1、目 录 1 “数形结合”思想 . 2 1.1 什么是“数形结合” . 2 1.2 “数形结合”的作用 . 3 2 数形结合 的具体应用 . 3 2.1 数形结合思想在方程和不等式方面的应用 . 3 2.2 利用数形结合思想解决函数问题 求函数最值、单调性、值域 . 6 2.3 数形结合在解集合运算中的应用 . 9 2.4 数形结合在解析几何中的应用 . 10 3 结语 . 12 参考文献 . 13 致谢 . 13 1 数形结合思想在数学中的应用 xxx 数学与信息学院数学与应用数学专业 2008 级 指导教师： xxx 摘 要： 数形结合思想是通过数、形间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想
2、。 数形结合的思想方法是数学学习的重要思想方法之一。 本文主要 从方程不等式、函数、集合、解析几何等方面 阐释 运用数形结合思 想解题可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题 的目的，有助于把握数学问题的本质。数形结合的解题方法具有灵活性和直观性，应用十分广泛。 关键词： 数形结合；思想方法；数学解题 The application of number shape union thought in mathematics xxx College of Mathematics and Information Mathematics and Applied Mathematics,
3、Grade 2008 Instructor:xxxx Abstract: The number shape union thought through the number, shape and mutual correspondence between to study and solve problems of thought. The number shape union thought method is one important thinking method of mathematics learning. This article mainly from the equatio
4、n, function, set, analytic geometry aspects using the number shape union thought solving problems can make the complex problem simple, abstract problem solving concrete so as to optimize the purpose, contribute to grasping the essence of mathematics problems The number shape union problem solving me
5、thod is flexible and intuitive, is widely used. Key words: mathematical problem solving; thinking method; combination of number and shape . 2 1 “数形结合”思想 1.1 什么是“数形结合”？ 数形结合是贯穿中小学数学始终的数学思想方法，数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙和谐地结合在一起，充分利用这种结合寻找解题思路的一种解决数
6、学问题的思想。数形结合的途径有三种 ： 以形助数、以数助形、数形互助。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，而关键是代数问题与图形之间的相互转化， 注意转化时的条件必须要是等价转化 。最终 可以使代数问题几何化，几何问题代数化。 “中国的儒家传统文化和教育传统一贯重视一或整体的价值”，这种重视“一以贯之”的整体性和直觉性的思维模式是数形结合思想产生的本源。 “数形结合”是中国数学教育界教与学，理论与实践的衔接点。 广义上认为数形结合的最初表现形式是筹算的使用，如开方术 、 割圆术 、 阳马术 、 盈不足术等。目前数形结合思想方法的应用已经从数学发展到物理 、 生物 、 化学等
7、基础理论学科的学习。 数形结合思想方法的继承、传播、应用与发展主要是受数学理论界对数学方法的研究和基础教育工作者的实践活动的影响。 “数 形结合”这一习语从产生到发展已有三四十年的历史，首先出现于 1951年我国基础数学教育界的核心刊物数学通报中，与之相类似的词句为：“把数学中两个主要对象 “ 形 ” 与 “ 数 ” 密切的联系起来，把代数与几何统一起来”。“数形结合”一词的正式出现是在中国数学界的传奇人物华罗庚 先生的科普小册子谈谈与蜂房结构有关的数学问题中，与之相关的词句为： “数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难人微；数形结合百般好，隔家分离万事休；切莫忘，几何
8、代数统一体，永远联系莫分离。”该册子推出后，“数形结合”立即获得 数学界的普遍认同。从此，“数形结合”在数学刊物中被广泛的流传开来。 3 1.2 “数形结合”的作用 数形结合思想方法是中学数学重要的思想方法之一，在数学解题和教学中都发挥着巨大的作用。该思想的主要内容体现在：建立适当的代数模型（如方程、不等式、或函数模型）；建立几何模型（或函数图像）解决有关方程和函数的问题；与函数有关的代数、几何综合性问题；以图像形式呈现信息的应用性 等 问题上 。 数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性 。“形” 属于形象思维的范畴，是人的右脑思维的产物 。“数”属
9、于数学抽象思维范畴， 是 人的左脑思维的产物。 数形 结合能使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存，彼此激发，全面、协调、深入地发展人的思维能力 。 利用数形结合来解决数学中的有关问题，有 着明显的优越性。“形”的直观与“数”的精确相辅相成， 化解难点知识。给“数 ”的问题以直观图形的描述，提示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上认识“形”的几何属性。从而使复杂、抽象的数学问题变得直观形象，从而成为简单的数学问题。 在 数形结合的 相关 运用 中一向 强调 的是 对象性 的 结合 ，对功能性结合不够重视， 即在教学理念中重视知识的传授
