1、初等数学基础知识 一、 三角函数 1公式 同角三角函数间的基本关系式： 平方关系： sin2()+cos2()=1; tan2()+1=sec2();cot2()+1=csc2() 商的关系： tan=sin/cos cot=cos/sin 倒数关系： tancot=1; sincsc=1; cossec=1 三角函数恒等变形公式： 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 倍角公
2、式： sin(2)=2sincos cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 半角公式： sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossi
3、n=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 2特殊角的三角函数值 )(f 0 )0( 6 )30( 4 )45( 3 )60( 2 )90( cos 1 2/3 2/2 2/1 0 sin 0 2/1 2/2 2/3 1 tan 0 3/1 1 3 不存在 cot 不存
4、在 3 1 3/1 0 只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。 3诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90- cos sin ctg tg 90+ cos -sin -ctg -tg 180- sin -cos -tg -ctg 180+ -sin -cos tg ctg 270- -cos -sin ctg tg 270+ -cos sin -ctg -tg 360- -sin cos -tg -ctg 360+ sin cos tg ctg 记忆规律： 竖变横不变 （奇变偶不变） ，符号
5、看象限 （ 一全，二正弦割，三切，四余弦割 即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是 正的 ） 二、一元二次函数、方程和不等式 acb 42 0 0 0 1 4521 451 2 30603 )0(2 一元二次函数 acbxaxy 2.1x 02 cbxax一元二次方程aacbbx2422,1有二互异实根abx2)(2,1 有一根有二相等实根 无实根 )0( 式等不次二元一a02 cbxax 2121 )( xxxx xx 或 abx 2 Rx 02 cbxax 21 xxx x x 三、 因式分解与乘法 公式 222 2 22 2 23 3 2
6、23 3 2 23 2 2 3 33 2 2 3 32 2 2( 1 ) ( ) ( )( 2) 2 ( )( 3 ) 2 ( )( 4) ( ) ( )( 5 ) ( ) ( )( 6) 3 3 ( )( 7 ) 3 3 ( )( 8 ) 2 2 2 (a b a b a ba ab b a ba ab b a ba b a b a ab ba b a b a ab ba a b ab b a ba a b ab b a ba b c ab bc c a 21 2 2 1)( 9) ( ) ( ) , ( 2)n n n n n nabca b a b a a b ab b n 四、等差数列
7、和等比数列 11111 22nnnna a n dn a a n nn S S n a d 1. 等 差 数 列 通 项 公 式 ：前 项 和 公 式 或 11 00nnnGPa a q a q 2. 等 比 数 列通 项 公 式 ，2x1x 11.1111nnnaqqS qna q 前 项 和 公 式五、常用几何公式 平面图形 名称 符号 周长 C 和面积 S 正方形 a 边长 C 4a S a2 长方形 a 和 b边长 C 2(a+b) S ab 三角形 a,b,c三边长 h a 边上的高 s周长的一半 A,B,C内角 其中 s (a+b+c)/2 S ah/2 ab/2sinC s(s-
8、a)(s-b)(s-c)1/2 a2sinBsinC/(2sinA) 平行四边形 a,b边长 h a 边的高 两边夹角 S ah absin 菱形 a边长 夹角 D长对角线长 d短对角线长 S Dd/2 a2sin 梯形 a 和 b上、下底长 h高 m中位线长 S (a+b)h/2 mh 圆 r半径 d直径 C d 2r S r2 d2/4 扇形 r 扇形半径 a 圆心 角度数 C 2r 2r(a/360) S r2(a/360) 圆环 R外圆半径 r内圆半径 D外圆直径 d内圆直径 S (R2-r2) (D2-d2)/4 椭圆 D长轴 d短轴 S Dd/4 立方图形 名称 符号 表 面积 S
9、 和体积 V 正方体 a边长 S 6a2 V a3 长方体 a长 b宽 c高 S 2(ab+ac+bc) V abc 圆柱 r底半径 h高 C 底面周长 S 底 底面积 S 侧 侧面积 S 表 表面积 C 2r S 底 r2 S 侧 Ch S 表 Ch+2S 底 = Ch+2r2 V S 底 h r2h 圆锥 r底半径 h高 V r2h/3 球 r半径 d直径 V 4/3r3 d3/6 S=4r2 d2 基本初等函数 名称 表达式 定义域 图 形 特 性 常 数 函 数 Cy R y C 0 x 幂 函 数 xy 随 而异，但在 R 上 均有定义 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 .
