拉普拉斯变换.doc

1、第 7 章 拉普拉斯变换 拉普拉斯 (Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用 7.1拉氏变换的基本概念 在代数中，直接计算 3 28.95781 2028.6 N 53)164.1( 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 1 6 4.1lg53)20lg28.9lg5 7 8 1(l g3128.6lglg N ， 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数 N 这是一种把复杂运算转化为简单

2、运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法 7.1.1 拉氏变换的基本概念 定义 设函数 )(tf 当 0t 时有定义，若广义积分 dtetf pt 0 )( 在 P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为 P 的函数，记作 )(PF ，即 dtetfPF pt 0 )()( （ 7-1） 称（ 7-1）式为函数 )(tf 的拉氏变换式，用记号 )()( PFtfL 表示函数 )(PF 称为 )(tf的 拉氏变换 (Laplace) (或称为 )(tf 的象函数 )函数 )(tf 称为 )(PF 的 拉氏逆变换 （或称为 )(PF 象原函数），记作 )()(1 tfPFL ，即 )(

3、)( 1 PFLtf 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： (1) 在定义中，只要求 )(tf 在 0t 时有定义为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在 0t 时， 0)( tf （ 2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数 P 是在复数范围内取值为了方便起见，本章我们把 P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用 （ 3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的 例 7-1 求一次函数 attf )( （ at ，0 为常数）的拉氏变换 解 0000 )( dtepaepatetdpad

4、tateatL ptptptpt2020 0 paepadtepa ptpt )0( p 7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为 零的电路中，某一瞬时 (设为 0t )进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流 )(ti ，以 )(tQ 表示上述电路中的电量，则 .0,1 ,0,0)( tttQ 由于电流强度是电量对时间的变化率，即 t tQttQdt tdQti t )()(l i m)()( 0 ， 所以，当 0t 时， 0)( ti ；当 0t 时， )1(l i m)0()0(l i m)0( 0

5、0 tt QtQi tt 上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度为此，引进一个新的函数，这个函数称为 狄拉克函数 定义 设 tttt，00100)(，当 0 时， )(t 的极限 )(lim)( 0 tt 称为 狄拉克（ Dirac）函数，简称为 函数 当 0t 时， )(t 的值为 0 ；当 0t 时， )(t 的值为无穷大，即 0, 0,0)( ttt )(t和 )(t 的图形如图 7-1 和图 7-2 所示 显然，对任何 0 ，有 11)( 0 dtdtt ，所以 1)( dtt 工程技术中，常将 函数称为 单位脉冲函数 ，有些工程书上，将 函数用一

6、个长度等于 1 的有向线段来表示（如图 7-2 所示），这个线 段的长度表示 函数的积分，叫做 函数的强度 例 7-2 求 )(t 的拉氏变换 解 根据拉氏变换的定义，有 dtedtedtedtettL ptptptpt 0000 00 1l i m0l i m)1l i m()()( 11l i m1)( )1(l i m11l i m11l i m 00000 ppppt pepepeppe ， 即 1)( tL 例 7-3 求 单位阶梯函数 0,1 0,0)( tttu的拉氏变换 解 pepdtedtetutuL ptptpt111)()( 000 ， )0( p 例 7-4 求指数函数

7、 atetf )( （ a 为常数）的拉氏变换 解 dtedteeeL tapptatat 0 )(0 )(1 apap ，即 )(1 apapeL at 类似可得 )0( s i n 22 pptL ； )0( c o s 22 ppptL 习题 7 1 求 1-4题中函数的拉氏变换 1 tetf 4)( 2 2)( ttf 3 attetf )( 4 ，()s in ()( ttf 是常数） 7.2 拉氏变换的性质 拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换 性质 1 (线性性质 ) 若 1a ， 2a 是常数，且 )()( 11 pFtfL ， )()(

8、 22 pFtfL ，则 )()()()( 22112211 tfLatfLatfatfaL )()( 2211 pFaPFa （ 7-2） 证明 dtetfadtetfadtetfatfatfatfaL ptptpt )()()()()()( 0 220 11221102211)()()()( 22112211 pFapFatfLatfLa 例 7-5 求下列函数的拉氏变换： （ 1） )1(1)( ateatf ； （ 2） tttf cossin)( 解 （ 1 ）)( 11111111)1(1 appappaeLLaeLaeaL atatat （ 2） 4122212s i n21c

9、o ss i n 222 pptLttL 性质 2（平移性质） 若 )()( pFtfL ，则 )()( apFtfeL at （ a 为常数） （ 7-3） 证明 0 )(0 )()()()( apFdtetfdtetfetfeL tapptatat 位移性质表明：象原函数乘以 ate 等于其象函数左右平移 a 个单位 例 7-6 求 atteL ， sin teL at 和 cos teL at 解 因为 21 ptL ， 22s in ptL， 22cos pptL，由位移性质即得 。，22222)(c o s)(s i n)(1apapteLapteLapteLatatat性质 3（滞

