点 P，则 CE 就是 PE+PC 的最小值直角BCD 中，CH = 错误！未定义书签。205直角BCH 中，BH = 8 5BCC的面积为：BHCH = 160所以 CEBC = 2160 则 CE = 16(六) 菱形类15如图，若四边形 ABCD 是菱形， AB=10cm，ABC=45，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；点 C 关于 BD 的对称点是点 A，过点 A 作AEBC ，交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值在等腰EAB 中，求得 AE
15、 的长为 5 2(七) 直角梯形类16已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD =2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当 PA+PD 取最小值时， APD 中边 AP 上的高为（ ）EB CDAPE CADBHPECDACBA、B、C、 D、3172174178作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AD，交 BC 于点 P则 AD = PA+PD = PA+PDAD 的长就是 PA+PD 的最小值SAPD = 4在直角ABP 中，AB = 4，BP = 1根据勾股定理，得 AP = 17所以 AP 上的高为：2 = 417 81717(八) 圆类17已知O 的直径
16、CD 为 4，AOD 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+APAD 的值最小，并求 BP+AP 的最小值即是在直线 CD 上作一点 P，使 PA+PB 的值最小作点 A 关于 CD 的对称点 A，连接 AB，交 CD 于点P，则 AB 的长就是 PA+PB 的最小值连接 OA，OB，则AOB=90，OA = OB = 4根据勾股定理，AB = 4 218如图，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上， AMN30，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PAPB 的最小值为( )A 2 B C 1 D 22 2即在 MN 上求一点
17、 P，使 PA+PB 的值最小作点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，交 MN 于点P，则点 P 就是所要作的点AB 的长就是 PA+PB 的最小值连接 OA、OB，则OAB 是等腰直角三角形所以 AB = 2(九) 一次函数类19在平面直角坐标系中，有 A（3，2） ，xy 123412341 2 3 41234ABAOPABADOCPABANOMPADCBAB（4，2）两点，现另取一点 C（1，n） ，当 n =_时， AC + BC 的值最小点 C（1，n） ，说明点 C 在直线 x=1 上，所以作点 A 关于直线 x=1 的对称点 A，连接AB，交直线 x=1 于点 C，则 A
18、C+BC 的值最小设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则-2=-k+b2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5)所以：y = (4/5)x-(6/5)当 x = 1 时，y = -(2/5)故当 n = -(2/5)时， AC+BC 的值最小20一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0） ，B（0，4） （1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D ， P 为 OB 上一动点，求 PCPD 的最小值，并求取得最小值时 P 点坐标(1)由题意得：0 = 2x+b4 = b解得 k = -2，b= 4，所以 y
19、= -2x+4(2)作点 C 关于 y 轴的对称点 C，连接 CD，交 y 轴于点 P则 CD = CP+PD = PC+PDCD 就是 PC+PD 的最小值连接 CD，则 CD = 2，CC = 2在直角CCD 中，根据勾股定理 CD = 2 2求直线 CD 的解析式，由 C(-1，0) ，D(1，2)所以，有0 = -k+b2 = k+b解得 k = 1，b = 1，所以 y = x+1当 x = 0 时，y =1 ，则 P(0，1)21如图，一次函数 y = 与反比例函数 y = 交于点 A，AMx 轴于点 M，S OAM = 112x kx(1)求 k 的值，(2)点 B 为双曲线 y
20、 = 上不与 A 重合的一点，且 B(1，n)，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PBkx最小(1)由 SOAM = 1 知，k = 2(2)作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB，交 x 轴于点P，连接 PA，则 PA+PB 最小。用待定系数法求直线 AB 的解析式为 y = - 3x + 5，因为点 P 在 x 轴上，所以设 y = 0，即 0 = - 3x + 5，xyCDCBAOP解得 x = 53所以 P( ，0)5322如图，在平面直角坐标系中，直线 l 是第一、三象限的角平分线（1）由图观察易知 A（0，2 ）关于直线 l 的对称点 A的坐标为（2，0） ，请在图中分别标
21、明 B（5，3） 、C（2，5）关于直线 l 的对称点 B、C 的位置，并写出他们的坐标：B 、C ；（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P（a，b）关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P的坐标为 （不必证明） ；运用与拓广：（3）已知两点 D（1，3） 、 E（1，4） ，试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E两点的距离之和最小，并求出 Q 点坐标(1)点 B(5，3) 、 C(-2，5)关于直线 l 的对称点 B(3，5)、C(5，-2)(2)坐标平面内任一点 P(a，b)关于直线l 的对称点 P的坐标为 (b，a)(3)作点 E 关于直线 l
22、 的对称点 E，连接DE，交直线 l 于点 Q则 QE+QD 的值最小设直线 DE的解析式为：y = kx+b，因为 D(1， -3)、E(-4,-1)，则-3 = k+b-1 = -4k+b解得：k = - ，b = - 25 135所以 y = - x - 25 135当 x = y 时，有 x = y = - 137则 Q 点的坐标为(- ，- )137 137(十) 二次函数类23如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（-2 ，0） ，连结 0A，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120。 ，得到线段 OB.（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）(1)B(1， )3xy lQE CBEDC BAAOxyBA OC
