1、二阶线性递推数列的通项公式的求法 课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点，由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法 课程内容： 真题再现： 1.（ 2015 广东文 19）设数列 na 的前 n 项和为 nS ， *nN 已知 1 1a ，2 32a，3 54a， 且当 2n 时， 2 1 14 5 8n n n nS S S S （ 1）求 4a 的值； （ 2）求证：1 12nnaa为等比数列； （ 3）求数列
2、 na 的通项公式 2.在 数列 na 中， 1 1,a 2 1a ， 11n n na a a （ 2n ），求数列 na 的通项公式 问 题 呈 现 ： 第 一 题 中 的 第 三 问 是 难 点 ， 当 2n 时， 2 1 14 5 8n n n nS S S S ，易得2 1 1 14 ( ) 4 ( ) ( )n n n n n nS S S S S S ，即 2114n n na a a，实际上就是已知 2114n n na a a，求 na 的通项公式 。第 2 题更是典型的已知 11n n na a a （ 2n ）， 求数列 na 的通项公式 这两题的共同特点 是：已知数列
3、*1 2 2 1, , ( , 0 ) ,n n na a a b a p a q a n N p q 求 na 的通项公式 ，即二阶线性递推数列的通项公式的求法。这是学生的一个难点，同时也是高考重点考查的知识，很多学生感到很繁琐，无从下手。实质，此类题型来源于我们的课本习题 课本例题呈现： 例 13 已知数列 na ， 2121 32,2,5 nnn aaaaa （ 3n ），求数列的通项公式。（人教版高中数学必修5 第二章数列 复习参考题 B 组第 6 题） 解法 1 ：（ 归 纳 猜 想 ） 由 已 知 可 得 ： 1 1,a 2 3 4 52 , 1 9 , 4 4 , 1 4 5 ,
4、a a a a 猜想1 1 *1 7 3 1 3 ( 1 ) ( )4 nnna n N (用数学归纳法证明略 ) 解法 2：（构造法） 将 21 32 nnn aaa 变形， 2 3)2(3)2(21211 nnnnnn aaaaaa 若 ,2 3 即 1 或者 3,则 1nnaa 是一个等比数列 ,公比为 2- . 1 时， 1nnaa 是一个首项为 7,公比为 3 的数列 , 11 73nnnaa 3 时， 1 3 nnaa 是一个首项为 -13,公比为 1 的等比数列 11 3 1 3 ( 1) nnnaa 由 两式消去 1na 得： 1 1 *1 7 3 1 3 ( 1 ) ( )4
5、 nnna n N 解法 3：（待定系数转化法） 21 32 nnn aaa ，设 1 1 2()n n n na a a a ，其中 ,是待定的常数，则12()n n na a a 。得 23 ，比较系数显然 与 是方程 2 2 3 0xx 的两根，即方程 2 23xx的两根。 23 3 = 11 = 3 或 ， 得： 1 1 2 1 1 23 ( 3 ) + 3 ( + )n n n n n n n na a a a a a a a 或， 以 下 与 解 法 2 相 同 可 得1 1 *1 7 3 1 3 ( 1 ) ( )4 nnna n N 我们发现解法 2 与 3 本质相同，都是构造
6、等比数列，再利用方程思想得到通项公式。这种解法可以推广到一般： 揭示结论： 设数列 12,a a a b 21 ( * )n n na p a q a n N ,( 0pq ) ，求 na 设： 2 1 2( ) ,n n n na a a a ,是待定系数，整理得： 21( ) ,n n na a a 比较系数得：,pq ，所以 ,是方程 2 0x px q 的两根。 I. 当 0 时，设其实根为 , ，从而有 或 得 2 1 1()n n n na a a 或2 1 1()n n n na a a 。 所以，数列 11 , n n n na a a a分别是 和 的等比数列 故得： 11
7、2 1() nnna a a a 11 2 1() nnna a a a 当 时，由 消去 1na 得 112 1 2 1( ) ( )nnn a a a a aa 令 2 1 2 112() ,a a a acc ，则 1112 ,nnna c c常数 12,cc由 1, 2aa 确定 当 =2p 时，由 得 11 2 1() nnna a a a ，两边同除 1na 得 1 2112nnaa aa 。数列 nna是公差为 212 ,aa首项为 1a 的等差数列。得： 1 2 122( 1 ) ,nna a a an 得令 1 2 11 22a a ac ， 212 2aac ，得 12()
8、nna c nc ，常数 12,cc由 12,aa共同决定。 所以，遇到此类题求通项公式只需考查方程递推方程 21n n na pa qa的特征方程 2x px q，运用特征根方程特点解题，是非常简单的。 结论运用 对于文 中所涉及的第一小题 （ 2015 广东文 19） 的第三小问我们便可以运用此法解答 .题目中已经求出递推方程2114n n na a a，所以其特征方程为 2 14xx，解得方程只有两个相等的实根即： 12，所以121( )( )2 nna c nc， 1 1,a2 32a可得： 122121( ) 12 1( 2 ) ( ) 12cccc 1 0,c 2 2c 12n n
9、na 第（ 2）小题的递推公式 11n n na a a （ 2n ），其特征方程为 2 1xx.解得1 152x ,2 152x .可设 11121 5 1 5( ) ( )22nnna c c1 1,a . 2 1a ，可得： 121211 5 1 5 122cccc解得1 5125c ,2 5125c 代入 na 可得 1 1 5 1 5 ( ) ( ) 225 nnna 由此可见遇到此类求通项公式的题 ,用特征根方程通过待定系数法解决此类问题是很简单的 .回头梳理整个通项公式的探究过程 ,我最大的感触是不要轻易放过教材中的任何一道题目 .教材是专家经验的积累、智慧的结晶，所以每道例题、习题都有其存在价值。教材永远都是题目的本源，教会学生利用好教材，善于积累将会起到事半功倍的效果。 第八讲 多面体与球的组合体问题