10、后性质） 若 )()( pFtfL ，则 )()( pFeatfL ap )0( a （ 7-4） 证明 dteatfatfL pt 0 )()( = dteatfdteatf a pta pt )()(0 ，在拉氏变换的定义说明中已指出，当 0t 时， 0)( tf 因此，对于函数 )( atf ，当0at （即 at ）时， 0)( atf ，所以上式右端的第一个积分为 0 ，对于第二个积分，令 at ，则 )()()()( 00 )( pFedefedefatfL appapap 滞后性质指出：象函数乘以 ape 等于其象原函数的图形沿 t 轴向右平移 a 个单位（如图 7-3所示） 由

11、于函数 )( atf 是当 at 时才有非零数值故与 )(tf 相比，在时间上滞后了一个 a值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在 )( atf 这个函数上再乘 )( atu ，所以滞后性质也表示为 )()()( pFeatfatuL ap 例 7-7 求 )( atuL 解 因为 )( tuL p1，由滞后性质得 peatuL ap1)( 例 7-8 求 )( )( tueL ta 解 因为 apeL at 1，所以 )(1)( )( apapetueL pta ， 例 7-9 求下列函数的拉氏变换： （ 1） ., ,0,)(21 tac atc

12、tf（ 2） .4,0,42,1,20,3)(ttttf解 （ 1）由图 7-4 容易看出，当 at 时， )(tf 的值是在 1c 的基础上加上了（ 12 cc ），即 )()( 12 atucc 故可把 )(tf 写成 )()()()( 121 atucctuctf ，于是 p ecccep ccpctfLpapa )()( 121121 （ 2）仿（ 1），把 )(tf 写成 )4()2(4)(3)( tutututf ，于是 p eepepeptfLpppp 4242 4343)( 我们可以用拉氏变换定义来验算例 7-9所得的结果由例 7-9 看出，用单位阶梯函数可将分段函数的表达式合

13、写成一个式子 例 7-10 已知 atatacatcttf3,03,20,0,0)(，求 )( tfL 解：如图 7-5所示， )(tf 可用单位阶梯函数表示为 )3(2)()()( atcuatcutcutf ，于是 )3(2)()()( atcuatcutcuLtfL )21(2 33 apapapap eepcepcepcpc ， 由拉氏变换定义来验证： a aa ptpt dtcedtcetfL 0 3 2)( )21()221( 33 apapapapap eepceeepc 性质 4（微分性质） 若 )()( pFtfL ，并设 )(tf 在 0， + 上连续， )(tf 为分段连

14、续，则 )0()()( fppFtfL (7-5) 证明 由拉氏变换定义及分部积分法，得 dtetftfL pt 0 )()( 00 )()( dtetfPetf ptpt ， 可以证明，在 )( tfL 存在的条件下，必有 0)(lim ptt etf 因此， )0()()()0(0)( fppFtfpLftfL 微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数 p ，再减去函数的初始值 应用上述结果，对二阶导数可以推得 )0()0()()0()0()()0()()( 2 fpfpFpffppFpftfpLtfL 同理，可得 )0()0()0()()( 23 ffpfpp

15、FptfL 以此类推，可得 )0()0()0()()( )1(21)( nnnnn ffpfppFptfL （ 7-6） 由此可见， )(tf 各阶导数的拉氏变换可以由 p 的乘方与象函数 )(pF 的代数式表示出来特别是当初值 0)0()0()0()0( )1( nffff 时，有更简单的结果 ),2,1()()( )( npFptfL nn ， （ 7-7） 利用这个性质，可将 )(tf 的微分方程转化为 )(pF 的代数方程 例 7-11 利用微分性质求 sin tL 和 cos tL 解 令 ttf sin)( ，则 ttfff s i n)()0(0)0( 2 ， ，由 7-6式，得

16、 )(s in 2 tfLtL )0()0()(2 fpftfLp ， 即 s i ns i n 22 tLptL ， 移项化简得 22sin ptL 利用上述结果， )(s in1co s tt 及（ 7-5）式，可得 )(s in1c o s tLtL 0s i ns i n1)( s i n1 tpLtL 2222 01 p ppp 性质 5（积分性质） 若 )()( pFtfL )0( p ，且设 )(tf 连续，则 t ppFdxxfL 0 )()( （ 7-8） 证明 令 t dxxft0 )()( ，显见 0)0( ，且因 )()( tft ，由微分性质，得 )0()()( tp

