1、从 Apollonius 圆到极线三角形我们知道，到一点的距离为定长的点的轨迹是圆，到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线，那么到两定点距离之比为定值的点的轨迹是什么呢？求到两点距离之比为定值的点的轨迹。 （为方便，我们设比值为 2.）我们可以用解析法做：设各点坐标如下 则(,0)(,)AcBPxy2,AB，这点的轨迹为圆心为22()(),xcyxcy22543cxy的圆。54,03r我们当然也可以用几何法解。如图，设 则我们首先在 AB 直线上确定满足此条件2,APB的点，显然内部外部各有一点满足条件 然后设 P 点为轨迹上一点，则连12,接 ,由
2、知 分别为 中 P 的内外角平分线，显然12P12,APB12,AB，即 P 点的轨迹为以 为直径的圆。如图所示。1212一般的，到两定点距离之比为定值 k（ ）的点的轨迹为圆，我们称为0且Apolonius 圆，为古希腊数学家 Apolonius 最先提出并解决。他在许多问题中有重要应用。例 1如图，过圆 O 外一点 P 作其切线 PA、PB，OP 与圆和 AB 分别交于 I、M，DE 为过 M的任意弦。求证：I 为 内心。DEA分析：当然要用内心定义证明 I 为角分线交点。证法 1：由垂直和射影定理及相交弦定理有：EM*MD= =OM*MP，故 PDOE 四点共圆，2BM又 OD=OE，则
3、 ，即直线 PD、PE 关于PO 对称，则截弧相等，即 DI 平分 ，则PDEI 为 内心，证毕。PDEA证法 2：容易发现本题本质即为 Apollonius 圆。因为如下图所示，我们刚才已经证完到 AB 距离之比为定值的点的轨迹为 Apollonius 圆。显然当时，有 ，则 AP 为圆切B123线，因此本题中圆为阿氏圆，则 PI、EI 分别为内角平分线，即 I 为 内心。PDEA通过证法二说明发现问题的本质往往能轻而易举解决问题，而且还能更一步加深对问题的理解和把握。进一步，我们有过 M 的任意弦与 P 构成的三角形有共同的内心 I，反之呢？即若共一条角分线的两个三角形 PAB、PDE 共
4、内心 I，则四顶点 ADBE 共圆。由上面定理易得。如下图所示。顺便说一下，显然他们也共旁心。通过上例我们发现本定理的本质是一个比例关系式： 1APB21*OBA例 2.如图，圆 O内切圆 O 于 D，A 为大圆 O 上任一点，AB、AC 为圆 O 的弦，分别切圆O于 E、F，EF 交 AO于 I，求证 I 为 内心。BC证法一：先证明如下引理：如上图，两圆内切，则 ，这67是因为，做出两圆的公切线，则且 ，则45,123。67下面证明本结论，我们由例 1 的证明知 , 由此得2*ODIA23,1902，则 CFID 共圆，又 ,19034562 15BEDF,即 CI 为角平分线，则 I 为
5、 内心。72IDFBEAC AC证法二：利用点对圆的幂来计算。延长 AO交圆 O 于 P，设圆 O、O 半径为 R、r、 ，则222 2()*sin1rrOAPOIAIIP即 IP=2Rsin1=BP，则 I 为内心。ABC由证法二可以得到，本问题的逆命题依然成立，即过圆内接 内心 I 作AI 垂线交 AB、 AC 于E、F，则切 AB、AC 于E、F 的圆必然与其外接圆相切。证法与证法二一致。为了进一步认识本类问题的本质，下面我们引入调和点列的概念和基本性质。如例 1 图：对于同一直线上依次四点A BP，若满足1PA BP 构成调和点列。称 AB、 P 互相调和分割。由图知调和点列有如下1P
6、B1 1等价性质：1（O 为 中点）APB21*BA12P2. 123. A 的幂+B 的幂（因为 A 的幂+B22222()()ABPARPB的幂）如图，我们知道 PIMK 为调和点列，那么任意做一条割线 PQRS，是否有类似性质呢？答案是肯定的。这是因为 222PRMPARM=P 的幂-R 的幂()AO则 PQRS 为调和点列。当然，我们也能通过面积计算证明其为调和点列。证法如下： sinsinPQPAQBSSS=Bii证毕。R由此，我们知道对于定圆和平面上任意一点，对于此圆与 P 成调和点列的点 R 的轨迹为一条线，我们定义此直线为 P 点的极线。当点在圆外时，其极线为其切点弦。当点 R
