1、 1 第一章 直角三角形的边角关系 第 1 课时 1.1.1 锐角三角函数 教学目标 1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。 师生共同研究形成 概念 1、 梯子的倾斜程度 在很多建筑物里，为了达到美观
2、等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的 倾斜角的正切。 1） （ 重点讲解 ）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画 梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、 想一想（比值不变） 想一想 书本 P 2
3、 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。 这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关 。 3、 正切函数 （ 1） 明确各边的名称 （ 2） 的邻边的对边AAA tan（ 3） 明确要求： 1）必须是直角三角形； 2）是 A 的对边与 A 的邻边的比值。 巩固练习 a、 如图，在 ACB 中， C = 90， 1） tanA = ； tanB = ； AB CABC A 的对边 A 的邻边斜边ABC2 2） 若 AC = 4， BC = 3，则 tanA = ； tanB = ； 3
4、） 若 AC = 8， AB = 10，则 tanA = ； tanB = ； b、 如图，在 ACB 中， tanA = 。（ 不是直角三角形 ） （ 4） tanA 的值越大，梯子越陡 4、 讲解例题 例 1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。 例 2 如图，在 ACB 中， C = 90， AC = 6， 43tan B ，求 BC、 AB的长。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。 随堂练习 5、 书本 P 4 随堂练习 小结 正切函数的定义。 作业 书本 P4 习题 1.1 1、 2、 4。 8m
5、5m5m13mAB C3 第 2 课时 1.1.2 锐角三角函数 教学目标 5、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 6、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 7、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 8、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学 重点和难点 重点：理解正弦、余弦函数的定义 难点：理解正弦、余弦函数的定义 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题 上一节课，我们研究了正切函数，这节课，我们继续研究其它的两个函数。 复习正切函数 师生共同研究形成概念 6、 引入 书本 P 7 顶 7、 正弦、余弦函数 斜边的对边AA sin，斜边的邻
6、边AA cos 巩固练习 c、 如图，在 ACB 中， C = 90， 1） sinA = ； cosA = ； sinB = ； cosB = ； 2） 若 AC = 4， BC = 3，则 sinA = ； cosA = ； 3） 若 AC = 8， AB = 10，则 sinA = ； cosB = ； d、 如图，在 ACB 中， sinA = 。（ 不是直角三角形 ） 8、 三角函数 锐角 A 的正切、正弦、余弦都是 A 的三角函数。 9、 梯子的倾斜程度 sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越大，梯子越陡 10、 讲解例题 例 3 如图，在 Rt ABC 中， B = 9
7、0， AC = 200， 6.0sin A ，求 BC 的长。 分析：本例是利用正弦的定义求对边的长。 例 4 如图，在 Rt ABC 中， C = 90， AC = 10， 1312cos A ，求 AB 的长及 sinB。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。 随堂练习 11、 书本 P 随堂练习 小结 正弦、余弦函数的定义。 作业 书本 P 6 习题 1、 2、 3、 4、 5 ABC A 的对边 A 的邻边斜边ABCAB CA BCABC4 第 3 课时 1. 2 30、 45、 60角的三角函数值 教学目标 9、 经历探索 30、 45、 60角的三角函数值的过程，能够进行有关
8、推理 ，进一步体会三角函数的意义 10、 能够进行含有 30、 45、 60角的三角函数值的计算 11、 能够根据 30、 45、 60角的三角函数值，说出相应的锐角的大小 教学重点和难点 重点： 进行含有 30、 45、 60角的三角函数值的计算 难点：记住 30、 45、 60角的三角函数值 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题 上两节课，我们研究了正切、正弦、余弦函数，这节课，我们继续研究特殊角的三角函数值。 师生共同研究形成概念 12、 引入 书本 P 8 引入 本节利用三角函数的定义求 30、 45、 60角的三角函数值， 并利用这些值进行一些简单计算。 13、 30、 45、
9、 60角的三角函数值 通过与学生一起推导，让学生真正理解特殊角的三角函数值。 度数 sin cos tan 30 21 23 33 45 22 22 1 60 23 213 要求学生在理解的基础上记忆，切忌死记硬背。 14、 讲解例题 例 5 计算：（ 1） sin30 + cos45； （ 2） 30cos31 ； ABCAB C5 （ 3） 45cos60sin 45sin30cos； （ 4） 45t a n45c o s60s i n 22 。 分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解。 例 6 填空：（ 1）已知 A 是锐角，且 cosA = 21，则 A = ， sinA = ； （
