1、邹维政 解析几何知识点总结 1 解析几何 总结 一、直线 1、 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 X 轴的正方向所成的最小正角。 2、 范围 0 3、 直线的斜率：当倾斜角不是 90 时，倾斜角的正切值。 tan ( )2k 4、 直线的斜率公式：设 1 1 1( , )Px y , 2 2 2( , )P x y 12()xx 2121yyk xx 5、 直线的倾斜角和斜率关系：（如右图） 0 2 ； 0k ；单调增； 2 ， 0k ；单调增 6、 直线的方程 （ 1） 点斜式： 11()y y k x x 、斜截式： y kx b （ 3） 两点式： 112 1 2 1y y x xy
2、y x x 、截距式： 1xyab 、一般式： 220 ( 0 )A x B y C A B 、参数式： 11cossinx x ty y t （ t 为参数） 参数 t 几何意义：定点到动点的向量 7、 直线的位置关系的判定（相交、平行、重合） 1l ： 11y kx b； 2l ： 22y k x b 1 1 1 1:0l A x B y C ， 2 2 2 2:0l A x B y C 平行： 12kk 且 12bb 1 1 12 2 2ABC 相交： 12kk 1122AB 重合： 12kk 且 12bb 1 1 12 2 2A B CA B C 垂直： 121kk 1 2 1 2 0
3、A A B B 8、 到角及夹角 (新课改后此部分已删掉 ) 到角：直线 1l 依逆时方向旋转到与 2l 重合时所有转的角。 2121tan 1kkkk 邹维政 解析几何知识点总结 2 夹角：不大于直角的从 1l 到 2l 的角叫 1l 与 2l 所成的角，简称夹角。 2121tan 1kkkk 9、 点到直线的距离 （应用极为广泛） P（ 00,xy）到 1 :0l Ax By C 的距离 0022Ax By Cd AB 平行线间距离： 11:0l Ax By C 22:0l Ax By C 1222ccd AB 10、 简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型） 、 目标函数：要求
4、在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。用关于变量是一次不等式（等式）表示的条件较线性约束条件。 、 线性规划：求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题 11、 直线系：具有某种公共属性的直线的集合。 （ 1） 同斜率的直线系方程： y kx b（ k 为定值， b 为变量） （ 2） 共截距的直线系方程： y kx b（ b 为定值， k 为变量） （ 3） 平行线束：与 0Ax By C 平行的直线系： 0Ax By m （ m 为变量） （ 4） 垂直线束：与 0Ax By C 垂直的直线系： 0Bx Ay m （ m 为变量） （ 5） 过直线 1 1 1 1:0l A x B y
5、C 和 2 2 2 2:0l A x B y C 交点的直线系方程： 1 1 2 2 2( ) 0A x B y C A x B y C 或 2 2 2 1 1 1( ) 0A x B y C A x B y C （不包含 1l ） （适用于证明恒过定点问题） 12、对称问题 点关于点的对称 直线关于点的对称 曲线关于点的对称 点关于直线的对称 直线关于直线的对称 曲线关于直 线的对称 二、 轨迹问题 (一 )求轨迹的步骤 1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点 p（ x， y） 2、立式：写出适条件的 p 点的集合 3、代换：用坐标表示集合列出方程式 f（ x， y） =0 4、化简
6、：化成简单形式，并找出限制条件 5、 证明：以方程的解为坐标的点在曲线上 邹维政 解析几何知识点总结 3 （二）求轨迹的方法 1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹 2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题 4、交轨法：适用于求两条动直线交点的 轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线，然后联立，消去变量即可。 5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。 6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。 三、圆 1、 定义：平面内与定点距离等于定长