10、。在功能性结合上 以形助数多， 即 对图形的直观辅助运用得多； 以数助形少 ，对数的解形不 够 熟练 。 因此，在解析几何的实际教学中可有目的的进行数表形操作的训练。 从而达到数形结合的优化运用，培养学生各方面的能力。 2 数形结合的具体应用 2.1 数形结合思想在方程和不等式方面的应用 一些看似纯代数问题，若直接从代数角度思考，比较麻烦，因此要 通过观察、类比、分析、综合、和概括， 灵活使用数形结合， 用构造几何的方法解代数问题 达到事半功倍的效果；在方程求解问题中，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题，达到化难为易的效果；处理不等式时，可以从题目 的条件与结4 论出发，联系相关函数，
11、着重分析其几何意义，从图形上找到 解题的思路。 例 1 已知正数 zyx , 满足方程 14425132222xzxzyzzyyx ，求 z 的值。 解析 从结构上观察，后面两个式子和余弦定理近似，因此可选将其化为余弦定理 60c o s21 4 4 60c o s225 2222xzxz yzzy因此，我们可构造几何图形来求解。 解 作 ACBRt ， AB=13， BC=12，在 AB 上取 D 使 60ADC ，则 BD=x， AD=y，CD=z，如图 4 从而有 DCABDCADDCBDACBC 4 360s i n21120s i n2121 得：13 34032 ABACBCCDz
12、A y 60 x z D B C z 图 4 5 例 2 方程 xx sin231 的实数根个数为（ ） A、 3 B、 5 C、 7 D、 9 解析 直接求解该方程的根十分困难 ，因此，我们可以将等号两边分别看成两个函数 xyxy sin2, 2311 ，求实数根的个数即是求这两个函数图象的交点数。又由于两个函数均为奇函数，因此只需作 0x 的函数图象，又由于 8x 时，xx sin2231 ，故只需取 3,0 这部分即可，将这两个函数图象作在同一个坐标系中，如图 2 故本题选 D 在本题中应注意：当 81x 时，81s in28122181 31 ，因此，在 2,0 内有一个交点，本题易在
13、草图（如图 3）中 ，忽略该点，从而错选 C 图 3 x y O 图 2 x y O 6 例 3 已知正数 a,b,c,x,y,z 满足条件 a+x=b+y=c+z=k 求证： ay+bz+czk2 解析 本题直接由已知条件从代数变形难以得到所需求证的结果，但观察结果，是三个乘积之和，从而可利用正弦定理求证，故可将已知条件的参数放置三角形内，通过面积的大小可得证。 证明 根据题设的特点构造几何模型：取边长为 k 的正三角形 PQR，分别在各边上取点 L,M,N，使 QL=x,LR=a,RM=y,MP=b,PN=z,NQ=c，如 图 1 所示 由图看出： PQ RN Q LM PNL RM SS
14、SS ， 即有： 60s i n2160s i n2160s i n2160s i n21 2kcxbzay 故： 2kczbzay 2.2 利用数形结合思想解决函数问题 求函数最值、单调性、值域 求函数的最值、单调性和值域是函数部分的重点内容，虽然 借助于函数图形解 函数 题 的 方法 能够被大家 熟练运 用 ，但是此类 用常规的 作函数图像解答的 方法却难以解 题 ，此时 将仔细观察函数结构特征通过灵活的变形转化，最后函数以图形的方式得以表达为 距离函数、斜率函数 等 类型 才能 达 到 解题 的目 的 。此数形结合形象、直观，便于求解。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，充分体现了数形
15、结合的特征与方法。 Q L R M P N 图 1 7 例 4 求函数 1)3(1)( 22 xxxf 的最小值。 解析 通过观察已知函数的形式与结构，不难发现这是两个点间的距离之和，即可把原函数化为 2222 )10()3()10()0()( xxxf ，原题即转化成“已知点 P（ x， 0），求它到两定点 A(0， 1)， B（ 3， 1）的距离之和的最小值”，从而结合图形，即可解决。 解 原函数化为 2222 )10()3()10()0()( xxxf ，如图 5 函数 )(xf 的最小值即为 PBAP 的最小值。 作 A 点关于 x 轴的对称点 A 点，即 PBPAPBAP 易知，当
16、BPA , 共线时，有最小值 13 BA 即 13)( min xf 例 5 求函数 212 xxy 的单调区间和值域。 解析 本题直接用求单调区间和值域的常规方法难以入手，但经过一定变形可转化为点到直线的距离问题，故可通过数形结合的思想来解决。 y x P 0 A (0， -1) B(3， 1) A(0， 1) 图 5 P 8 解 将原函数变形为 2221 2 xxy 其中，将221 2 xx 理解为动点 21, xx 到直线 02yx 的距离 作出图象，如图 6，不难得出动点 21, xx 人轨迹为单位圆的上半部分 从而易得：函数 )(xfy 在 22,1x 是减函数，在 1,22x 就增
17、函数 故易求得其值域为 3,22y 例 6 已知 Ryx , 且 43 22 yx ，试求 xy 的取值范围。 解析 由题可知点 ),( yx 在以 )0,3( 为圆心、 2 为半径的圆上，将 xy 变形 为 00xy ，即 xy 的取值范围是过原点及此圆上的点的直线的斜率，结合图形即可求解。 解 根据题意作出图形，设过圆点的直线为 kxy 由点到直线的距离可得 2=132kk，解得： 552k x 2 -2 O -1 1 y 图 6 9 故 xy 的取值范围为 552,552 2.3 数形结合在解集合运算中的应用 在集合运算中常常借助于数轴、 Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从 而使问题得以简化，使运算快捷明了且不易出错。若与函数相结合的 题目则难度较大， 在掌握集合的相关知识基础之上 利用函数的解题特点， 有意识的将 函数转化再 数形结合 达到 解题 的目的，考查学生的思维能力、函数 等价 转化能力。 例 7 设全集 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 2 , 4 ,UU M N M C N 则 N （ ） A 1,2,3 B 1,3,5 1,4,5 2,3,4 解析 画出韦恩图， 通过图形，形象直观， 可知 N 1,3,5 。 故选 B x y O A B 图 7 M N 2， 4 U 无
