1、培优讲义专题：二次函数与三角形综合1.与等腰三角形综合例 1 如图，抛物线 y=ax2-5ax+4 经过ABC 的三个顶点，已知 BCx 轴，点 A在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC（1）求抛物线的对称轴；（2）写出 A，B，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，是否存在PAB 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由例 2 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0 ，2 ） ，点 C（-1 ，0 ） ，如图所示：抛物线 y=ax2+a
2、x-2 经过点 B（1 ）求点 B 的坐标；（2 ）求抛物线的解析式；（3 ）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由培优讲义2.与直角三角形综合例 3 如图，已知直线 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 与直线交12yx 21yxbc于 A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为（1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）动点 P 在 x 轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标；（3）若点 Q 在抛物线上，且CEQ 为直角三角形，请直接写
3、出 Q 的坐标；（4）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AM-MC|的值最大，求出点 M 的坐标例 4 如图（1） ，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线 y=ax2+8ax+16a+6 经过点 B（0，4） （1 ）求抛物线的解析式；（2 ）设抛物线的顶点为 D，过点 D、B 作直线交 x 轴于点 A，点 C 在抛物线的对称轴上，且 C 点的纵坐标为-4，连接 BC、AC 求证： ABC 是等腰直角三角形；（3 ）在（2 ）的条件下，将直线 DB 沿 y 轴向下平移，平移后的直线记为 l，直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，是否存在直线 l，使 ABC 是直角三角形，若存
4、在求出 l 的解析式，若不存在，请说明理由培优讲义3.与相似三角形综合例5 已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为 C（1，-2） ，直线 y=kx+m 的图象与该二次函数的图象交于A、B 两点，其中 A 点坐标为（3，0） ，B 点在 y 轴上点 P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与点 A、B 不重合） ，过点 P 且垂直于 x 轴的直线与这个二次函数的图象交于点E（1 ）求这个二次函数的解析式；（2 ）设点 P 的横坐标为 x，求线段 PE 的长（用含 x 的代数式表示） ；（3 ）点 D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E 、D 为顶点的三角形与 AOB 相似
5、，请求出 P 点的坐标例6 已知：如图，抛物线 y=ax2+bx-2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，OC=OA，ABC 的面积为 2（1）求抛物线的解析式；（2） 若平行于 x 轴的动直线 DE 从点 C 开始，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y轴、线段 BC 于点 E、点 D，同时动点 P 从点 B 出发，在线段 OB 上 以每秒 2 个单位的速度向原点 O 运动当点 P 运动到点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动连接 DP，设点 P 的运动时间为 t 秒当 t 为何值时， 的值最小，并求出最小值；1是否存在 t 的值，使以 P，B，D 为顶
6、点的三角形与ABC 相似若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由培优讲义4.与全等三角形综合例 7 如图所示，抛物线 的顶点为 A，直线 l： 2()yxm3yxm与 y 轴的交点为 B，其中 m 0(1)写出抛物线对称轴及顶点 A 的坐标( 用含 m 的代数式表示)；(2)证明点 A 在直线 l 上，并求 OAB 的度数；(3)动点 Q 在抛物线对称轴上，抛物线上是否存在点 P，使以 P，Q，A 为顶点的三角形与OAB 全等？若存在，求出 m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由 【技巧】与等腰三角形，直角三角形综合【技巧】与相似三角形，全等三角形综合培优讲义专题：二次函数与距离，角度的综合专题：二次函数与四边形，面积的综合