7、的点的集合叫圆 2、 圆的方程 1）特殊式： 2 2 2x y r 圆心（ 0， 0）半径 r 2）标准式： 2 2 2( ) ( )x a y b r 3）一般式： 22 0x y D x E y F （ 2240D E F ） 圆心（ ,22DE） 半径 221 42 D E F 4） 参数式： cossinx a ry b r （ 为参数）圆心（ a， b）半径为 r 3、点与圆的位置关系：设点到圆心距离为 d，圆的半径为 r 点在圆外 dr 点在圆上 d=r 点在圆内 dr 5、圆的切线求法 1）切点 00( , )xy 已知 2 2 2x y r 切线 2x x y y r 2 2
8、2( ) ( )x a y b r 切线 200( ) ( ) ( ) ( )x a x a y b y b r 22 0x y D x E y F 切线 0000 022x x y yx x y y D E F 满足规律： 2 0x xx 、 2 0y yy 、 02xxx 、 02yyy 2）切线斜率 k 已知时， 2 2 2x y r 切线 21y kx r k 邹维政 解析几何知识点总结 4 2 2 2( ) ( )x a y b r 切线 2( ) 1y b k x a r k 6 、 圆 的 切 线 长 ： 自 圆 外 一 点 P 00( , )xy 引 圆 外 切 线 ， 切 点
9、 为 P ，则 220 0 0 0P P x y D r E y F 7、切点弦方程：过圆外一点 p 00( , )xy 引圆 2 2 2x y r的两条切线，过切点的直线即切点弦 200x x y y r（其推到过程逆向思维的运用） 8、圆与圆的位置关系：设两圆圆心距离为 d，半径分别为 12,rr 1）外离 :： 12d r r 2） 外切： 12d r r 3） 相交： 1 2 1 2r r d r r 4） 内切： 12d r r 5） 内含： 12d r r 圆与圆位置关系的判定中，不能简单的应用联立方程求根 当有两个根时候，肯定两圆相交；当没有根时候，不能确定是外离还是内含；当有且
10、只有一个根时候，也不能确定是外切和内切 9 、公共弦方程 ( 相交弦 ) ：相交两圆 1C ： 22 1 1 1 0x y D x E y F 、222 2 2 2:0C x y D x E y F 公共弦方程 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0D D x E E y F F 10、圆系：具有某些共同性质的圆的集合 1） 同心圆系： 2 2 2( ) ( )x a y b r （ a， b 为定值， r 为变量且 r0） 2） 等圆系： 2 2 2( ) ( )x a y b r （ a， b 为变量， r 为定值） 3） 过直线 :0l Ax By C 与圆 22:0C x y
11、 D x E y F 的交点的圆系方程：22 ( ) 0x y D x E y F A x B y C () 简记为 0Cl 4） 过两圆 221 1 1 1:0C x y D x E y F ， 222 2 2 2:0C x y D x E y F 交点的圆系方程： 2 2 2 21 1 1 2 2 2( ) 0 ( 1 )x y D x E y F x y D x E y F 简记为 120CC 邹维政 解析几何知识点总结 5 四 、 椭 圆 椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长 （定长 大于两定点间距离 ）的点的集合 1、 定义：1 2 1 22 ( 2 )P F P F a a F F
12、 第二定义： (0 1)PF ceeda 2、 标准方程： 22 1( 0 )xy abab 或 2222 1( 0 )yx abab ； 3、 参数方程 cossinxayb （ 为参数） 几何意义：离心角 4、 几何性质： （只给出焦点在 x 轴上的的椭圆的几何性质） 、 顶 点 ( ,0),(0, )ab 、焦点 ( ,0)c 、离心率 (0 1)ceea 准线： 2ax c （课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出） 5、 焦点三角形面积：12 2 tan 2PF FSb （设 12FPF ） (推导过程必须会 ) 6、 椭圆面积： S a b 椭 （了解即可） 7、 直 线与椭圆位置
13、关系：相离（ 0 ）；相交（ 0 ）；相切（ 0 ） 判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数 8、 椭圆切线的求法 1） 切点（ 00xy ）已知时， 22 1( 0 )xy abab 切线 00221x x y yab2222 1( 0 )yx abab 切线 00221y y x xab2） 切线斜率 k 已知时， 22 1( 0 )xy abab 切线 2 2 2y kx a k b 2222 1( 0 )yx abab 切线 2 2 2y kx b k a 9、焦半径：椭圆上 点到焦点的距离 22 1( 0 )xy abab 0r a ex （左加右减） 邹维政 解析