7、 位于圆内部时，其极线为过 P 垂直于 OR 的直线。做圆外点的极线除了做切线外，还能通过做割线得到。 （因为切线为割线的特殊情况，因此不难理解。 ）如下图，过圆外一点 P 做割线 PAB、PCD ，E、F 为对角线交点，则 EF 即为 P 对圆 O 的极线。显然欲证结果，需证明 E 在 P 极线上，一般有两种方法：证法一作 AEB 外接圆交 PE 于 M，则 PE*PM=PA*PB=PC*PD，即 CDME 共圆（其实，P 为三圆根心。M 为 ABCD 密克点） ， 即 BOMD 共圆，则,BDAEBCOD,即 M 为弦中点由此即得 E 在 P 极线OTBT90O上。证法二：只需证 E 在
8、P 的切点弦上即可，如图，只需证 ST、AD、BC 三线共点，用塞瓦定理逆定理即可。ABT 中，欲证共线即证明 sinsinsin*1ASBDATCBT即 ，事实上 ,故成立。*1ASBDTCPSD类似的我们能证明 F 点也在此线上。下面我们证明一个射影几何中的重要结论：配极定理。如果一个点的极线通过另一个点，则另一个点的极线也通过此点。我们可以用几何方法证明，但是本题用解析法非常方便，本质。证明：设圆为单位圆，A（ ）, D（ ） ，设 D 在 A 的极线上。显然 A 极线方程为：1xy2,xy，因为 D 在其上，故 ，也就得到 A 在直线 ，也1xy21xy21xy即 A 在 D 的极线上
9、。证毕下面进一步研究上图，引入极线三角形。 ，如下图，设圆内接四边形 ABCD 对角线交于EFG，则 EFG 称为极线三角形。其中 EFGO 构成垂心组（即任意一点是其余三点的垂心）其实这个的证明，我们在上面已经完成了。下面提供一种新的证明。我们前面已经证明，由此即得2EG的 幂 的 幂,则2(FGEFO的 幂 的 幂 )-(F的 幂 的 幂 )=的 幂 的 幂OG 垂直 EF，其余同理可证。其实 OG EF 对圆外切四边形照样成立。我们可以另起锅灶利用双心四边形性质证明，也可以在上图中利用以上结论证明。由 G 在 BD 上，知 BD 极点在 EF 上，同理可证其余共点如上图。则对圆外切四边形
10、其对角线交点与对应的圆内接四边形对角线重合，对角线亦然。由刚才的证明知 OG EF，故本结论依然成立。对本图，还有一个结论，若中点为，交圆于，则四点共圆。分析：欲证共圆，即证 ，即 ，2132*FMNA因此需利用刚才结论计算即可。证明：有刚才结论有 ，2E的 幂 的 幂M 的幂= =OR,则 ，四点共圆。222OEFM13此题有很多证法，但是为了揭示其本质，需引入调和线束的概念。射影几何主要研究几何关系在射影变换的情况下的射影不变量，而交比正是其中的的一个。如图，共点的四条直线被任意直线所截得线段比 为其交*ABCD比，下面证明任意直线的交比相同。 sin1si4in1si4*2323OADC
11、BB显然此比值与线段长度无关，即交比是一个定值。特别的，对过某点与调和点列的四条直线被任意直线截得的都是调和点列。我们称其为调和线束。特别的对调和线束 ABCD（如上图） ，若 B 为AC 中点，则 DA=CA，则 D 为无穷远点。因此，对调和线束，过调和点列中的任一点做某条直线的平行线，由于交成四点必然为调和点列，而平行线交点为无穷远点，故此平行线被另外两条直线所截的线段相等，其实这就是我们本题的结论。 （因为割线 PCD 被圆和 AB 分成调和点列， APACABAD 成调和线束，故过 C 作 PA 平行线被平分，即 CE=EF）当然，本题我们也可以直接利用调和点列倒比例来证明。欲证 CE
12、=EF，即证222*()()*CEFGDCPDCGCPDCPPAP*显然成立。已知：圆 O 切 AB、AC 于 D、E，M 为 BC 上点，AM 交 DE 于 N，求证：BM=CM ON BC证明：如图，显然有 180BC34BAsin1sin324NEBM=CM siisin3i3n4BBONBCCC其实这个问题的本质还是调和线束。下面问题是平面几何中著名的蝴蝶定理，当然我们有很多种方法证明它，我们通过第二个图可以发现其本质还是调和线束的性质。已知：圆 O 的弦 AB 中点为 M，CD 、EF 为过 M 的两条弦，CE 、DF 交 AB 于 P、Q。求证：MP=MQ一种本质的证法为解析法：以M 为原点，AB 为 x 轴建坐标系，则圆的方程为：直线 EF、 CD22,xyar合成的二次曲线方程分别为：，则过此二0kl次曲线和圆的交点 EFCD 的二次曲线方程为： 22 0xyarkxyl显然此二次曲线与 x 轴交点无一次项，即 MP=MQ通过下图，我们由前面的证明知道 BMDN 成调和点列，从而 FE、FD、FM、FB 为调和线束。而又有 OM EF，OM PQ（因为 M 为弦中点） ，则 PQ EF，则 MP=MQ/
