1、1第一部分 双曲线相关知识点讲解一双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 双曲线定义： 到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长（|F 1F2|）的点的轨迹（ （ 为常数） ） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这两个定点叫双曲线的焦点22aPF要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F 1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1| |MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支；当|MF 1| |MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支；当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线
2、上以 F1、F 2 为端点向外的两条射线；当 2a| F1F2|时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程： 和 （ a0，b0）.这里 ，其中2byax2xa 22acb| |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.123.双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 项2y的系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二双曲线的内外部： (1)点 在双曲
3、线 的内部 .0(,)Pxy21(0,)xyab201xyab(2)点 在双曲线 的外部 .,2,2三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12byax20xyabxab(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .02(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上，12byax 2byax0，焦点在 y 轴上）.0四双曲线的简单几何性质 =1（a0， b0）2xb范围：|x|a，y R对称性：关于 x、y 轴均对称，关于原点中心对称顶点：轴端点 A1（a，0） ，A 2（a，0）渐近线：若双曲线方程为 渐近线方程2b02byxxab若渐近线方程为 双曲
4、线可设为xay0y2yM2M1 PK2K1A1 A2F2F1 oy x2若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上，12byax 2byax0，焦点在 y 轴上）0与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 2)( 与双曲线 共焦点的双曲线系方程是1bax 2bykax六.弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B ，且 分别为 A、B 的横ykx12,x坐标，则 ，若 分别为 A、B 的纵坐标，则 AB2112,y。212yk第二部分 典型例题分析题型 1：运用双曲线的定义例 1. 如图所示， F为双曲线 169:2yxC的左焦点
5、，双曲线 上的点 iP与 3,7i关于 y轴对称，则 FP654321的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 F615243，选 C练习：设 P 为双曲线 1yx上的一点 F1、F 2 是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF 2|=3：2，则PF 1F2 的面积为 （ ）A 36B12 C 3D24解析： 2:|:,3, 1Pcba由 又 ,2|21aPF由、解得 .4|,6|1F,52|,|221 为2FP直角三角形， .1246|2121 S故选 B。题型 2 求双曲线的标准方程3例 2 已知双曲线 C 与双曲线 162x 4y=1 有公共焦点，且过点（3 2，2）.求双曲线
6、C的方程解：设双曲线方程为 2ax by=1.由题意易求 c=2 5.又双曲线过点（3 ，2） ， 2)3(a 24b=1.又 a2+b2=（2 5） 2， a2=12， b2=8.故所求双曲线的方程为 1x 8y=1.练习：1 已知双曲线的渐近线方程是 2x，焦点在坐标轴上且焦距是 10，则此双曲线的方程为 ； 解：设双曲线方程为 24yx，当 0时，化为 12， 2015，当 时，化为 42y， 4，综上，双曲线方程为2105x或 120x2.已知点 (3,)M， (,)N， (,)B，动圆 C与直线 MN切于点 B，过 、 N与圆 C相切的两直线相交于点 P，则 点的轨迹方程为A21()
7、8yxxB21()8yxxC2（x 0） D2()0解析 2BNMP， P点的轨迹是以 M、 N为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支，选 B题型 3 与渐近线有关的问题例 3.焦点为（0，6） ，且与双曲线 12yx有相同的渐近线的双曲线方程是 A 124yx B 41 C 124xy D 124yx解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选 B4练习：过点（1，3）且渐近线为 的双曲线方程是xy21解：设所求双曲线为 点（1，3）代入： .代入24xk 13594k（1）： 即为所求.223514xyy题型 4 弦中点问题设而不求法例 4. 双曲线 的一弦中点为（2，1） ，则