10、 2）已知 B 是锐角，且 2cosA = 1，则 B = ； （ 3）已知 A 是锐角，且 3tanA 3 = 0，则 A = ； 例 7 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。 分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。 例 8 在 Rt ABC 中， C = 90， ca 32 ，求 ca ， B、 A。 分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数值，再确定角的大小。 随堂练习 15、 书本 P 9 随堂练习 小结 要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值，切忌死记
11、硬背。 作业 书本 P 9 习题 1.3 1、 2、 3、 4、 AB COD6 1.3三角函数的有关计算 教学目标： 1、经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程 ，进一步体会三角函数的意义 2、能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题 教学重点 1经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义 2能够利用计算器进行有关三角函数值的计算 教学难点 把实际问题转化为数学问题 教学过程： 一、导入新课 生活中有许多问题要运用数学知识解决。本节课我们共同探讨运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 1.3、三角函数的有关计算 二、讲授新课 引入问题 1： 会当凌绝
12、顶，一览众山小，是每个登山者的心愿。在很多旅游景点，为了 方便游客，设立了登山缆车。 如图，当登山缆车的吊箱经过点 A到达点 B时，它走过了 200m，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角030 。 那么缆车垂直上升的距离是多少 ? 分析： 在 Rt ABC中， 30， AB=200 米，需求出 BC. 根据正弦的定义， sin30 = 200BCABBC , BC ABsin30 200 21 =100(米 ). 引入问题 2： 当缆车继续由点 B到达点 D时，它又走过了 200 m，缆车由点 B到点 D的行驶路线与水平面的夹角是 45，由此你能想到还能计算什么 ? 分析：有如下几种解决方案：
13、方案一：可以计算缆车从 B点到 D点垂直上升的高度 . 方案二：可以计算缆车从 A 点到 D 点，垂直上升的高度、水平移动的距离 . 三、变式训练，熟练技能 1、一个人从山底爬到山顶，需先爬 40的山坡 300 m，再爬 30的山坡 100 m，求山高 .( sin40 0.6428，结果精确到 0.01 m) 解： 如图，根据题意，可知 BC=300 m， BA=100 m， C=40， ABF=30 . 在 Rt CBD中， BD=BCsin40 300 0.6428 192.84(m)； 在 Rt ABF中， AF=ABsin30 =100 21 =50(m). 所以山高 AE=AF+B
14、D 192.8+50 242.8(m). 7 2、 求图中避雷针的长度 。（参考数据： tan56 1.4826， tan50 1.1918) 解： 如图，根据题意，可知 AB=20m， CAB=50， DAB=56 在 Rt DBA中， DB=ABtan56 20 1.4826 29.652(m)； 在 Rt CBA中， CB=ABtan50 20 1.1918=23.836(m). 所以 避雷针的长度 DC=DB-CB 29.652-23.836 5.82(m). 四、 合作探究 随着人民生活水平的提高， 农用小轿车越来越多，为了交 通安全，某市政府要修建 10m 高的天桥，为了方便行人推
15、车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道 (如图所示 )。 这条斜道的倾斜角是多少？ 探究 1：在 Rt ABC中， BC m， AC m， sinA 探究 2：已知 sinA的值，如何求出 A的大小？ 请阅读以下内容，学会用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小 已知三角函数求角度，要用到 sin、 cos、 tan 键的第二功能“ sin 1， cos 1， tan 1”和 2ndf 键 探究 3：你能求出上图中 A 的大小吗？ 解： sinA 41 （化为小数）， 三、巩固训练 1、如图，工件上有一 V形槽，测得它的上口宽 20mm，深 19.2mm，求 V形角 ( ACB)的大小 (结
16、果精确到 1 ) 2、 如图 ，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤已知肿瘤在皮下 6.3cm 的 A处，射线从肿瘤右侧 9.8cm 的 B处进入身体，求射线的入射角度 3、某段公路每前进 1000 米，路面就升高 50 米，求这段公路的坡角 4、一梯子斜靠在一面墙上已知梯长 4m，梯子位于地面上的一端离墙壁 2.5m，求梯子与地面所成的锐角 五、随堂练习： P,14 1、 2、 3、 4、 六、作业： p15 1 至 6题 8 1.4解直角三角形 一 、教学目标 1.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五个