14、几何知识点总结 6 22 1( 0 )ya abab 0r a ey （下加上减） 五 、 双曲线 1、定义：12 2PF PF a 第二定义： ( 1)PF ceeda 2、标准方程： 2222 1( 0 , 0 )xy abab （焦点在 x 轴） 2222 1( 0 , 0 )yx abab （焦点在 y 轴） 参数方程： sectanxayb （ 为参数） 用法：可设曲线上任一点 P( sec , tan )ab 3、几何性质 顶点 ( ,0)a 焦点 ( ,0)c 2 2 2c a b 离心率 ce a 1e 准线 2ax c 渐近线 2222 1( 0 , 0 )xy abab b
15、yxa 或 220xyab 2222 1( 0 , 0 )yx abab byxa 或 22220yxab4、特殊双曲线 、等轴双曲线 221xyaa 2e 渐近线 yx 、双曲线 221xyab的共轭双曲线 22221xyab 性质 1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线 性质 2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点 在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系 相离（ 0 ）； 相 切 （ 0 ）； 相交（ 0 ） 邹维政 解析几何知识点总结 7 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0 时可以是相交也可以是相切 6、焦半径公式 2222 1( 0 , 0 )xy abab 点 P 在右支上
16、0r ex a（左加右减） 点 P 在左支上 0()r ex a （左加右减） 2222 1( 0 , 0 )yx abab 点 P 在上支上 0r ey a（下加上减） 点 P 在上支上 0()r ey a （下加上减） 7、双曲线切线的求法 切点 P 00( , )xy 已知 2222 1( 0 , 0 )xy abab 切线 00221x x y yab2222 1( 0 , 0 )yx abab 切线 00221y y x xab 切线斜率 K 已知 221xyab 2 2 2()by kx a k b k a 221yxab 2 2 2()by kx a b k k a 8、焦点三角
17、形面积：12 2 cot 2PF FSb （ 为 12FPF ） 六 、 抛物线 1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹） 2、几何性质： P 几何意义：焦准距 焦点到准线的距离设为 P 标准方 程： 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)y px p 图 像： 范 围： 0x 0x 对 称 轴： x 轴 x 轴 顶 点： （ 0， 0） （ 0， 0） 焦 点： （ ,02p ） （ ,02p ） 离 心 率： 1e 1e 邹维政 解析几何知识点总结 8 准 线： 2px 2px标准方程： 2 2 ( 0)x py p 2 2 ( 0)x py p 图 像： 范
18、 围： 0y 0y 对 称 轴： y 轴 y 轴 定 点： （ 0， 0） （ 0， 0） 焦 点： （ 0， 2p ） (0, )2p 离 心 率： 1e 1e 准 线： 2py 2py 3、 参数方程 222x pty pt （ t 为参数方程） 2 2 ( 0)y px p 4、 通 径 ：过焦点且 垂直于对称轴的弦 椭圆：双曲线 通径 长 22ba 抛物线 通径 长 2P 5、 直线与抛物线的位置关系 1） 相交（有两个交点或一个交点） 2） 相切（有一个交点）； 3） 相离（没有交点） 6、 抛物线切线的求法 1） 切点 P 00( , )xy 已知： 2 2 ( 0)y px p的切线； 00()y y p x x 2） 切线斜率 K 已知： 2 2 ( 0 ) : 2py p x p y kx k 2 2 ( 0 ) : 2py p x p y k x k 22 2 ( 0 ) : 2pkx p y p y k x 22 2 ( 0 ) : 2pkx p y p y k x 此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式 直接 应用 附加： 弦长公式： y kx b与曲线交与两点 A、 B 则 22 1 2 1 2111d A B x x k y y k
