1、第 13 章 多目标决策 242 第 13 章 多目标决策 单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这类问题进行合理分析的方法和程序。但在实际工作中所遇到的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策问题变得非常复杂。 国外一般认为，多目标优化问题最早是在 19 世纪末由意大利经济学家帕累托（ V.Pareto）从政治经济学的角度提出来的，他把许多本质上不可比较的目标，设法变换成一个单一的最优目标来进行求解。到了 20 世纪 40 年代，冯诺曼等人由从对策论的角度提出
2、在彼此有矛盾的多个决策人之间如何进行多目标决策问题。 1950年代初，考普曼（ T.C.koopmans）从生产和分配的活动分析中提出多目标最优化问题，并引入了帕累托最优的概念。 1960 年代初，菜恩思（ F.Charnes）和考柏（ J.Cooper）提出了目标规划方法来解决多目标决策问题。目标规划是线性规划的修正和发展，这一方法不只是对一些目标求得最优，而是尽量使求得的最优解与原定的目标值之间的偏差为最小。 1970 年代中期，甘尼（ R.L.Keeney）和拉发用比较完整的描述多属性效用理论来求解多目标决策问题。 1970 年代末，萨蒂（ A.L.Saaty）提出了影响广泛的 AHP(
3、the analytical hierarchy process)法，并在 1980 年代初纂写了有关 AHP法的专著。自 1970 年代以来，有关研究和讨论多目标决策的方法也随之出现。 总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。 13.1 基本概念 多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。单目标决策，只要比较各待选方案的期望效用值哪个最大 即可，而多目标问题就不如此简单了。 例 13.1 房屋设计 某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求根据以下 5 个目
4、标综合选出最佳的设计方案： 1） 低造价（每平方米造价不低于 500 元，不高于 700 元）； 2） 抗震性能（抗震能力不低于里氏 5 级不高于 7 级）； 3） 建造时间（越快越好）； 4） 结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）； 5） 造型美观（评价越高越好） 这三个方案的具体评价表如下。 第 13 章 多目标决策 243 表 13.1 三种房屋设计方案的目标值 具体目标 方案 1（ A1） 方案 2（ A2） 方案 3（ A3） 低造价（元 /平方米） 500 700 600 抗震性能（里氏级） 6.5 5.5 6.5 建造时间（年） 2 1.5 1 结构合理（定性） 中 优
5、 良 造型美观（定性） 良 优 中 由表中可见，可供选择的三个方案各有优缺点。某一个方案对其中一个目标来说是最优者，从另一个目标角度来看就不见得是最优，可能是次优。比如从造价低这个具体目标出发，则方案 1 较好；如从合理美观的目标出发，方案 2 就不错；但如果从牢固性看，显然方案 3 最可靠等等。 1多目标决策问题的基本特点 例 13.1 就是一个多目标决 策问题。类似的例子可以举出很多。多目标决策问题除了目标不至一个这一明显的特点外，最显著的有以下两点：目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。 目标间的不可公度性 是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以直接进行比较。例如房屋设计问题中，造价的单
6、位是元 /平方米，建造时间的单位是年，而结构、造型等则为定性指标。 目标间的矛盾性 是指如果选择一种方案以改进某一目标的值，可能会使另一目标的值变坏。如房屋设计中造型、抗震性能的提高可能会使房屋建造成本提高。 2多目标问题的三个基本要素 一个多目标决策问题一般包括目标 体系、备选方案和决策准则三个基本因素。 目标体系 是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构； 备选方案 是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案。有的被选方案是明确的、有限的，而有的备选方案不是明确的，还有待于在决策过程中根据一系列约束条件解出。 决策准则 是指用于选择的方案的标准。通常有两类，一类是最优准则，可以把所有方
