1、1全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定 1“边边边”例题、已知：如图，ADBC，ACBD. 试证明：CADDBC.(答案）证明：连接 DC，在ACD 与BDC 中ADBC公 共 边ACDBDC（SSS ）CADDBC（全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定 2“边角边”例题、已知，如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD ，CEAB 于 E，并且AE （ABAD） ，求证：BD180.12(答案）证明：在线段 AE 上，截取 EFEB，连接 FC，CEAB，CEBCEF90在CBE 和CFE 中， CEBF =CBE 和CFE（SAS）B CFEAE （ABAD） ，2A
2、E ABAD AD2AEAB12AE AFEF ，AD2（AFEF）AB2AF2EFABAFAFEFEB AB AF ABAB，即 ADAF2在AFC 和ADC 中 (AFDC角 平 分 线 定 义 ）AFCADC（SAS）AFCD AFC CFE180 ，B CFE.AFC B180 ，B D 180.类型三、全等三角形的判定 3“角边角”例题、已知：如图，在MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQNQ求证：HNPM.证明：MQ 和 NR 是MPN 的高， MQNMRN90，又132490，3 4 1 2在MPQ 和NHQ 中，12MQNPHMPQNHQ（ASA） PMHN类型
3、四、全等三角形的判定 4“角角边”例题、已知 RtABC 中，ACBC，C 90，D 为 AB 边的中点，EDF90，EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB 于 E、F当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图 1） ，易证 ；当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 212DEFCABCSS 情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.解：图 2 成立； 证明图 2：过点 D作 MACNB，3则 90DMENFD在AMD 和DNB 中， AMDDNB（AAS）DMDNA=NBMDEEDNNDFEDN90， MDEN
4、DF在DME 与DNF 中，90EMDFNDMEDNF（ASA） DMENFS DEFCDMCNCS=S. 四 边 形 四 边 形可知 ，ABCDMCN1S=2四 边 形 12FCAB 类型五、直角三角形全等的判定“HL”下列说法中，正确的画“”；错误的画“”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 （ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 （ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 （ ）(答案） （1）；（2）；在 ABC 和DBC 中，ABDB，AE 和 DF 是其中一边上的高，AE DF（3）. 在ABC 和ABD
5、中，ABAB，ADAC，AH 为第三边上的高，如下图：1、已知：如图， DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求证：ABDC.(答案与解析）证明：DEAC，BFAC，4在 RtADE 与 RtCBF 中 RtADERtCBF （HL） AECF，DE BF.ADBCEF ，AE EFCFEF，即 AFCE在 RtCDE 与 RtABF 中， DCBAEFRtCDERtABF（SAS）DCEBAF ABDC.(点评）从已知条件只能先证出 RtADERtCBF，从结论又需证RtCDERtABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证 出题目.2、如图，ABC 中，ACB90，ACBC，AE 是 BC
6、 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D.（1）求证： AECD；（2）若 AC12 ，求 BD 的长.cm(答案与解析） （1）证明：DBBC，CFAE，DCBDDCBAEC90DAEC又DBCECA 90 ，且 BCCA，DBCECA（AAS） AE CD（2）解：由（ 1）得 AECD，ACBC，CDBAEC（HL） BDEC BC AC，且 AC122BD6 cm(点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件
7、，再去证什么条件三角形角平分线的性质5三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个.如图所示：ABC 的内心为 ，旁心为 ，这四个点到ABC 三边所在直线距离相等.1P234,P角的平分线的性质及判定1、如图，AD 是BAC 的平分线，DEAB ，交 AB 的延长线于点 E，DFAC 于点 F，且DBDC.求证：BE CF.(答案）证明：DEAE ，DFAC，AD 是BAC 的平分线， DEDF ，BEDD
8、FC90在 RtBDE 与 RtCDF 中， ，RtBDERtCDF（HL） BECFDBCEF2、如图，AC=DB，PAC 与PBD 的面积相等求证：OP 平分AOB(答案与解析）证明：作 PMOA 于 M，PNOB 于 N， ，且12PACS 12PBDSA PACS BD6 12ACPMBDNA又ACBD PMPN又PMOA，PNOB OP 平分AOB (点评）观察已知条件中提到的三角形PAC 与PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.3、如图，DCAB，BAD
