1、 第一单元 分 数 乘 法 1分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 2分数乘整数的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 （为了计算简便，能约分的要先约分，然后再乘。） 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 3一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4分数乘分数的计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分 母相乘的积作分母。 （为了计算简便，可以先约分再乘。） 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5整数乘法的交换律、结合律和分配律，对分数乘法同样适用。
2、乘法交换律： ab=ba 乘法结合律： (ab)c=a(bc) 乘法分配律： a(bc)=abac 6.一个数（ 0除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。 一个数 （ 0除外）乘 小于 1 的数，积小于 这个数 。 一个数 （ 0除外）乘 等于 1 的数，积等于 这个数 。 7分数应用题一般 解题步骤 。 （ 1）找出含有分率的关键句。 （ 2）找出单 位“ 1”的量（以后称为“标准量”） （ 3）画出线段图，标准量与比较量是整体与部分的关系画一条线段即可，标准量与比较量不是整体与部分的关系画两条线段即可。 （ 4）根据线段图写出等量关系式：标准量对应分率 =比较量。 （ 5）根据已知条件和问
3、题列式解答。 8乘法应用题有关注意概念。 （ 1）求几个几是多少；求一个数的几倍是多少；求一个数的几分之几是多少都用乘法。 （ 2）乘法应用题的解题思路：求一 个数的几分之几是多少？ 单位“ 1”对应分率 =对应量 （ 3） 找单位“ 1”的方法 ：从含有分数的关键句中找，注意“ 的 ” 前 “ 是 、 比 、 相当于 、 占 、 等于 ”后的规则。 （ 4）甲比 乙 多 几分之几表示 甲比乙多的数 占 乙 的几分之几，乙比 甲 少 几分之几表示 乙比甲少的数 占 甲的几分之几。 （甲乙） 乙 = 甲 乙 1 （甲乙） 甲 = 1乙 甲 （ 5）“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思，
4、“减少”、“下降”、“裁员”等蕴含“少”的意思，“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。 （ 6）当关键句中的单位“ 1”不明显时，要把关键 句补充完整 ,补充成“谁是谁的几分之几”或“甲比乙多几分之几”、“甲比乙少几分之几”的形式。 （ 7）乘法应用题中，单位“ 1”是已知的。 （ 8）单位“ 1”不同的两个分率不能相加减，加减属相差比，始终遵循“ 凡是比较，单位一致 ”的规则。 （ 9）分率与量要对应。 多的比较量对多的分率； 少的比较量对少的分率； 增加的比较量对增加的分率； 减少的比较量对减少的分率； 提高的比较量对提高的分率； 降低的比较量对降低的分率； 工作总量的比较量对工作
5、总量的分率； 工作效率的比较量对工作效率的分率； 部分的比较量对部分的分率； 总量的比较量对总量的分率； 第二单元 位 置 与 方 向 1、什么是数对？ 数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行”。 作用： 确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。 2、图形左右平移行数不变；图形上下平移列数不变。 3、两点间的距离与基准点（ 0， 0）的选择无关，基准点不同导致数对不同，两点间但距离不变。 第三单元 分 数 除 法 1分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数， 求另一个因数的运算。 2乘积是
6、 1的 两个数 互为倒数。 3、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“ 1”。 4、求倒数的方法： 求分数的倒数：交换分子、分母的位置。 求整数的倒数：整数分之 1。 求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。 1的倒数是 1。 0没有倒数。 5、 真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1。 注意：倒数必须是成对的两个数，单独的一个数不能称做倒数。 6一个数除以分数的计算法则： 除以一个数（ 0 除外），等于乘 这个数的倒数。 （ 1） 被除数 除数 =被除数 除数的倒数。 （ 2） 除法转化成乘法时，被除数一定不能变，“ ”变成“ ”，除数变成它
7、的倒数。 （ 3） 分数除法算式中出现小数 、带分数时要先化成分数、假分数再计算。 7 被除数与商的变化规律： 除以大于 1 的数，商小于被除数 ； 除以小于 1 的数，商大于被除数 ； 除以等于 1的数，商等于被除数 ; 8. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算； 具体数 量对应分 数 =单位“ 1” 的量 9解答分数应用题的一般方法： （ 1）找出单位“ 1”的量，画线段图 ， 先画出单位“ 1”，标 出已知和未知。 （ 2）分析数量关系。 （ 3）找等量关系。 （ 4）列方程。 注：两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。 第 四 单 元 比 1 两个数相除
