1、 125 第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 阅卷 复核 本卷共九题，满分 160 分。计算题的解答应写出必要的文字 说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后结果的不能得分。有数字计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。把填空题答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程。 一、 (15 分 )蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器 (见图 )。若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线 ，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小。设重力加速度 29.8 /g m s 。 1试设计一个包含十个单摆的蛇形摆(即求出每
2、个摆的摆长 )，要求满足： (a)每个摆的摆长不小于 0.450m ，不大于1.000m ； (b)初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动相同的一个小位移0x ( 0 0.450xm)，然后同时释放，经过 40s 后，所有的摆能够同时回到初始状态。 2在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速度首次全部为零所经过的时间为 。 126 二、 (20 分 )距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M，观测发现其位置 呈周期性摆动，周期为 T，摆动范围的最大张角为 。假设该星体的周期性摆动是由于有一颗 围绕它作周期运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量 m 所满足的方程。 若 10L 光年
3、， 10T 年， 3毫角秒， SMM ( SM 为太阳质量 )，则此行星的质量和它运动的轨道半径 r 各为多少？分别用太阳质量 SM 和国际单位 AU(平均日地距离 )作为单位，只保留一位有效数字。已知 1 毫角秒 11000角秒， 1 角秒 13600度，1AU 81.5 10 km ，光速 53.0 10 /c km s 。 127 三、 (22 分 )如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环 质量为 m ，半径为 R，螺距 HR ，可绕竖直的对称轴 OO 无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计。一质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动。首先扶住小球使其静止于螺
4、旋环上的某一点 A，这时螺旋环也处于静止状态。然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴 OO 转动。求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h 时，螺旋环转动的角速度和小球对环作用力的大小。 128 四、 (12 分 )如图所示，一质量为 m 、电荷量为 q ( 0q )的粒子做角速度为 、半径为 R 的匀速圆周运动。一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为 d ( dR )，在导线上通有随时间变化的电流 i 。 0i 时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为dR 。若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i 的磁场对粒子的作用力，试求出电流 i 随时间的变化规律。不考虑变
5、化的磁场产生的感生电场及重力的影响。长直导线电流产生的磁场的磁感应强度表示式中的比例系数 k 已知。 129 五、 (20 分 )如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为 Q 和 -Q(Q0)，半径分别为 R 和 /2R ， 小球面与大球面内切于 C 点，两球面球心 O 和 O 的连线 MN 沿竖直方向。在 MN 与两球面的交点 B、 O 和 C 处各开有足够小的孔，因小孔损失的电荷量忽略不计。有一质量为 m ，带电荷量为 q ( 0q )的质点自 MN 线上离 B 点距离为 R 的 A 点竖直上抛。设静电力常量为 k ，重力加速度为 g 。 1要使质点为从 A 点上抛后能够到达 B
6、 点，所需的最小初动能为多少？ 2要使质点从 A 点上抛后能够到达 O 点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？ 130 六、 (20 分 )由单位长度电阻为 r 的导线组成如图所示的正方形网络系列。 1n 时，正方形网络 边长为 L； 2n 时，小正方形网络的边长为 /3L ； 3n 时，最小正方形网络的边长为 /9L 。当 1n 、 2、 3 时，各网络上 A、 B 两点间的电阻分别为多少？ 131 七、 (15 分 )地球上的能量从源头上说来自 太阳辐射。到达地面的太阳辐射 (假定不计大气对太阳辐射的吸收 )一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收。被吸收的部分最终转换成为地球热
7、辐射 (红外波段的电磁波 )。热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式 保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同， 且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃 -玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功率 J 与表面的热力学温度 T 的四次方成正比，即 4JT ，其中 是一个常量。已知太阳表面温度 35.78 10STK ，太阳半径 56.96 10SR km ，地球到太阳的平均距离81.50 10d km 。假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为 0.38 。 1如果地球表面对太阳辐射的平均反射率 0.30 ，试问考虑了
8、温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温 度是多少？ 2如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为 1 0.85 ，其余部分的反射率为 2 0.25 。问冰雪覆盖面占总面积多少时地球表面温度为 273K 。 132 八、 (20 分 )正午时太阳的入射光与水平面的夹角 45 。有一座房子朝南的墙上有一个直径 10W cm 的圆窗，窗口中心距地面的高度为 H。试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进入窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进入采光装置前 2 倍的平行光。可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反射率为 80% ，透镜的透
9、射率为 70% ，忽略透镜表面对光的反射。要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置。试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件。 133 九、 (16 分 )已知粒子 1 和粒子 2 的静止质量都是 0m ，粒子 1 静止，粒子 2 以速度 0v 与粒子1 发生弹性碰撞。 1若碰撞是斜碰，考虑相对论效应。试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是钝角。若不考虑相对论效应结果又如何？ 2若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度。 2010 年第 27 届全国物理竞赛复赛试题答案 一、参考解答： 1 以 il 表示第
10、i 个单摆的摆长， 由条件（ b）可知每个摆的周期必须是 40s 的整数分之一，即 iii402 lT gN （ Ni为正整数） （ 1） (1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系 .由 (1)可得，各单摆的摆长 i 22i400 gl N（ 2） 依题意， i0 .4 5 0 m 1 .0 0 0 ml ，由此可得 i2 0 2 0 0.4 5ggN（ 3） 即 i20 29N （ 4） 因此，第 i 个摆的摆长为 i 22400 (19 i)gl (i 1, 2, , 10) （ 5） i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 134 li/m 0.993 0.90
11、1 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.472 2 20s 评分标准： 本题 15 分 第 1 小问 11 分 （ 2）式 4 分，（ 4）式 4 分， 10 个摆长共 3 分 第 2 小问 4 分 二、参考解答： 设该恒星中心到恒星 行星系统质心的距离为 d ，根据题意有 2Ld （ 1） 将有关数据代入（ 1）式，得 AU105 3d 又根据质心的定义有 Mdrdm （ 2） 式中 r 为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离 .根据万有引力定律有 22 2MmG M drT （ 3） 由（ 2）、（ 3）两式得 232 24 1 mdGTMm （ 4） 若 考生用 r 表示行星到恒星 行星系统质心的距离，从而把 (2)式写为 Mdr m ，把 (3)式写
