1、 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家 .www.TopS 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量 X 叫做一个随机变量随机变量常用大写字母,XY 表示 如果随机变 量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 X 为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量 X 所有可能的取值 ix 与该取值对应的概率 ip ( 1, 2, , )in 列表表示： X 1x 2x ix nx P 1p 2p ip np 我们称这个表为离散型随机变量 X 的概率分布
2、，或称为离散型随机变量 X 的分布列 2几类典型的随机分布 两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中 01p， 1qp ，则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 1 ，不合格记为 0 ，已知产品的合格率为 80% ，随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果，则 X 的分布列满足二点分布 X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称 01 分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布 超几何分布 一般地，设有总数为 N 件的两类物品，其中一类有 M 件，从所有物品中任取
3、n 件 ()nN ，这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量，它取值为 m 时的概率为 CC() Cm n mM N MnNP X m (0 ml ， l 为 n 和 M 中较小的一个 ) 我们称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称 X 服从参数为 N ，M ， n 的超几何分布在超几何分布中，只要知道 N ， M 和 n ，就可以根据公式求出 X取不同值时的概率 ()PX m ，从而列出 X 的分布列 知识内容 数学期望 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家 .www.TopS 二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果 A 及 A
4、 ，并且事件 A 发生的概率相同在相同的条件下，重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为 n 次独立重复试验 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为( ) C (1 )k k n knnP k p p ( 0 , 1, 2 , , )kn 2二项分布 若将事件 A 发生的次数设为 X ，事件 A 不发生的概率为 1qp ，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率是 ( ) Ck k n knP X k p q ，其中 0, 1, 2, ,kn 于是得到 X 的分布列 X 0 1 k n P 00C nnpq 1 1 1C nnpq
5、 Ck k n kn pq 0Cnnnpq 由于表中的第二行恰好是二项展开式0 0 1 1 1 0( ) C C C Cn n n k k n k n nn n n nq p p q p q p q p q 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布， 记作 ( , )X Bn p 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，则 ()EX np ， ()Dx npq ( 1 )qp 正态分布 1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数
6、据看作随机变量 X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是 1 ，而随机变量 X 落在指定的两个数 ab， 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22()21() 2 xf x e ，xR ，其中 ， 是参数，且 0 ， 式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差期望为 、标
7、准差为 的正态分布通常记作 2( , )N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为 0 ，标准差为 1 的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间 ( , ) ， ( 2 , 2 ) ， ( 3 , 3 ) 内，取值的概率分别是 68.3% ， 95.4% ， 99.7% 正态变量在 () ， 内的取值的概率为 1 ，在区间 ( 3 3 ) ， 之外的取值的概率是 0.3% ，故正态变量的取值几乎都在距 x 三倍标准差之内，这就是正态分布的 3 原x=Oyx大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家 .www.TopS 则 若 2 ( )N ， ，
8、()fx为其概率密度函数，则称 ( ) ( ) ( )xF x P x f t dt为概率分布函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 221()2 txx e dt 为标准正态分布函数 ( ) ( )xPx 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量 X 所有可能的取的值是 1x ， 2x ， ， nx ，这些值对应的概率是 1p ， 2p ， ， np ，则 1 1 2 2() nnE x x p x p x p ，叫做这个离散型随机变量
9、 X 的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量 X 所有可能取 的值是 1x ， 2x ， ， nx ，这些值对应的概率是 1p ， 2p ， ， np ，则 2 2 21 1 2 2( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )nnD X x E x p x E x p x E x p 叫做这个离散型随机变量 X 的方差 离 散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度） ()DX 的算术平方根 ()Dx 叫做离散型随机变量 X 的标准差，它也是
10、一个衡量离散型随机变量波动大小的量 3 X 为随机变量， ab， 为常数，则 2( ) ( ) ( ) ( )E a X b a E X b D a X b a D X ，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量 X 的期望取值为 p ，在 n 次二点分布试验中，离散型随机变量 X 的期望取值为 np 二项分布：若离散型随机变量 X 服从参数 为 n 和 p 的二项分布，则 ()EX np ，()Dx npq ( 1 )qp 超几何分布：若离散型随机变量 X 服从参数为 N M n， ， 的超几何分布， 则 ()nMEXN，2( ) ( )() ( 1)n
11、 N n N M MDX NN 4事件的独立性 如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，即 ( | ) ( )P B A P B ， 这时，我们称两个事件 A ， B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1A ， 2A ， ， nA 相互独立，那么这 n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )nnP A A A P A P A P A ，并且上式中任意多个事件 iA 换成其对立事件后等式仍成立 5条件概率 对于任何两个事件 A 和 B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号
12、 “ ( | )PBA ”来表示把由事件 A 与 B 的交（或积），记做 D A B （或 D AB ） 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家 .www.TopS 【例 1】 投掷 1 枚骰子的点数为 ，则 的数学期望为（ ） A 3 B 3.5 C 4 D 4.5 【例 2】 同时抛掷 4 枚均匀硬币 80 次，设 4 枚硬币正好出现 2 枚正面向上， 2 枚反面向上的次数为 ，则 的数学期望是（ ） A 20 B 25 C 30 D 40 【例 3】 从 1 2 3 4 5 6， ， ， ， ， 这 6 个数中任取两个，则两数之积的数学期望为 【例 4】 一射手对靶射击，直到第一次命中