7、案依某个准则排序。另一类是满意准则，它牺牲了最优性使问题简化，把所有方案分为几个有序的子集。如“可接受”与“不可接受”；“好的”、“可接受的”、“不可接受的”与“坏的”。 3几个基 本概念 1）劣解和非劣解 劣解 ：如某方案的各目标均劣于其他目标，则该方案可以直接舍去。这种通第 13 章 多目标决策 244 过比较可直接舍弃的方案称为劣解。 非劣解： 既不能立即舍去，又不能立即确定为最优的方案称为非劣解。非劣解在多目标决策中起非常重要的作用。 单目标决策问题中的任意两个方案都可比较优劣，但在多目标时任何两个解不一定都可以比较出其优劣。如图 13.1，希望 f1和 f2 两个目标越大越好，则方案
8、 A 和 B、方案 D 和 E 相比就无法简单定出其优劣。但是方案 E 和方案 I 比较，显然 E 比 I 劣。而对方案 I 和 H 来说，没有其它方案比它们更好。而其它的解， 有的两对之间无法比较，但总能找到令一个解比它们优。 I、 H 这一类解就叫非劣解，而 A、 B、 C、 D、 E、 F、G 叫作劣解。 如果能够判别某一解是劣解，则可淘汰之。如果是非劣解，因为没有别的解比它优，就无法简单淘汰。倘若非劣解只有一个，当然就选它。问题是在一般情况下非劣解远不止一个，这就有待于决策者选择，选出来的解叫选好解。 对于 m 个目标，一般用 m 个目标函数 12( ), ( ), , ( )mf x
9、 f x f x刻划，其中 x 表示方案，而 x 的约束就是备选方案范围。 最优解 ：设最优解为 *x ，它满足 )()( * xfxf ii ni ,2,1 （ 13.1.1） 2）选好解 在处理多目标决策时，先找最优解，若无最优解，就尽力在各待选方案中找出非劣解，然后权衡非劣解，从中找出一个比较满意的方案。这个比较满意的方案就称为选好解。 单目标决策主要是通过对各方案两两比较，即通过辨优的方法求得最优方案。而多目标决策除了需要辩优以确定哪些方案是劣解或非劣解外，还需要通过权衡的方法来求得决策者认为比较满意的解。权衡的过程实际 上就反映了决策者的主观价值和意图。 f 1 ( 第 一 目 标
10、值 )f 2 ( 第 二 目 标 值 )ABCDEFGHI图 13.1 劣解与非劣解 第 13 章 多目标决策 245 13.2 决策方法 解决多目标决策问题的方法目前已有不少，本节主要介绍以下三种：化多目标为单目标的方法、重排次序法、分层序列法。决策的一般步骤为，第一步，判断各个方案的非劣性，从所有方案中找出全部非劣方案，即满意方案。第二步，在全部非劣方案中寻找最优解或选好解。 13.2.1 化多目标为单目标的方法 由于直接求多目标决策问题比较困难，而单目标决策问题又较易求解，因此就出现了先把多目标问题转换成单目标问题然后再进行求解的许多方法。下面介绍几种较为常见的方法。 1) 主要目标优
11、化兼顾其它目标的方法 设有 m 个目标 f1(x)， f2(x)， .， fm(x)， xR 均要求为最优，但在这 m 个目标中有一个是主要目标，例如为 f1(x)，并要求其为最大。在这种情况下，只要使其它目标值处于一定的数值范围内，即 mifxff iii ,.,3,2,)( 就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题： 1 m a x ( ) ( ) , 2 , 3 , . . . , ; xR i i ifxR x f f x f i m x R （ 13.2.1） 例 13.2 设某厂生产 A、 B 两种产品以供应市场的需要。生产两种产品所需的设备台时、原料等消耗定额及其质量和单位产
12、品利润等如表 13.2 所示。在制定生产计划时工厂决策者考虑了如下三个目标：第一，计划期内生产产品所获得的利润为最大；第二，为满足市场对不同产品的需要，产品 A 的产量必须为产品 B 的产量的 1.5 倍；第三，为充分利用设备台时，设备台时的使用时间不得少于 11 个单位。 表 13.2 产品消耗、利润表 显然，上述决策问题是一个多目标决策问题，今 若将利润最大作为主要目标，消耗定额 产品 资源 A B 限制量 设备台时（ h） 原料（ t） 单位利润（千元） 2 3 4 4 3 3.2 12 12 第 13 章 多目标决策 246 则后面两个目标只要符合要求即可。这样，上述问题就可变换成单目
13、标决策问题，并可用线性规划进行求解。 设 1x 为产品 A 的产量， 2x 为产品 B 的产量，则上述利润最大作为主要目标，其它两个目标可作为约束条件，其数学模型如下： max 21 2.34 xxz 12121212122 4 12(3 3 12. . 1. 5 02 4 11,0xxxxs t x xxxxx 设备台式约束）（原料约束）（目标约束）（目标约束） （ 13.2.2） （线性规划问题及后面所介绍的目标规划 问题的求解过程请参阅 运筹学有关部分。） 2) 线性加权和法 设有一多目标决策问题，共有 f1(x)， f2(x)， ， fm(x)等 m 个目标，则可以对目标 fi(x)