8、又叫做两个数的比。 2 比式中，比号前面的数叫 前项， 比号后面的项叫做 后项， 比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做 比值 。 注意： 比的后项不能为 0。 3 比表示的是两个数的关系 ， 也 可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几 。 4、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。 （ 1） 用比的前项和后项同时除以它们的最大公 因 数。 （ 2） 求 两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。 （ 3） 求 两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。 5、求比值：把比号写成除号再计算，结果是一个数（或分
9、数），相当于商，不是比。 6 区分 化简 比和 求 比值： 求 比值 结果 是 一个数 ，通常用分数表示，也可以是整数、小数。 化简 比 结果 是 一个式子 ，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式 7比的基本性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（ 0除外），比值不变。 8、比和除法、分数的区别： 除法 被除数 除号（ ） 除数（不能为 0） 商不变性质 除法是一种运算 分数 分子 分数线（ ） 分母（不能为 0） 分数的基本性质 分数是一个数 比 前项 比号（ ） 后项（不能为 0） 比的基本性质 比表示两个数的关系 附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（ 0
10、除外），商不变。 分数的基本性质：分子 和分母同时乘或除以相同的数（ 0 除外），分数的大小不变。 9.分数除法和比的应用 （ 1） 已知单位“ 1”的量用乘法。 （ 2） 未知单位“ 1”的量用除法。 （ 3） 分数应用题基本数量关系（把分数看成比） 甲是乙的几分之几？ 甲 乙 几分之几 乙甲 几分之几 几分之几 甲 乙 （“是”字相当“ ”号，乙是单位“ 1”） 甲比乙多（少）几分之几？ 甲数 =乙数 乙数 几分之几 （或者 ：甲 =乙 (1几几)） 10把一个 量按照一定的比来进行 分配。这种方法叫做按比例分配。 11按比例分配应用题的解答步骤： （ 1）根据题目所给的比，先求出总份数。
11、 （ 2）算出每份是多少 ？ （ 3）按比例分别求出各部分对应的数量。 （ 4）验算，看是否符合题意。 第 五 单 元 圆 1圆的定义：平面上的一种曲线图形。 2将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一 般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母 d 表示。 6在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7在同一个圆内，有无数
12、条半径，有无数条直径。 8在同一个圆内，直径的长度是半径的 2倍，半径的长度是直径的一半。 用字母表示为： d 2r 或 r 2d 9圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 10圆的周长总是直径的 3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，它是一个无限不循环小数，用字母 表示。在计算时，取 3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11圆的周长公式： C= d或 C=2 r 12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 13 圆的面积公式的推导： 如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。 圆的半径
13、 = 长方形的宽 圆 周长的一半 = 长方形的长 长方形面积 = 长 宽 所以：圆的面积 = 长方形的面积 = 长 宽 = 圆的周长的一半（ r）圆的半径（ r） 圆的面积 S = r r = r2 14 圆的面积公式： 2 或者 S= （ 2d ） 2 或者 S= （ C 2） 2 15在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16在一个长方形里 画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r（其中 R r环的宽度） 圆环的面积（铺小路的面积） =大圆的面积 小圆的面积 = R2 r2=（ R2 r2） 18 环形的周长外圆周长内圆
14、周长 19半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。 半圆的周长公式： d 2 d 或 r 2r 20半圆面积圆的面积 2 公式为： 2 2 21在同一个圆里，半径扩大或缩小几倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数；面积则扩大或缩小对应数平方倍。 22两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。 23当一个圆的半径增加，它的周长就增加 ；当一个圆的直径增加，它的周长就增加 。 24 周长相等的三角形、平行四边形、长方形、正方形和圆，它们的面积依次增大。 面积相等的三角形、平行四边形、长方形、正方形和圆，它们的周长依次减少 。 25.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形
