1、刚性球与平面弹性接触的临界参数计算 接触问题作为应用力学的一个分支在工程中会经常遇到。实际上 ,在有机械部分的工业设备中 ,几乎无一例外地存在着接触现象。典型的例子有 :齿轮间的接触 ,轴承中滚子与坐圈的接触 ,凸轮机构中凸轮与传动件的接触 ,火车的车轮与铁轨的接触等 1-2。许多工程表面的接触问题 ,在宏观上一般可以简化为回转体接触 ,即便在微观上 ,实际表面的接触也是椭球状的微凸体接触。对于类似这样的接触问题 ,都可以简化成球体与平面的接触模型 ,如果接触过程为 弹性变形 ,则可采用经典的 Hertz模型来进行计 算处理。图 1 反映了刚性球与平面接触过程的变形演化趋势。当压入深度较小时
2、,材料处于完全弹性接触状态 ,随着压入深度的增加 ,材料内部发生屈服 ,开始出现塑性变形 ,当压入深度达到一定值后 ,接触区域呈现完全塑性变形。在真实的接触过程中 ,总是希望两体之间的接触处于弹性状态 ,此时工件的变形较小 ,使用寿命也会很高。但是当压入深度超过某一值后 ,材料就会发生屈服 ,出现塑性变形 ,如果工件长期在塑性状态下工作 ,将会对其使用寿命产生很大的影响。由于材料的弹塑性变形的非线性使得接触问题复杂化 ,因此 ,获得从弹性接触进入弹塑性接触的临界点 ,即 Hertz接触的临界参数显得尤为重要。 图 1 刚性球与平面接触的变形演化示意图 目前 ,在工程上采用有限元分析方法来仿真接
3、触体的变形、应力分布、接触面积等得到了广泛应用 ,但其计算时间长 ,软硬件成本较高。由于弹性接触问题在工程实际中普遍存在 ,如何采用一种行之有效的方法进行工件的接触强度分析和校核 ,建立符合工程实际的设计和校核公式 ,一直是工程技术人员和广大科研工作者的一个研究方向。因此 ,我们以弹性接触理论和弹塑性力学为基础 ,建立刚性球与平面弹性接触的临界接触参数计算模型 ,为构件的接触变形分析提供参考 。 1 Hertz接触理论 Hertz在研究半径为 R的弹性球与弹性半空间变形体的接触时 ,为了简化分析 ,做了如下假设 :在压入深度为 h时 ,其接触处于弹性变形阶段 ,两者之间的接触是无摩擦的局部变形
4、 ,其接触区域相对于球体而言很小 ,则接触面的投影形状为圆形。图 2 反映了球与半空间之间的弹性接触示意 ,a 表示接触半径。因此 ,两个接触体可以认为是弹性半空间 ,在接触区域上 受到了相同的接触压力。 Hertz假设接触区域的压力分布为抛物线形状 ,其表达式为 ： (1) 式中 ,p0为接触中心处的最大接触压力 ;r为接触点距接触中心的径向距离。 图 2 球与半空间变形体的接触示意图 对式 (1)在整个接触区域 0 -a区间进行积分 ,即可得到其接触的合力 F为： (2) 接触半径 a的表达式为： (3) 式中 ,E*为等效弹性模量 ,其表达式为： (4) 式中 ,v、 vi分别为两接触体
5、的泊松比 ,E、 Ei为其弹性模量。 根据 Hertz接触理论 ,半径为 R 的刚性球与弹性平面接触 ,其接触力 F,最大接触压力 p0,接触半径 a与压入深度 h之间的关系分别是： (5) 根据 Hertz接触理论 ,对于不同半径的球之间的接触 ,同样也可以等效为球与平面的接触 ,此时半径 R为两球的等效半径 ,其计算表达式为： (6) 式中 ,R1、 R2 分别为两球的半径 ,+表示两球为外接触 ,-表示两球为内接触。 2 临界参数计算 根据图 2 所示的坐标 ,采用 最大接触压力 p0 对 z轴上各点的应力场进行无量纲化 ,正应力和剪应力的表达式分别为： (7) 式中 ,Rr、 RH 和
6、 Rz分别是径向、周向和 z向的正应力 ;Srz、 SrH 和 RzH 是相应的剪应力。 根据式 (9)式 (11)可以发现 :Rz 与泊松比 v无关 ,但是 Rr 和 RH 与泊松比 v相关。 z轴上的无量纲应力 Rr/p0、 RH/p0和 Rz/p0与无量纲位置 z/a和泊松比 v之间的变化关系曲线如图 3所示。 图 3 无量纲应力 R/p0、 Y/p0与无 量纲深度 z/a和泊松比 v的关系 从图 3 中可以发现 ,当 z/a 小于 1 时 ,Rr、 RH和 Rz随深度的增加而增加 ,但是Rz增加的速度明显没有另外两个快。当 z/a大于 1后 ,Rr和 RH变化很小 ,且趋近于 0,而
