1、勾股定理各种题型：一：勾股定理面积相等法：方法 1：方法 2：方法 3：二：方程思想和勾股定理结合的题目1.（2016 春宜春期末）一旗杆在其 的 B 处折断，量得 AC=5 米，则旗杆原来的高度为（ ）A 米 B2 米 C10 米 D 米【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】可设 AB=x，则 BC=2x，进而在ABC 中，利用勾股定理求解 x 的值即可【解答】解：由题意可得，AC 2=BC2AB2，即（2x） 2x2=52，解得 x= ，所以旗杆原来的高度为 3x=5 ，故选 D【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形2.（2016 春防城区期中）如图，在ABC 中，B=40
2、，EFAB，1=50，CE=3，EF比 CF 大 1，则 EF 的长为（ ）A5 B6 C3 D4【考点】勾股定理；平行线的性质菁优网版权所有【分析】由平行线的性质得出A=1=50，得出C=90，设 CF=x，则 EF=x+1，根据勾股定理得出方程，解方程求出 x，即可得出 EF 的长【解答】解：EFAB，A= 1=50，A+B=50 +40=90，C=90 ，设 CF=x，则 EF=x+1，根据勾股定理得：CE 2+CF2=EF2，即 32+x2=（x+1） 2，解得：x=4，EF=4+1=5，故选：A【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行
3、推理论证与计算是解决问题的关键3.（2015 春蚌埠期中）已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与 D 重合，折痕为 EF，则 BE 的长为（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm【考点】翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【分析】根据折叠的性质可得 BE=ED，设 AE=x，表示出 BE=9x，然后在 RtABE 中，利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：长方形折叠点 B 与点 D 重合，BE=ED，设 AE=x，则 ED=9x，BE=9 x，在 Rt ABE 中， AB2+AE2=BE2，即 32+x2=（9 x） 2，解得 x=4，AE
4、 的长是 4，BE=94=5 ，故选 C【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于 AE 的长的方程是解题的关键4.（2008 秋奎文区校级期末）在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面那么水深多少？芦苇长为多少？【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】找到题中的直角三角形，设水深为 x 尺，根据勾股定理解答【解答】解；设水深为 x 尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得
5、： ，解得：x=12（尺），芦苇的长度=x+1=12 +1=13（尺），答：水池深 12 尺，芦苇长 13 尺【点评】此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就三：勾股定理应用：求最短距离问题1.（2014 秋环翠区期中）如图，长方体的底面边长为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达 B，那么所用细线最短需要（ ）A12cm B11cm C10cm D9cm【考点】平面展开-最短路径问题 菁优网版权所有【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果【解答】解
6、：将长方体展开，连接 A、B，则 AA=1+3+1+3=8（cm ），A B=6cm，根据两点之间线段最短，AB= =10cm故选 C【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决2.（2016 春繁昌县期末）如图，是一长、宽都是 3cm，高 BC=9cm 的长方体纸箱，BC上有一点 P，PC= BC，一只蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点 P 的最短距离是（ ）A6 cm B3 cm C10cm D12cm【考点】平面展开-最短路径问题 菁优网版权所有【分析】将图形展开，可得到安排 AP 较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可【解答】解
7、：（1）如图 1，AD=3cm ，DP=3 +6=9cm，在 RtADP 中，AP= =3cm；（2）如图 2，AC=6cm，CP=3+3=6cm，RtADP 中， AP= =6 cm综上，蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点 P 的最短距离是 6 cm故选 A【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键3.（2016大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从 A 点绕到正上方 B点共四圈，已知易拉罐底面周长是 12cm，高是 20cm，那么所需彩带最短的是（ ）A13cm B4 cm C4 cm D52cm【考点】平面展开-最短路径问题 菁优网版权所有【分析】
8、要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短” 得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理【解答】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的 A 处绕易拉罐 4 圈后到达顶端的 B 处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，易拉罐底面周长是 12cm，高是 20cm，x 2=（124） 2+202，所以彩带最短是 52cm故选 D【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决4.（2016游仙区模拟）长方体敞口玻璃罐，长、宽
9、、高分别为 16cm、6cm 和 6cm，在罐内点 E 处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形 ABCD 中心的正上方2cm 处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少 cm（ ）A7 B C24 D【考点】平面展开-最短路径问题 菁优网版权所有【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算【解答】解：若蚂蚁从平面 ABCD 和平面 CDFE 经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图 1：HE= = =7 ，若蚂蚁从平面 ABCD 和平面 BCEH 经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图 2：HE= =故选 B【点评】考查了平面展开最短路径问题，
10、此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段5.（2015 秋宜兴市校级期中）如图，一圆柱高 8cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程是 10 cm【考点】平面展开-最短路径问题 菁优网版权所有【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答【解答】解：底面圆周长为 2r，底面半圆弧长为 r，即半圆弧长为：2 =6（cm），展开得：BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB= =10（cm）故答案为：10【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画
11、出展开图，表示出各线段的长度四：网格问题（简单）1、在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则ABC 中 BC 边上的高为 答案：设ABC 中 BC 边上的高为 hAB 2 =5，AC 2 =20，BC 2 =25，BC 2 =AB 2 +AC 2 ，A=90 ，S ABC = ABAC= BC h，即 1=5h52解得，h=2故答案是：22. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形” 如图（一）中四边形 ABCD 就是一个“格点四边形” （1）求图（一）中四边形 ABCD 的面积；（2）在图（二）方格纸中画一
12、个格点三角形 EFG，使EFG 的面积等于四边形 ABCD 的面积且为轴对称图形DCBA图（一） 图（二）答案：解：（1）方法一：S 641212方法二：S46 21 41 34 2312（2）（只要画出一种即可）3、如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上请按要求完成下列各题：（1）画 ADBC （D 为格点），连接 CD；（2）试判断ABC 的形状？请说明理由；答案：（1）图象如图所示；（2）由图象可知 AB=1+2=5，AC=2+4=20，BC=3+4=25，BC=AB+AC ，ABC 是直角三角形。4、如图，是一块由边长为 20cm 的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点 A 处， 它想先后吃到小朋友撒在 B、C 处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？ CBA答案：AB=5cm，BC=13cm 所以其最短路程为 18cm（难题）5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线）。【答案】（1）单位正三角形的高为 ，面积是 。