17、元素的关系。 2.通过综合运用勾股定理，掌握解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力 . 3渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯 二 、教学重点及难点 教学重点：掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形 教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用 三 、教学用具准备 黑板、多媒体设备 . 四 、教学过程设计 一、创设情景 引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中倒下，树干断处离地面 3 米且树干与地面的夹角是 30 。大树在折断之前高多少米？ 由 30 直角边等于斜边的一半就可得 AB=6 米。分析树高是 AB+AC=9 米。由勾股定理容易得出 BC 的长为 3 米。当然对
18、于特殊锐角的解题用几何定理比较简单，也可以用锐角三角函数来解此题。 二、知识回顾 问题： 1在一个三角形中共有几条边？几个内角 ?（引出 “ 元素 ” 这个词语） 2直角三角形 ABC 中， C=90 ， a、 b、 c、 A 、 B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ 讨论复习 师白： RtABC 的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？ 总结：直角三角形的边、角关系（板书） (PPT) (1)两锐角互余 A B 90 ； (2)三边满足勾股定理 a2 b2 c2； (3)边与角关系 三、学习新课 、例题分析 例题 1 在 RtABC 中， C=90 0， B=38 0， a=8，求这个直角三
19、角形的其它边和角 . 分析：如图，本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切 . （板书）解： C=90 0 A +B=90 0 A=90 0 B=90 0 380=520 cosB= c = = tanB= b=atanB=8tan38 0 6.250 另解 ： cotB= b= 注意 :在解直角三角形的过程中 ,常会遇到近似计算 ,除特别说明外 ,边长保留四个有效数字 . .学习概念 定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三
20、角形 . 例题分析 9 例题 2 在 RtABC 中， C=90 0， c=7.34， a=5.28，解这个直角三角形 . 分析：本题如图，已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用 间接数据求出误差较大的结论 . （板书）解： C=90 0， a 2 b2 c2 b= sinA= A 460 0 B=90 0 A90 0 460 0=44 0 0. 例题 3（见教材 p16） 注意 :在解直角三角形的过程中 ,常会遇到近似计算 ,除特别说明外 ,边长保留四个有效数字 ,角度精确到 1 。 4、学会归纳 通过上述解题，
21、思考对于一个直角三角形 ,除直角外的五个元素中 ,至少需要知道几 个元素 ,才能求出其他元素？ 想一想：如果知道两个锐角，能够全部求出其他元素吗？如果只知道五个元素中的一个元素 ,能 够全部求出其他元素吗 ? 归纳结论：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个元素 . 说明 我们已掌握 RtABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素 (至少有一个是边 )后，就可求出其余的元素这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情 5、请找出题中的错误
22、，并改正 已知 :如图，在 RtABC 中 , C=90, 由下列条件 ,解直角三角形 :(结果保留根号 ) 10 1.5三角函数的应用 教学目标 ： 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用 . 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明 . 教学重点 ： 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用 . 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力 . 教学难点： 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图 . 教学用具：小黑板 三角板 教学方法： 探索 发现法 教学过程
23、一、问题引入： 海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁 .今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55 的 B 处，往东行驶 20 海里后，到达该岛的南偏西 25 的 C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 ?你是如何想的 ?与同伴进行交流 . 二、解决问题： 1、如图，小明想测量塔 CD的高度 .他在 A处仰望塔顶，测得仰角为 30 ，再往塔的方向前进 50m 至 B 处 .测得仰角为 60. 那么该塔有多高 ?(小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m) 2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由 40 减至35 ，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面 ?(结果精确到 0.0l m) 【作业设计】 1.如图，一灯柱 AB被一钢缆 CD固定， CD与地面成 40夹角，且 DB 5 m，现再在 C 点上方 2m处加固另一条钢缆 ED，那么钢缆 ED的长度为多少 ?
