1、 1 黄 州 区 一 中 2013 届 高 三 数 学 试 题 （ 理 科 ） 命题：杨安胜 审题： 童云霞 龙佑 祥 考试时间： 2012 年 8 月 19 日 一 、选择题： 本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1 已知 i 为虚数单位，复数 121 iz i ，则复数 z 的虚部是（ ） A i23 B 23 C i21 D 21 2 “ 3cos 5 ”是 “ 7cos2 25 ”的（ ） A 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 下列选项中，说法正确的是 ( ) A命题 “若
2、22am bm ，则 ab ”的逆命题是真命题； B 设 ,ab是向量， 命题 “若 ab ，则 ab ” 的否命题是真命题； C命题 “pq ”为真命题，则命题 p 和 q 均为真命题； D命题 0, 2 xxx R ”的否定是 “ 2,0x R x x ”. 4现有 12 件商品摆放在货架上，摆成上层 4 件下层 8 件，现要从下层 8 件中取 2 件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ） A 420 B 560 C 840 D 20160 5已知 01a，则函数 | |log |x ay a x 的零点的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6 据中华
3、人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在 20-80 mg/100ml（不含 80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处 200 元以上500 元以下罚款；血液酒精浓度在 80mg/100ml（含 80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾 驶证，并处 500 元以上 2000 元以下罚款 . 据某报报道， 2012 年 3月 5日至 3 月 28 日，某地区 共查处酒后驾车和醉酒驾车共 500 人，如图是对这 500 人 酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图， 则这 500人血液中酒精含量的平均值约是 ( ) A
4、55 mg/100ml B 56 mg/100ml C 57 mg/100ml D 58 mg/100ml 7 已知函数 sin ( 0)y ax b a 的图象如图所示，则函数 log ( )ay x b的图象可能是( ) 2 8.已知函数 ( ) 1f x kx,其中实数 k 随机 选自区间 2, .对 0,1, ( ) 0x f x 的概率是 ( ) A 13B 12C 23D 349 已知抛物线 2 2y px 的焦点 F 与双曲线 22 13yx 的右焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ，点 A 在抛物线上且 | | 2 | |AK AF ，则 AFK 的面积为（ ） A
5、4 B 8 C 16 D 32 10 已知奇函数 f（ x）满足 f（ x+1） =f（ x-l），给出以下命题：函数 f（ x）是周期为 2 的周期函数；函数 f（ x）的图象关于直线 x=1 对称；函数 f（ x）的图象关 于点（ k， 0）（ k Z）对称；若函数 f（ x）是（ 0， 1）上的增函数，则 f（ x）是（ 3， 5）上的增函数，其中正确命题的序号是 （ ） A B C D 二、填空题：本大题共 6 小题，考生共 需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 .请将答案填在答题卡对应题号的位置上 .答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分 . （一）必考题（ 11 14 题）
6、 11 曲线 3cos (0 )2y x x 与坐标轴所围成 区域 的面积 是 _. 12 执行如图所示的 程序框图， 若输入 x=10，则输出 y 的值为 _. 13 在计算“ 12+23+ +n(n+1)”时，有如下方法： 先改写第 k 项： 1( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) 3k k k k k k k k ， 由此得： 11 2 (1 2 3 0 1 2 )3 ， 12 3 (2 3 4 1 2 3)3 ， 1( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) 3n n n n n n n n ， 相加得 ： 12+23+ +n(n+1) 1 ( 1
7、)( 2)3n n n. 类比上述方法，请你计算“ 13+24+ +n(n+2)”，其结果写成关于 n 的 一次因式的积 的形式为： 14 数列 na 中， )2,(122,5 11 nNnaaa nnn ，若存在实数 ，使得数 列 nna2 为等差数列，则 = （二）选考题（请考生在第 15、 16 两题中任选一题作答 ， 如果全选，则按第 15 题作答结果记分 .） 3 15（选修 4 1：几何证明选 讲） 如图， O 的直径 AB=6， 为圆周上一点， BC=3,过作圆的切 线 l， 过 A 作 l 的垂 线 AD，垂足为，则 线段 CD 的长为 . 16（选修 4 4：坐标系与参数方程