7、Rz随 z/a增加而继续增加。泊松比 v越小 ,Rr和 RH越大 ,这是因为材料的可压缩性增加 (泊松比小 ),应力也会随之增加。 在弹性变形区域 ,应力随着 F或 h增加而增加 ,最终导致材料屈服。在 z轴方向 ,由于 Srz、 SrH和 SzH为 0,因此 ,Rr、 RH和 Rz为主应力 6。根据 Von Mises屈服准则 ,在 z轴上的点的 屈服应力可以表示为： (8) 对于某一个 v,式 (13)所表示的屈服应力值随着 z/a变化而变化 ,其变化关系曲线如图 3所示。从图 3中可以看出 :无量纲屈服应力 Y/p0随着泊松比 v的增加而减小 ,而且 Y/p0的最大值发生在接触中心的正下
8、方 ,即最初的屈服发生在材料内部。当该点的屈服应力达到屈服强度 Ry 时 ,此时的压入深度 hy即为初始屈服时的临界压入深度。为获得临界屈服位置 ,将式 (13)相对于 z/a 进行微分 ,并令该值为 0,即可得到最大 Von Mises应力下的无量纲位置 F0=z0/a。 (9) 将式 (9)改写为： (10) 对于大部分金属材料 ,泊松比 v在 0到 0.5之间变化。由于式 (5)的表达式比较复杂 ,因此采用数值方法求解该超越方程。图 4所示为该等式的曲线表达式及其 拟合曲线 ,从图 4中可见 ,在初始屈服时 ,其拟合函数关系式为： (11) 式 (11)的拟合误差小于 0.31%。因此
9、,无量纲的初始屈服位置 F0 和泊松比 v之间可以用近似线性函数表示： (12) 从等式 (12)中可以看出 ,F0随着 v增加而增加。因此 ,大的 v导致初始屈服发生在接触中心正下方更深的位置。 图 4 泊松比 v与无量纲屈服点 z0/a的关系 当初始屈服发生时 (13) 式中 ,Fy为弹塑性材料的屈服强度。 (14) 则 (15) 同样 ,式 (14)也是一个超越方程。 Cv与 v的关系曲线及其拟合曲线如图 5所示 ,拟合函数的表 达式为： （ 16） 对于大部分金属材料 ,v=0.3。则根据式 (16)可以计算得到 (17) 因此 ,对于 v=0.3的材料 ,在初始屈服时 ,临界压入深度
10、 hy为： (18) 将式 (18)带入到式 (5)中 ,得到其临界压入载荷 Fy为： (19) 同样地 ,根据式 (7)得到其临界接触半径 ay为 (20) 从式 (18)式 (20)可看出 ,只要知道材料的弹性模量、屈服强度和球半径 ,即可计算出刚性球与 平面弹性接触时的临界压入深度、临界压入载荷和临界接触半径。 图 5 Cv与泊松比 v的关系 从上面的分析还可以看出 ,对于泊松比 v=0.3 的材料 ,当 &Rz-Rr&=0.62p0 时 ,在接触区域中心正下方深度为 0.481 1a处 ,材料开始屈服 ,此时接触中心处的接触压力 p0=1.613Ry。如果压入深度继续增加 ,则接触中心
11、下方的材料塑性变形区域逐渐扩大 ,进入弹塑性变形阶段。在此变形阶段 ,由于存在塑性变形 ,此时 ,两体的接触不再满足 Hertz弹性接触的使用条件 ,因此 ,不能再用 Hertz接触理论来分析两体的接触过程。 需要指出的是 ,由于上面分析的是球与平面的弹性接触 ,因此 ,弹性模量和泊松比对接触响应起主要作用。当材料发生屈服后 ,屈服强度就会对接触响应产生较大的影响。在实际工程应用中 ,很多工件的表面在加工过程中或多或少会产生加工硬化 ,在此情况下 ,可以认为表层材料的屈服强度得到提高 ,因此 ,采用上面的计算公式时 ,屈服强度需要进行必要的修正 ,即根据硬化程度而采用合适的等效屈服强度 ,同样可以采用式 (18)式 (20)计算获得弹性接触时的临界参数。 3 结论 以弹性接触理论和弹塑性力学为基础 ,通过分析刚性球与平面弹性接触时的应力变化关系 ,采用数值方法获得了初始屈服发生时的位置位于接触中心的正下方 0.481 1a处 ,此时接触中心处的接触压力为 1.613Ry。根据 Hertz接触理论 ,建立了两体弹性接触的临界接触参数计算公式 ,如果已知材料的弹性模量、屈服强度(或等效屈服强度 )和球半径 ,即可获得发生初始屈服时的临界参数 ,为构件的弹塑性接触变形分析提供了参考。