10、 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 800 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 41 . 61 . 8y=xy=x -1y=x 1 /3y=x -2y=x 3过点 (1， 1); 0 时在 R 单增； 0 时在 R 单减 指 数 函 数 10aaay x R -2 . 5 -2 -1 . 5 -1 -0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5-0 . 500 . 511 522 . 533 . 544 . 5(0 ,1 )y = a xy = a xx0 10 a 1O (1 ,0 ) xy过点 1,0 1a 单增 10 a 单减 logl
11、 og 1 , l og 1 0 ,0l og l og l og ,l og l og l og ,l og l og ,l ogl og 0 , 1 ,l ogl og ( 0)( 0)aaaa a aa a apaacacxaxaMNM N M NMMNNM P Mbbcaa x xa x x 正 弦 函 数 xy sin R - /2O xy1-1 /23 /22 奇函数 2T 1y 余 弦 函 数 xy cos R O xy1-1 /2 3 /2 2 - /2偶函数 2T 1y 正 切 函 数 xy tan 2kx Zk O xy /2- /2奇函数 T 在每个周期 内单增 余 切
12、函 数 xy cot kx , Zk - Oyx奇函数 T 在每个周期 内单减 反 正 弦 函 数 xy arcsin 1,1 - /2 /21-1yxo奇函数 单增 22 y 反 余 弦 函 数 xy arccos 1,1 /21-1yxo单减 y0 反 正 切 函 数 xy arctan R /2- /2yxo奇函数 单增 22 y 反 余 切 函 数 xy cotarcR yxo /2单减 y0 极限的计算方法 一、初等函数： 1 . l im (2 . l im 0 l im 0 ,: l im 03 . l im 0 ,: 0 l im 004 . l im00C C Cf x M
13、f x f xf x C Cfxf x M f xCf x C CCCC 是 常 值 函 数 ）若 （ 即 是 有 界 量 ） ， （ 即 是 无 穷 小 量 ） ，特 别若 （ 即 是 有 界 量 ）特 别 5.010. , ,. ( sin , 1 , l n 1 )xAB x x e x x x未 定 式型分 子 分 母 含 有 相 同 的 零 因 式 消 去 零 因 式等 价 无 穷 小 替 换 常 用 . , , l im , , l im l imf x f x f xC f x g x g x g x g x 洛 必 达 法 则 ： 要 求 存 在 且 存 在 此 时 2. ,
14、, ,. , , .ABC型忽 略 掉 分 子 分 母 中 可 以 忽 略 掉 的 较 低 阶 的 无 穷 大 保 留 最 高 阶 的 无 穷 大 再 化 简 计 算分 子 分 母 同 除 以 最 高 阶 无 穷 大 后 再 化 简 计 算洛 必 达 法 则 型型或转化为数有理化通过分式通分或无理函型“00“,3 00100104 转化为 .1lim17060051000或求对数来计算通过型型型求对数求对数ex xx 二、分段函数： ,.分 段 点 的 极 限 用 左 右 极 限 的 定 义 来 求 解 切线方程 为： )( 000 xxxfyy 法线方程 为 )()(1 000 xxxfyy
15、 基本初等函数的导数公式 (1) 0)( C ， C 是常数 (2) 1)( xx (3) aaa xx ln)( ， 特别地，当 ea 时， xx ee ）（ (4) axxa ln1)(log ， 特别地，当 ea 时， xx 1ln ）（ (5) xx c o s)(s in (6) xx s in)(c o s (7) xxx 22 s e cc o s1)(ta n (8) xxx 22 c s cs in1)( c o t (9) xxx tan)(s ec)(s ec (10) xxx c o t)(c s c)(c s c (11) )(arcsinx211x (12) 211
16、)(a rc c o s xx (13) 21 1)(arctan xx (14) 21(a rc co t ) 1x x 函数的和、差、积、商的求导法则 可导都在点及函数 xxvvxuu )()( ， )()( xvxu 及 的和、 差、商 (除分母为 0 的点外 ) 都在点 x 可导 , )()()()()1( xvxuxvxu )()()()()()()2( xvxuxvxuxvxu )( )()()()()( )()3( 2 xv xvxuxvxuxv xu )0)( xv 基本初等函数的微分公式 (1)、 0dc (c 为常数 )； (2)、 1()d x x dx ( 为任意常数
17、)； (3)、 ( ) lnxxd a a adx ，特别地，当 ea 时， ()xxd e e dx ； (4)、 1(log ) lnad x dxxa，特别地，当 ea 时， 1(ln )d x dxx ； (5)、 (sin ) cosd x xdx ； (6)、 (cos ) sind x xdx ； (7)、 2(tan ) secd x xdx ； (8)、 2(co t ) cscd x xd x ； (9)、 (s e c ) s e c ta nd x x x d x ； (10)、 (c s c ) c s c c o td x x x d x ； (11)、21(a r
18、c s in ) 1d x d xx ； (12)、21( a r c c o s ) 1d x d xx ； (13)、21(a rc ta n ) 1d x d xx ； (14)、21( c o t ) 1d a r c x d xx 曲线 的切线方程 0 0 0( )( )y y f x x x 幂指函数的导数 极限、可导、可微、连续之间的关系 l nv x v x uxu x u x v x u x v x ux 条件 A 条件 B， A 为 B 的充分条件 条件 B 条件 A， A 为 B 的必要条件 条件 A 条件 B， A 和 B 互为充分必要条件 边际分析 边际成本 MC =
19、 ()Cq ；边际收益 MR = ()Rq ； 边际利润 ML = ()Lq ， ( ) ( ) ( )L q R q C q = MR MC 弹性分析 )(xfy 在点 0x 处的弹性， ()ED p DpEp D 特别的，需求价格弹性：罗尔定理 若函数 )(xf 满足： (1) 在闭区间 , ba 连续； (2) 在开区间 ),( ba 可导； (3) )()( bfaf ，则在 ),( ba 内至少存在一点 ，使 0)( f 拉格朗日定理 设函数 )(xf 满足 : (1) 在闭区间 , ba 连续； (2) 在开区间 ),( ba 可导， 则在 ),( ba 上至少存在一点 ，使得 ab afbff )()()( 基本积分公式 (1) 0dx C (2) 为常数kCkxk d x 特别地： dx x C (3) 111 Cxdxx(4) Cxdxx |ln1 （有时绝对值符号也可忽略不写） (5) Caadxa xx ln (6) Cedxe xx 极限 连续 可导 可微 00 00()xx xEy yxE x y