8、） 直线 l 的 极坐标方程为 324C : cos( )，圆 C： cossinxy （ 为参数）上的点到直线 l 的 距离 为 d，则 d 的最大值为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小题满分 12 分） 在 ABC 中， 三内 角 CBA , 的对边分别为 ., cba 且满足 (2 ) cos cosb c A a C （ ）求 角 A 的大小 ；（ ） 若 | | 1AC AB，求 ABC 周长 l 的取值 范围 来源 :学 15 33216 32 1 三、解答题： 17 解： （ ）在 ABC 中， (2 )
9、 cos cosb c A a C， 由正弦定理有 ： ( 2 s in s in ) c o s s in c o sB C A A C， 2 分 2 sin co s sin ( )B A A C，即 2 sin cos sinB A B ， sin 0B ， 1cos 2A ，又 (0, )A ， 3A 6 分 （） 由已知 | | 1AC AB， | | 1BC ，即 1a ， 由正弦定理得： BABab sin32sinsin ， Cc sin32， 8 分 来源 :学 ,科 ,网 221 ( s i n s i n ) 1 ( s i n s i n ( ) )33l a b c
10、B C B A B 311 2 ( si n co s )22BB 1 2sin( )6B 10 分 3A， )32,0( B， )65,6(6 B， 1,21()6sin( B， 故 ABC 的周长 l 的取值范围是 3,2( 12 分 解法二：周长 1l a b c b c ，由（ ）及余弦定理得 ： 221 2 cosb c bc A ， 122 bccb ， 8 分 22 )2(3131)( cbbccb ， 2cb ， 11 分 又 1b c a ， 3,2( cbal ， 即 ABC 的周长 l 的取值范围是 (2,3 12 分 18解析：（ I）由已知可得 223 123qaaq
11、q 解直得， 3q 或 4q （舍去）， 2 6a ； 4 分 3 ( 1)3 3na n n 1nnb ； 6 分 （ 2）证明： ( 3 3 ) 1 2 2 1 1()2 ( 3 3 ) 3 1n nnnS S n n n n ； 8 分 121 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1(1 ) (1 )3 2 2 3 3 4 1 3 1nS S S n n n 6 1 1 1 2 1 21 0 (1 )1 2 3 3 1 3n nn ； 10 分 故121 1 1 1 233nS S S ； 12 分 19 解 (1)根据茎叶图，有 “ 高个子 ” 12 人， “ 非高个子 ” 1
12、8 人，用分层抽样的方法， 每个人被抽中的概率是 530 16， 所以选中的 “ 高个子 ” 有 12 16 2 人， “ 非高个子 ” 有 18 16 3 人 用 A 表示事件 “ 至少有一名 高个子 被选中 ” ，则 P(A) 1 C23C25 1310710. 因此，至少有一人是 “ 高个子 ” 的概率是 710. (2)依题意， X 的取值为 0,1,2,3. P(X 0) C38C3121455， P(X 1)C14C28C812 2855， P(X 2)C24C18C312 1255， P(X 3)C34C312155. 因此， X 的分布列如下： X 0 1 2 3 P 1455
13、 2855 1255 155 E(X) 0 1455 1 2855 2 1255 3 155 1. 20解析：（ 1）连 BD，四边形 ABCD 菱形， AD AB， BAD=60 ABD 为正三角形， Q 为 AD 中点， AD BQ PA=PD， Q 为 AD 的中点， AD PQ 又 BQPQ=Q AD 平面 PQB， AD 平面 PAD 平面 PQB 平面 PAD； 4 分 （ 2）当 13t 时， /PA 平面 MQB 下面证明，若 /PA 平面 MQB ，连 AC 交 BQ 于 N 由 /AQ BC 可得， ANQ BNC ， 12AQ ANBC NC /PA 平面 MQB ， P
14、A 平面 PAC ，平面 PAC 平面 MQB MN ， /PA MN 13PM ANPC AC 即： 13PM PC 13t ； 8 分 （ 3）由 PA=PD=AD=2， Q 为 AD 的中点，则 PQ AD。 又平面 PAD 平面 ABCD，所以 PQ 平面 ABCD， 以 Q 为坐标原点，分别以 QA、 QB、 QP所在的直线为 ,xyz 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为 A（ 1， 0， 0）， B（ 0, 3,0 ）， Q（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 3 ） 7 设平面 MQB 的法向量为 n ( , ,1)xy ，可得 00, / ,n Q B n Q BP A
15、 M Nn M N n P A ，解得 ( 3,0,1)n 取平面 ABCD 的法向量 (0,0,1)m 1cos , ,2mn 故二面角 M BQ C的大小为 60； 12 分 21 解 (1)设 |PF1| m， |PF2| n. 在 PF1F2 中，由余弦定理得 22 m2 n2 2mncos 3，化简得， m2 n2 mn 4. 由 S PF1F2 33 ，得 12mnsin 3 33 .化简得 mn 43.于是 (m n)2 m2 n2 mn 3mn 8. m n 2 2，由此可得， a 2. 又 半焦距 c 1， b2 a2 c2 1. 因此，椭圆 C 的方程为 x22 y2 1.