8、此弦所在的直线方程为 （ ）2yxA. B. C. D. 1yx32xy32xy解:设弦的两端分别为 .则有：1,2,AyB.2221 1212110xy yxx y 弦中点为（2，1） ， .故直线的斜率 .124xy1212xky则所求直线方程为： ，故选 C.3yx练习：1.在双曲线 上，是否存在被点 M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所12yx在的直线方程；如不存在，请说明理由.【错解】假定存在符合条件的弦 AB，其两端分别为：A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）.那么：.21121212122 0xyxyM（1，1）为弦 AB 的中点， 2 1212121 0ABx yxy
9、ky x 代 入 ： ，故存在符合条件的直线 AB，其方程为： .， 即这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点 M（1，1）代入方程 ，发现左式=1- 1，故点12yx25M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线 AB 的斜率 ，而双曲线的渐近线为2ABk.这里 ，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.2yx2问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由 2222114302yxxx这里 ，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.640结论；不存在符合题设条件的直线.2. 已知双曲线 12yx,问过点
10、A（1，1）能否作直线 l,使 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线 l的方程，若不存在，说明理由。解：设符合题意的直线 l存在，并设 ),(21xP、 ),(2yQ则 )2(1221yx1 )(得 )(2121x )3()(1212yy 因为 A（1，1）为线段 PQ 的中点，所以 )5(241yx 将(4)、(5)代入（3）得 )(2211yx若 1，则直线 l的斜率 21xyk，其方程为 012yx12yx得 0342x 根据 08,说明所求直线不存在。3.已知中心在原点，顶点 A1、A 2 在 x 轴上，离心率 e= 的双曲线过点 P(6，6)
11、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求321双曲线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)动直线 l 经过A 1PA2 的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)如图，设双曲线方程为 =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
12、由已知得 ,解2bax 3,122abeba得 a2=9,b2=12 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 所以所求双曲线方程为 =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 9(2)P、A 1、A 2 的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0） ，其重心 G 的坐标为(2，2）A1 A2M NGPoy x6假设存在直线 l，使 G(2，2)平分线段 MN，设 M(x1,y1)，N(x 2,y2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 则有，k l= l 的方程为21211249084, 93xxyyyxy= (x2)+2,由 ,消去 y,整理得 x24x
13、+28=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =164280,所求34)2(34xy直线 l 不存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 题型 5 综合问题1.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2,0，右顶点为 3,0.（）求双曲线 C 的方程（）若直线 :2lykx与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 2O（其中 O为原点） ，求 k 的取值范围解（1）设双曲线方程为21yab由已知得 3,2ac，再由 22ab，得 1故双曲线 C的方程为23x.（2）将 yk代入21y得 2(3)690kxk由直线 l与双曲线交与不同的两点得 2220(13)()
14、kk即 213k且 2. 设 ,(,)AABxy，则2269,13ABABxyxyk，由 2O得 2ABxy，而 ()()(1)()bxkkx22229637(1)31kk.于是27k，即 290k解此不等式得 213.k 由+得 2137故的取值范围为 3(1,),12.已知两定点 满足条件 的点 P 的轨迹是曲线 E，直12,0F(,)21PF线kx1 与曲线 E 交于 A、B 两点。（）求的取值范围；（）如果 且曲线 E 上存在点 C，使 求63,AB ,OABmC。mC的 值 和 的 面 积 S解：（）由双曲线的定义可知，曲线 是以 为焦点的双曲线的左12,0,F支，且 ，易知 ，故曲线 的方程为2,1cabE1xy设 ，由题意建立方程组12,AxyB2yk消去 ，得 ，有20kx解得212080kx 21k 212ABkx212124kxx22242k依题意得 ，整理后得2163k4850 或 ，但 257k241k2k故直线 的方程为AB50xy设 ，由已知 ，得0,CxyOABmC120,xymxy8 ，12120,xymxym0又 ，1245k21212281kykx点 8,Cm，将点 的坐标代入曲线 的方程，得 得 ，CE20641m4但当 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意4 ，点 的坐标为 ， 到 的距离为5,2AB2513 的面积ABC1632S
