1、造全等三角形解题的技巧全等三角形是初中几何三角形中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。友情提示：证明三角形全等的方法有 SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt）。一、见角平分线试折叠，构造全等三角形例 1 如图 1，在ABC 中，AD 平分BAC，AB+BD=AC。求证：B：C=2：1。 证法一：在线段 AC 上截取 AE=AB，连接 DE。在ABD 和AED 中AE=AB，1=2，AD=AD， ABD AED。 D
2、E=DB，B=AED。AB+BD=AC， AE+DE=AC。又AE+CE=AC， DE=CE。 C=EDC。AED=C+EDC， AED=2C，即B=2C。 B：C=2：1。证法二：延长 AB 到 F，使 BF=BD，连接 DF。 F=BDF。ABC=F+BDF， ABC=2F。AB+BD=AC， AB+BF=AC， 即 AF=AC。在ADF 和ADC 中，AF=AC，1=2，AD=AD， ADF ADC。 F=C。又ABC=2F， ABC=2C， 即ABC：C=2：1。点评：见到角平分线时，既可把ABD 沿 AD 折叠变成AED，也可把ACD 沿 AD 折叠变成AFD，利用全等三角形的性质，
3、可使问题得以解决。练习：如图 3，ABC 中，AN 平分BAC，CNAN 于点 N，M 为 BC 中点，若 AC=6，AB=10，求 MN的长。图 3提示：延长 CN 交于 AB 于点 D。 则ACN ADN， AD=AC=6。又 AB=10，则 BD=4。 可证 为BCD 的中位线。 。点评：本题相当于把ACN 沿 AN 折叠成AND。二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形例 2 如图 4，AD 为ABC 中 BC 上的中线，BF 分别交 AC、AD 于点 F、E，且 AF=EF，求证：BE=AC。图 4证明：延长 AD 到 G，使 DG=AD，连接 BG。AD 为 BC 上的中线， BD=
4、CD，在ACD 和GBD 中，AD=DG，ADC=BDG，BD=CD， ACD GBD。 AC=BG，CAD=G。AF=EF， CAD=AEF。 G=AEF=BEG， BE=BG，AC=BG，BE=AC。点评：见中线 AD，将其延长一倍，构造GBD，则ACD GBD。例 3 如图 5，两个全等的含有 、 角的三角极 ADE 和 ABC 如图放置，E、A、C 三点在同一直线上，连接 BD，取 BD 中点 M，连接 ME、MC图 5试判断EMC 的形状，并说明理由。解析：EMC 为等腰直角三角形。理由：分别延长 CM、ED，使其相交于点 N，可证BCM DNM。 则 BC=DN，CM=NM。由于D
5、EA ACB， 则 DE=AC，AE=BC，DE+DN=AC+AE。 即 EN=EC，则ENC 为等腰直角三角形。CM=NM， EMCN，则可知EMC 为等腰直角三角形。注：本题也可取 EC 的中点 N，连接 MN，利用梯形中位线定理来证明。亦可连接 AM，利用角的度数来证明。练习 1：如图 6，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 中点，连接 BE、CE，BEC= ，图 6求证：（1）BE 平分ABC。（2）若 EC=4，且 ，求四边形 ABCE 的面积。提示：见图中所加辅助线，证ABE DFE。练习 2：ABC 中，AC=5，中线 AD=7，则 AB 的取值范围为多少？注：延长 AD
6、到 E，使 DE=AD，连接 BE。则BDE CDA。BE=AC=5，DE=AD=7。在ABE 中，BE=5，AE=14。利用三角形三边关系可求线段 AB 的取值范围为：9AB19。三、构造全等三角形，证线段的和差关系例 4 如图 7，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，且1=2。图 7求证：BE+DF=AE。证明：延长 CB 到 G，使 BG=DF，连接 AG。在ABG 和ADF 中，AB=AD，ABG=D= ，BG=DF， ABG ADF。 G=AFD，4=1。1=2， 4=2。ABCD， AFD=2+3=4+3=GAE。又G=AFD， G=GAE。 AE=GE。EG
7、=BE+BG=BE+DF， BE+DF=AE。从以上几例可以看出，全等三角形在证明中具有出奇制胜的作用。在解决有关角平分线、中点、线段的和差的问题时，通过添加辅助线构造全等三角形的办法，不仅能使问题迎刃而解，而且有助于学生创新思维的培养，提高学生的数学思维能力和分析能力。1. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形 1. 全等三角形有如下性质： (1)全等三角形的对应边相等； (2)全等三角形的对应角相等；(3)全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高相等； (4)全等三角形的面积相等，周长相等2. 等腰三角形 两边相等的三角形叫等腰三角形(1)等边对等角；(2)底边上的高、底
8、边上的中线、顶角平分线互相重合；(3)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(4)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(5)顶角等于 180减去底角的两倍；(6)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角3等腰三角形可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形等边三角形的三边相等，三个角都是 60，它具备等腰三角形的一切性质。4. 等腰三角形的判定：利用定义；等角对二、解题技巧 .1 利用角平分线构造全等三角形解题 .2 利用中线构造全等三角形解题在等腰三角形的题目中常添加的辅助线是顶角的平分线，由此可以得到线段相等和垂直关系另外，在未指明边(角)的名称时，应分类讨论在解题时常会遇到与中线有关的问题，由中线可以提供的常见思路有：线段相等构造全等；在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半； 中线倍长：即延长中线，使延长的部分等于中线构造全等