17、LtL ，而 )()()( pFtfLtL ，所以有 )()()( 0 t dxxfpLtpLpF ，即 )(1)( 0 pFpdxxfL t 积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数 p 例 7-12 求 ntL （ n 是正整数） 解 因为 ttt dxxtxd xtdxt0 23020 321 ， ， t nn dxnxt0 1 ，所以由（ 7-8）式即得 ,!333,!222,!11142023302210pptLdxxLtLpptLxd xLtLpppLdxLtLttpt 一般地，有 1101 ! nnt nn p nptnLdtxnLtL 性质 6 若

18、 )()( pFtfL ，则 0a 时 )(1)( apFaatfL （ 7-9） 性质 7 若 )()( pFtfL ，则 )()1()( )( pFtftL nnn （ 7-10） 性质 8 若 )()( pFtfL ，且 ttft )(lim0 存在，则 p dppFttfL )()( （ 7-11） 例 7-13 求 sin ttL 解 因为 22sin ptL，由（ 7-10）式可得 22222 )( 2)()1(s i n p ppdpdttL 例 7-14 求 sin ttL 解 因为 11sin 2 ptL，而且 1sinlim0 t tt ，所以由（ 7-11）式可得 pa

19、r c tgpa r c tgdppt tL p p 2|11s i n 2 即 pa r ct gdtet t pt 2s i n0因此，当 0p 时，得到一个广义积分的值 0 2sin dtt t 这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的 现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下： 表 7-1 拉氏变换的性质 序号 设 )()( pFtfL 1 )()()()( 22112211 tfLatfLatfatfaL 2 )()( apFtfeL at 3 )()()( pFeatuatfL ap (a0) 4 )0()()( fppFtfL )0()0()()

20、( 21)( fpfppFptfL nnnn )0()1( nf 5 t ppFdxxfL0)()(6 )(1)( apFaatfL （ a0） 7 )()1()( )( pFtftL nnn 8 p dppFttfL )()( 表 7-2 常用函数的拉斯变换表 序号 )(tf )(pF 1 )(t 1 2 )(tu p13 t 21p 4 ,.)2,1( ntn 1!npn 5 ate ap1 6 ate1 )( app a 7 atte 2)( 1ap 8 ),2,1( net atn 1)( ! nap n 9 tsin 22 p 10 tcos 22 p p 11 )sin( t 22

21、 cossin pp 12 )cos( t 22 sincos pp 13 tt sin 222 )( 2 p p 14 ttt cossin 2223)( 2 p 15 tt cos 22222)( pp 16 te at sin 22)( ap 17 teat cos 22)( ap ap 18 )cos1(12 ata )(1 22 app 19 btat ee )( bpap ba 20 t2 pp1 21 t1 p1 习题 7-2 求 5-12题中函数的拉氏变换 5 te43 6 tt cos32sin5 7 tt 2cos2sin 8 t3sin 9 )(tf .4,1,40,1

22、t t10 )(tf .,0,sin tt tt11 )(tf .4,0,42,1,20,0ttt12 )(tf atnet 7.3 拉氏变换的逆运算 前面我们主要讨论了怎样由已知函数 )(tf 求它的象函数 )(pF 的问题运算法的另一面是已知象函数 )(pF 要求它的象原函数 )(tf ，这就是拉斯逆变换问题 同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出 性质 1 （ 线 性 性 质 ） )()( 22111 pFapFaL )()()()( 2211212111 tfatfapFLapFLa 性质 2（平移性质） )()()( 11 tfepFLeapFL atat 性质 3（滞后性质

23、） )()()(1 atuatfpFeL ap 例 7-15 求下列象函数的逆变换： （ 1） 31)( ppF； （ 2） 3)2(1)( ppF； （ 3） 252)( pppF ； （ 4） 434)( 2 pppF 解 （ 1）将 3a 代入表二（ 5），得 tepLtf 31 31)( （ 2）由性质及表二（ 4），得 ttt etPLepLepLtf 2231231231 21!221)2( 1)( （ 3）由性质及表二（ 2）、（ 3），得 tpLpLppLtf 52151252)( 21121 （ 4）由性质及表二（ 9）、（ 10），得 ttpLp pLp pLtf 2s i

24、 n232c o s4422344434)( 212121 例 7-16 求 5232)( 2 pp ppF的逆变换 解 4)1(5)1(252 32)( 2121 p pLpp pLtf4)1(2254)1( 12 2121 pLp pL422542 2121 pLep pLe tt2s i n252c o s22s i n252c o s2 ttetete ttt 在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数 例 7-17 求 659)( 2 pp ppF的逆变换 解 先将 )(pF 分解为两个最简分式之和：