13、为止，每次命中率为 0.6 ，现共有 4 颗子弹，命中后尚余子弹数目 的期望为（ ） A 2.4 B 3.376 C 2.376 D 2.4 【例 5】 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ，得 2 分的概率为 b ，不得分的概率为 c （ a 、 b 、 01c ， ），已知他投篮一次得分的数学期望为 2（不计其它得分情况），则 ab 的最大值为（ ） A 148B 124C 112D 16【例 6】 一家保险公司在投保的 50 万元的人寿保险的保单中，估计每一千保单每年有15 个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期望值为 200 元，试求每一保单的保费 【例 7】 甲乙两人独
14、立解出某一道数学题的概率依次为 1 2 1 2()P P P P， ，已知该题被甲或乙解出的概率为 0.8 ，甲乙两人同时解出该题的概率为 0.3 ，求： 12PP， ； 解出该题的人数 X 的分布列及 EX 典例分析 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家 .www.TopS 【例 8】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是 12，且面试是否合格互不影响求 签约人数 的数学期望 【例 9】 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统
15、计结果如下表所示： 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率； 已知每吨该商品的销售利润为 2 千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望 【例 10】 某项考试按科目 A 、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目 B 的考 试已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 23，大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家 .www.TopS 科目
16、B 每次考试成绩合格的概率均为 12假设各次考试成绩合格与否均互不影响在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的数学期望 E 【例 11】 某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为 0）的概率为 0.1 ，飞镖落在靶内的各个点是椭机的已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm 、 20cm 、 10cm ，飞镖落在不同区域的环数如图中标示设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量 X ，求 X 的分布列及数学期望 1098【例 12】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2
17、 0.2 0.1 0.1 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家 .www.TopS 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润 求事件 A ： “购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款 ”的概率 ()PA； 求 的分布列及期望 E 【例 13】 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有 2 人，会跳舞的有 5 人，现从中选 2 人设 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且7( 0) 10P 求 文娱队的人数； 写出 的
18、概率分布列并计算期望 【例 14】 一接待中心有 A 、 B 、 C 、 D 四部热线电话已知某一时刻电话 A 、 B 占线的概率为 0.5 ，电话 C 、 D 占线的概率为 0.4 ，各部电话是否占线相互之间没有影响假设该时刻有 X 部电话占线，试求随机变量 X 的概率分布和它的期望 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家 .www.TopS 【例 15】 某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4 0.5 0.6， ， ，且客人是否游览哪个景点互不影响，设 X 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值求 X 的分布及数学期望 【例
19、16】 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 45、 35、 25，且各轮问题能否正确回答互不影响 求该选手被淘汰的概率； 该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 （注：本小题结果可用分数表示） 【例 17】 在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为 0.4 ， 0.5 ， 0.8 ，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响 求甲、乙、丙三人均达标的概率； 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家 .www.TopS 求甲、乙、丙三人中 至少一人达标的概率
20、 ； 设 X 表示 测试结束后达标人 数与没 达标人 数之差的绝对值，求 X 的概率分布及数学期望 EX 【例 18】 在 1， 2， 3， ， 9 这 9 个自然数中，任取 3 个数 求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率； 设 为这 3 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 1， 2， 3，则有两组相邻的数 1， 2 和 2， 3，此时 的值是 2）求随机变量 的分布列及其数学期望 E 【例 19】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设甲面试合格的概率为 12，乙、丙面试合格的
21、概率都是 13，且面试是否合格互不影响求： 至少有 1 人面试合格的概率； 签约人数 X 的分布列和数学期望 【例 20】 某公司 “咨询热线 ”电话共有 8 路外线，经长期统计发现，在 8 点到 10 点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示： 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家 .www.TopS 电话同时打入个数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 概率 P 0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01 0 0 若这段时间内，公司只安排了 2 位接线员（一个接 线员一次只能接一个电话） 求至少一种电话不能一次接通的概率； 在一周五个工作日中，如果至少有三
22、个工作日的这段时间（ 8 点至 10 点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用该事件的概率表示公司形象的 “损害度 ”，求上述情况下公司形象的 “损害度 ” 求一周五个工作日的这段 时间（ 8 点至 10 点）内，电 话同时打入数 的期望 【例 21】 某先生居住在城镇的 A 处，准备开车到单位 B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图（ 例如： A C D算作两个路段：路段 AC 发生堵车事件的概率为 110，路段 CD 发生堵车事件的概率为 115）记路 线 A C F B 中遇到堵车次数为随机变量 X ，求 X 的数学期望 ()EX 320112115110FEDCBA【例 22】 口袋里装有大小相同的 4 个红球和 8 个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续 下一次