14、分别给以权重系数 i （ i=1， 2， ， m），然后构成一个新的目标函数如下： max F(x)= )(1 xfimi i （ 13.2.3） 计算所有方案的 F(x)值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。 在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同 ，或有些目标值要求最大而有些要求最小，则可首先将目标值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算新的目标函数值并进行比较，以决定方案取舍。 3) 平方和加权法 设有 m 个目标的决策问题，现要求各方案的目标值 f1(x)， f2(x)， ， fm(x)与规定的 m 个满意值 f1*， f2*， ， fm*的差距尽可能小，这时可以重新
15、设计一个总的目标函数： F(x)= 2*1 )( iimi i fxf （ 13.2.4） 并要求 min F(x)，其中 i 是第 i(i=1,2, )个目标的权重系数。 4) 乘除法 当有 m 个目标 f1(x)， f2(x)， ， fm(x)时，其中目标 f1(x)， f2(x)， ， fk(x)的值要求越小越好，目标 fk(x)， fk+1(x)， ， fm(x)的值要求越大越好，并假定 fk(x)， fk+1(x)， ，第 13 章 多目标决策 247 fm(x)都大于 0。于是可以采用如下目标函数 F(x)=)()()( )()()( 21 21 xfxfxf xfxfxf mkk
16、 k （ 13.2.5） 并要求 min F(x)。 5) 功效系数法 设有 m 个目标 f1(x)， f2(x)， ， fm(x)，其中 k1 个目标要求最大， k2 个目标要求最小。赋予这些目标 f1(x)， f2(x)， ， fm(x) 以一定的功效系数 di(i=1,2, ,m)，10 id 。当第 i 个目标达到最满意时 di=1，最不满意时 di=0，其它情形 di 则为 0，1 之间的某个值。描述 di 与 fi(x)关系的函数叫作功效函数，用 di=F(fi)表示。 不同性质或不同要求的目标可以选择不同类型的功效函数，如线性功效函数、指数型功效函数等。图 13.2 所示为线性功
17、效函数的两种类型。图 13.2a 所示为要求目标值越大越好的一种类型，即 fi 值越大， di 也越大。图 13.2b 为要求目标值越小越好的一种类型，即 fi 越小， di 越大。 记 max fi(x)= fimax， min fi(x)=fimin，若要求 fi(x)越大越好，则可设 0)( min ii fd ，1)( max ii fd ，第 i 个目标的功效系数 di 的值为 m inm a xm in)()(iiiiii ff fxfxfd （ 13.2.6） 若要求 fi(x)越小越好，则可设 1)( min ii fd ， 0)( max ii fd ，第 i 个目标的功效系
18、数 di 的值为 f maxif if minif O d 1.0 minif O f if 1.0 maxif d (a) (b) 图 13.2 线性功效函数 a) 目标值愈大愈好的类型 b) 目标值愈小愈好的类型 第 13 章 多目标决策 248 m inm a xm in)(1)(iiiiii ff fxfxfd （ 13.2.7） 同理，对于指数型功效函数的两种类型，亦可类似地确定 di 的取值。 当求出 n 个目标的功效系数后，即可设计一个总的功效系数，设以 m mdddD 21 （ 13.2.8） 作为总的目标函数，并使 max D。 从上述计算 D 的公式可知， D 的数值介于
19、0、 1 之间。当 D = 1 时，方案为最满意， D = 0 时，方案为最差。另外，当某方案第 i 目标的功效系数 di=0 时，就会导致 D = 0 ，这样也就不会选择该方案了。 13.2.2 重排次序法 重排次序法是直接对多目标决策问题的待选方案的解重排次序，然后决定解的取舍，直到最后找到“选好解”。下面举例说明重排次序法的求解过程。 例 13.3 设某新建厂选择厂址共有 n 个方案 m 个目标。由于对 m 个目标重视程度不同，事先可按一定方法确定每个目标的权重系数。若用 fij 表示第 i 方案第 j目标的目标值，则可列表如表 13.3 所示。 表 13.3 n 个方案的 m 个目标值