9、 和ADC 的平分线相交于 E，过 E 的直线分别交 DC、AB 于 C、B 两点. 求证：AD ABDC.(答案） 证明：在线段 AD 上取 AFAB，连接 EF，AE 是 BAD 的角平分线，12，AFAB AEAE ，ABEAFE，BAFE由 CDAB 又可得 CB180，AFEC 180，又DFEAFE180，C DFE ，DE 是ADC 的平分线，34 ，又DEDE，CDEFDE，DFDC，ADDF AF ，ADABDC 类型一、全等三角形的性质和判定如图，已知：AEAB ，ADAC，ABAC，B C，求证：BDCE.(答案)证明： AEAB，ADAC， EABDAC90EABDAE
10、DACDAE ，即DABEAC.7在DAB 与EAC 中， DABEAC （SAS） DABECBDCE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)作公共边可构造全等三角形：1、在 ABC 中，ABAC.求证：B C(答案)证明：过点 A 作 ADBC 在 RtABD 与 RtACD 中 ABCDRtABDRtACD（HL ） BC.(2)倍长中线法：1、已知：如图所示， CE、CB 分别是ABC 与ADC 的中线，且ACBABC求证：CD2CE(答案）证明： 延长 CE 至 F 使 EFCE，连接 BF EC 为中线， AEBE在AEC 与BEF 中， AECBEF（SAS） ,AEBCF AC
11、BF，AFBE （全等三角形对应边、角相等）又 ACBABC，DBCACB A ，FBCABCA ACAB，DBC FBC ABBF又 BC 为ADC 的中线， ABBD即 BF BD8在FCB 与DCB 中， FCBDCB（SAS） CFCD即,BFDCCD2CE 2、若三角形的两边长分别为 5 和 7, 则第三边的中线长 的取值范围是( )xA.1 6 B.5 7 C.2 12 D.无法确定xx(答案)A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7 5 75 ，所以选 A 选项.2x(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图，AD 是 的角平分线，H，G 分别在 AC，AB 上，且
12、 HDBD.BC(1)求证：B 与AHD 互补；(2)若B2DGA180 ，请探究线段 AG 与线段 AH、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.(答案）证明：（1）在 AB 上取一点 M, 使得 AMAH, 连接 DM. CADBAD, ADAD, AHDAMD. HDMD, AHDAMD. HD DB, DB MD. DMBB. AMDDMB 180, AHDB 180. 即 B 与AHD 互补. （2）由（1）AHDAMD, HDMD, AHD B180. B2DGA 180, AHD2DGA. AMD2DGM. AMDDGMGDM. 2DGMDGMGDM. DGMGDM. MDMG.
13、HD MG. AG AMMG, AG AHHD. （3）.利用截长 (或补短)法作构造全等三角形：1、如图，AD 是ABC 的角平分线，AB AC,求证：ABACBDDC(答案）M GH DCBAED CBA9证明：在 AB 上截取 AE AC,连结 DEAD 是ABC 的角平分线， BADCAD在AED 与ACD 中 ADCBEAEDADC（SAS）DE DC在BED 中，BE BDDC即 ABAEBDDCABACBD DC2、如图所示，已知 ABC 中 ABAC，AD 是BAC 的平分线，M 是 AD 上任意一点，求证：MBMCABAC(答案与解析)证明：AB AC，则在 AB 上截取 A
14、EAC，连接 ME在MBE 中，MBMEBE （三角形两边之差小于第三边） 在AMC 和AME 中，()ACEM所 作 ， 角 平 分 线 的 定 义 ，公 共 边 ， AMCAME（SAS ） MCME（全等三角形的对应边相等） 又 BEABAE， BEABAC， MBMCABAC(点评)因为 ABAC，所以可在 AB 上截取线段 AEAC ，这时 BEABAC ，如果连接EM，在BME 中，显然有 MBMEBE这表明只要证明 MEMC，则结论成立充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.10（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1、如图所示，已知 E 为正方形 ABCD 的边 C
15、D 的中点，点 F 在 BC 上，且DAEFAE 求证：AFADCF(答案与解析）证明： 作 MEAF 于 M，连接 EF 四边形 ABCD 为正方形， CDEMA90又 DAEFAE， AE 为FAD 的平分线， MEDE在 RtAME 与 RtADE 中， ()AEDM公 用 边 ，已 证 ， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形对应边相等)又 E 为 CD 中点， DEEC MEEC 在 RtEMF 与 RtECF 中， ()ECF已 证 ，公 用 边 ， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形对应边相等)由图可知：AFAMMF， AFADFC(等量代换)(点评）与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形 ABCD 为正方形，则D90而DAEFAE 说明 AE 为 FAD 的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而 E 到 AD 的距离已有，只需作 E 到 AF 的距离 EM 即可，由角平分线性质可知 MEDEAE AERtAME 与 RtADE 全等有 ADAM而题中要证AFADCF根据图知 AFAMMF故只需证 MFFC 即可从而把证