16、 (2)由已知得 F2(1,0)，直线 l 的方程为 y k(x 1)， 由 y kx 1，x22 y2 1. 消去 y 得， (2k2 1)x2 4k2x 2(k2 1) 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 4k22k2 1， x1x22k2 12k2 1 . MAMB x1 54， y1 x2 54， y2 x1 54 x2 54 y1y2 x1 54 x2 54 k2(x1 1)(x2 1) (k2 1)x1x2 k2 54 (x1 x2) 2516 k2 (k2 1)2k2 22k2 14k2 k2 542k2 1 2516 k2 4k2 22k2 1
17、2516716. 由此可知 MBMA 716为定值 8 22 解：（ ）因为 22( ) 3 4f x x m x m ，所以 2(2 ) 1 2 8 5f m m ， 解得： 1m 或 7m ，又 2m ，所以 1m ， 2 分 由 2( ) 3 4 1 0f x x x ，解得 1 1x ，2 13x，列表如下： x 1( , )3 13 1(,1)3 1 (1, ) ()fx 0 0 ()fx 极小值 5027 极大值 2 所以 1 50( ) ( )3 27f x f极 小 值， ( ) (1) 2f x f极 大 值 ， 4 分 因为 3 2 2( ) 2 2 ( 2 ) ( 1 )
18、f x x x x x x ， 所以函数 ()fx的零点是 2x 5 分 （ ）由（ ）知，当 0,1x 时，min 50() 27fx ， “ 对任意 1 0,1x ，存在 2 (0,1x ，使 12( ) ( )f x g x ” 等价于 “ ()fx在 0,1 上的最小值大于 ()gx 在 (0,1 上的最小值，即当 (0,1x 时，min 50() 27gx ” ， 6 分 因为22111() x kgx kx x x ， 当 0k 时，因为 (0,1x ，所以 1 5 0( ) ln 0 27xg x xkx ，符合题意； 当 01k时 ， 11k ，所以 (0,1x 时， ( )
19、0gx ， ()gx 单调递减， 所以m in 50( ) (1) 0 27g x g ，符合题意； 当 1k 时 ， 101k，所以 1(0, )x k 时， ( ) 0gx ， ()gx 单调递减， 1( ,1)x k时， ( ) 0gx ， ()gx 单调递增，所以 (0,1x 时，m in 1 1 1( ) ( ) 1 lng x g k k k ， 令 23( ) ln 27x x x （ 01x），则 1( ) 1 0x x ，所以 ()x 在 (0,1) 上单调递增，所以 (0,1)x 时， 50( ) (1) 027x ， 即 23ln 27xx ， 所以m in 1 1 1
20、2 3 5 0( ) ( ) 1 ln 1 2 7 2 7g x g k k k ，符合题意， 综上所述，若对任意 1 0,1x ，存在 2 (0,1x ，使 12( ) ( )f x g x 成立， 来源 :Z,xx,k.Co m 则实数 k 的 取值范围是 ( ,0) (0, ) 10 分 9 （ ） 证明： 由（ ）知 ， 当 0,1x 时， 2 50( 1)(2 )27xx ，即 22 27 (2 )1 50x xxx ， 当 0a ， 0b ， 0c ，且 1abc 时， 01a， 01b， 01c， 所以 2 2 2 2 2 22 2 2 2 7 2 7 2 ( ) ( ) 2 ( ) 1 1 1 5 0 5 0abc a b c a b c a b cabc 又因为 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2 2 3 ( )a b c a b c a b a c b c a b c ， 所以 2 2 2 13abc ，当且仅当 13abc 时取等号， 所以 2 2 22 2 2 2 7 2 7 1 9 2 ( ) ( 2 )1 1 1 5 0 5 0 3 1 0abc abcabc ， 当且仅当 13abc 时取等号， 14 分