20、 目标 (j) i 方案 i f1 f2 fj fm-1 fm 1 2 j m-1 m 1 2 i n f11 f21 . fi1 fn1 f12 f22 fi2 fn2 f1j f2j fij fnj f1,m-1 f2,m-1 fi,m-1 fn,m-1 f1,m f2,m fi,m fn,m （ 1）无量纲化。为了便于重排次序，可先将不同量纲的目标值 fij 变成无量纲的数值 yij。变换的方法是：对目标 fj，如要求越大越好，则先从 n 个待选方案中找出第 j 个目标的最大值确定为最好值，而其最小值为最差值。即 jiijni bff 1max，jiijni wff 1min并相应地规定
21、 第 13 章 多目标决策 249 100 jiji bb yf 1 jiji ww yf 而其它方案的无量纲值可根据相应的 f 的取值用线性插值 的方法求得。 对于目标 fi，如要求越小越好，则可先从 n 个方案中的第 j 个目标中找最小值为最好值，而其最大值为最差值。可规定 1 jijibb yf， 100 jijiww yf。其它方案的无量纲值可类似求得。这样就能把所有的 fij 变换成无量纲的 yij.。 (2) 通过对 n 个方案的两两比较，即可从中找出一组“非劣解”，记作 B，然后对该组非劣解作进一步比较。 (3) 通过对非劣解 B的分析比较，从中找出一“选好解”，最简单的方法是设
22、一新的目标函数 mj ijii yF 1 ， Bi （ 13.2.9） 若 Fi 值为最大，则方案 i 为最优方案。 13.2.3 分层序列法 分层序列法是把目标按照重要程度重新排序，将重要的目标排在前面，例如已知排成 f1(x)， f2(x)， ， fm(x)。然后对第 1 个目标求最优，找出所有最优解集合，用 R1 表示，接着在集合 R1 范围内求第 2 个目标的最优解，并将这时的最优解集合用 R2 表示，依此类推，直到求出第 m 个目标的最优解为止。将上述过程用数学语言描述，即 0(1)11( ) m ax ( )xRf x f x 1( 2 )22( ) m ax ( )xRf x f
23、 x （ 13.2.10） 1()( ) m a x ( )mmmmxRf x f x1 m i n ( ), , 1 , 2 , . . . , 1i i iR x f x x R i m RR0 这种方法有解的前提是 R1， R2， ， Rm-1 等集合非空，并且不止一个元素。但这在解决实际问题中很难做到。于是又提出了一种允许宽容的方法。所谓“宽容”是指，当求解后一目标最优时，不必要求前一目标也达到严格最优，而是在一个对第 13 章 多目标决策 250 最优 解有宽容的集合中寻找。这样就变成了求一系列带宽容的条件极值问题，也就是 0(1)11( ) m in ( )xRf x f x 1(
24、 2 )22( ) m in ( )xRf x f x （ 13.2.11） 1()( ) m a x ( )mmmmxRf x f x 1 | ( ) m a x ( ) , i i i i iR x f x a f x x R i=1,2, ,m-1, RR0 而 ai0 是一个宽容限度，可以事前给定。 13.3 多目标风险决策分析模型 假设有 n 个目标， m 个备选方案（ 12, ,., mA A A ），第 i 个备选方案 iA 面临 il 个自然状态，这 il 个自然状态发生的概率分别为 12, ,.,ii i ilp p p。方案 iA 在其第 k 个自然状态下的 n 个后果值分
25、别为 (1) (2) ( ), ,., nik ik ik 。该模型可表述为图 13.3。 各方案中各目标的期望收益值分别为 )(1)2(1)1(1)(12)2(12)1(12)(11)2(11)1(111111111111)()(nlllnnlppaPAE )()2()1()(2)2(2)1(2)(1)2(1)1(11 )()(nmlmlmlnmmmnmmmmlmmmmmmmmppaPAE （ 13.3.1） 这样，便把有限个方案的多目标风险型决策问题转化成为有限方案的多目标确定型决策问题： 第 13 章 多目标决策 251 nmmnmmnnmmd e faaaaaaaaaAAAAEAEAE
26、AE2122221112112121)()()()( （ 13.3.2） 13.4 有限个方案多目标决策问题的分析方法 13.4.1 基本结构 我们的问题可表述为：从 现有的 m 个备选方案 mAAA , 21 中选取最优方案（或最满意方案），决策者决策时要考虑的目标有 n 个： nGGG , 21 。决策者通过调查评估得到的信息可用下表表示（其中 ija 表示第 i 个方案的第 k 个后果值）： 1A2A.mA11p.11 lp21p22 lp1mpmmlp),()(11)2(11)1(11n ),()(1)2(1)1(1111nlll ),()(21)2(21)1(21n ),()(2)2(2)1(2222nlll ),()(1)2(1)1(1nmmm ),()()2()1( nmlmlmlmmm 图 13.3 多目标风险型决策模型