15、能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 26只有 1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形 、半圆。 只有 2条对称轴的图形是：长方形 只有 3条对称轴的图形是：等边三角形 只有 4条对称轴的图形是：正方形 ; 只有 5条对称轴的图形是：正五边形、五角星 ; 有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。 27直径所在的直线是圆的对称轴。 28圆上两点之间的部分叫做弧。 29.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 30.顶点在圆心的角叫做圆心角。 31.扇形的大小与半径、圆心角有关。同圆内只和圆心角有关。 32在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几
16、，它所 在扇形面积占圆面积的几分之几；所对的弧占圆周长的几分之几。 33扇形弧长公式： d 360 n 扇形的面积公式： S= 2 360 n （ n 为扇形的圆心角度数） 34、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是： 2 跑道宽度。 35. 常用数据 =3.14 2 =6.28 3 =9.42 4 =12.56 5 =15.7 第 六 单 元 百 分 数 1百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做 百分数 。百分数也叫做 百分率 或 百分比 。 百分数表示两个数之间的
17、比的 关系， 不表示具体的数量，无单位名称。 2百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。 3百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“”来表示。分子部分可为小数、整数 。 4、百分数和分数的区别和联系： （ 1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。 （ 2）区别：意义不同：百分数只表示倍 比关系，不表示具体数量，所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。 百分数的分子可以是小数，分数的分子只以是整数。 注：百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，分母是 100 的分数并不是百分数，必须把分母写成“ %”才是百分数，所以“分母是 100 的分数就是
18、百分数”这句话是错误的。“ %”的两个 0要小写，不要与百分数前面的数混淆。一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到 100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。一般出粉率 在 70、 80%，出油率在30、 40%。 5、小数、分数、百分数之间的互化 （ 1）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“ %”。 （ 2）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“ %”。 （ 3）百分数化分数：先把百分数写成分母是 100 的分数，然后再化简成最简分数。 （ 4）分数化百分数：分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数。 （ 5）小数
19、 化 分数：把小数成分母是 10、 100、 1000 等的分数再化简。 （ 6）分数 化 小数：分子除以分母。 6百分率公式： 合格率 =产品总数合格产品数 100% 发芽率 =实验种子数发芽种子数 100% 出勤率 =应出勤人数 出勤人数 100% 达标率 =学生总人数达标学生人数 100% 成活率 =总棵数成活的棵数 100% 含盐率 =盐水的质量 盐的质量 100% 小麦出粉率 =小麦的质量面粉的质量 100% 出油率 =农作物的质量 油的质量 100% 7、百分数应用题 （ 1） 求常见的百分率 如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是 求一个数是另一个数的百分之几
20、（ 2） 求一个数比另一个数多（或少）百分之几，实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。 求甲比乙多百分之几 （甲 -乙）乙 100% 求乙比甲少百分之几 （甲 -乙）甲 100% （ 3） 求一个数的百分之几是多少 ？ 这 个数（单位“ 1”） 百分 数 （ 4） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 部分量百分 数 =这 个数（单位“ 1”） （ 5） 折扣 折扣、打折的意义：几折就是十分之几也就是百分之几十 折扣 成数 几分之几 百分之几 小数 通用 八折 八成 十分之八 百分之八十 0.8 八五折 八成五 十分之八点五 百分之八十五
21、 0.85 五折 五成 十分之五 百分之五十 0.5 半价 第 七 单元、 扇形统计图 1、 扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。 2、 常用统计图的优点： （ 1）条形统计图直观 反映 每个数量的多少。 （ 2）折线统计图不仅直观 反映 各个数量的多少 而且能反映 数量的增减变化 趋势。 （ 3）扇形统计图 能 清楚地反映出各 部分 数量与 总量的关系。 3、绘制扇形统计图的一般步骤： （ 1）先算出各部分数量占总数量的百分数； （ 2）在算出表示出各部分数量的扇形的圆心角度数。 第八单元 数学广角 数与形 1、 数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。 2、 在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。 补充材料：“鸡兔同笼”问题 1、 用表格方式解决有局限性，数目必须小 。 2、 用假设法解决 （ 1） 假如都是兔 （ 2） 假如都是鸡 （ 3） 假如它们各抬起一条 腿 （ 4） 假如兔子抬起两条前腿 3、 用代数方法解（一般规律）
