1、信息融合大作业维纳最速下降法滤波器，卡尔曼滤波器设计及 Matlab 仿真时间：2010-12-6专业：信息工程班级：09030702学号：2007302171 姓名：马志强1. 滤波问题浅谈估计器或滤波器这一术语通常用来称呼一个系统，设计这样的系统是为了从含有噪声的数据中提取人们感兴趣的，接近规定质量的信息。由于这样一个宽目标，估计理论应用于诸如通信、雷达、声纳、导航、地震学、生物医学工程、金融工程等众多不同的领域。例如，考虑一个数字通信系统，其基本形式由发射机、信道和接收机连接组成。发射机的作用是把数字源(例如计算机)产生的 0、1 符号序列组成的消息信号变换成为适合于信道上传送的波形。而
2、由于符号间干扰和噪声的存在，信道输出端收到的信号是含有噪声的或失真的发送信号。接收机的作用是，操作接收信号并把原消息信号的一个可靠估值传递给系统输出端的某个用户。随着通信系统复杂度的提高，对原消息信号的还原成为通信系统中最为重要的环节，而噪声是接收端需要排除的最主要的干扰，人们也设计出了针对各种不同条件应用的滤波器，其中最速下降算法是一种古老的最优化技术，而卡尔曼滤波器随着应用条件的精简成为了普适性的高效滤波器。2维纳最速下降算法滤波器2.1 最速下降算法的基本思想考虑一个代价函数 ，它是某个未知向量 的连续可微分函数。函数() 将 的元素映射为实数。这里，我们要寻找一个最优解 。使它满足如下
3、() 条件 (0)()(2.1)这也是无约束最优化的数学表示。特别适合于自适应滤波的一类无约束最优化算法基于局部迭代下降的算法：从某一初始猜想 出发，产生一系列权向量 ，使得代价函w(0) w(1),w(2),数 在算法的每一次迭代都是下降的，即J(w)(+1)()其中 是权向量的过去值，而 是其更新值。w(n) w(n+1)我们希望算法最终收敛到最优值 。迭代下降的一种简单形式是最速下降0法，该方法是沿最速下降方向连续调整权向量。为方便起见，我们将梯度向量表示为=()=()(2.2)因此，最速下降法可以表示为(+1)=()12()(2.3)其中 代表进程， 是正常数，称为步长参数，1/2 因
4、子的引入是为了数学上处 理方便。在从 到 的迭代中，权向量的调整量为 +1()=(+1)()=12()(2.4)为了证明最速下降算法满足式(2.1) ，在 处进行一阶泰勒展开，得到()(+1)()+()()(2.5)此式对于 较小时是成立的。在式(2.4)中设 为负值向量，因而梯度向量 也为 负值向量，所以使用埃尔米特转置。将式(2.4) 用到式(2.5) 中，得到(+1)()12()2此式表明当 为正数时， 。因此，随着 的增加，代价函 (+1)() 数 减小，当 时，代价函数趋于最小值 。() = 2.2 最速下降算法应用于维纳滤波器考虑一个横向滤波器，其抽头输入为 ，对应(),(1),(
5、+1)的抽头权值为 。抽头输入是来自零均值、相关矩阵为0(),1(),1()的广义平稳随机过程的抽样值。除了这些输入外，滤波器还要一个期望响应，以便为最优滤波提供一个参考。在时刻 抽头输入向量表示为 ，滤() ()波器输出端期望响应的估计值为 ,其中 是由抽头输(|) 所张成的空间。空过比较期望响应 及其估计(),(1),(+1) ()值，可以得到一个估计误差 ，即()()=()()=()()()(2.6)这里 是抽头权向量 与抽头输入向量 的内积。 可以进一()() () () ()步表示为()=0(),1(),1()同样，抽头输入向量 可表示为()()=(),(1),(+1)如果抽头输入向
6、量 和期望响应 是联合平稳的，此时均方误差或者() ()在时刻 的代价函数 是抽头权向量的二次函数，于是可以得到 ()()=2()()+()()(2.7)其中， 为目标函数 的方差， 抽头输入向量 与期望响应 的互相2 () () ()关向量，及 为抽头输入向量 的相关矩阵。从而梯度向量可以写为 ()()=()0() + ()0()()1()()1()+()1()()1()=2+2()(2.8)其中在列向量中 和 分别是代价函数 对应第 个抽头权值 的实()()()() () ()部 和虚部 的偏导数。对最速下降算法应用而言，假设式(2.8)中相() ()关矩阵 和互相关向量 已知，则对于给定
7、的抽头权向量 为 (+1)(+1)=()+()(2.9)它描述了为那滤波中最速下降法的数学表达式。3.卡尔曼滤波器3.1 卡尔曼滤波器的基本思想卡尔曼滤波器是用状态空间概念描述其数学公式的，另外新颖的特点是，他的解递归运算，可以不加修改地应用于平稳和非平稳环境。尤其是，其状态的每一次更新估计都由前一次估计和新的输入数据计算得到，因此只需存储前一次估计。除了不需要存储过去的所有观测数据外，卡尔曼滤波计算比直接根据滤波过程中每一步所有过去数据进行估值的方法都更加有效。1() (+1) () ()2()图 3.1 线性动态离散时间系统的信号流图表示“状态”的概念是这种表示的基础。状态向量，简单地说状
8、态，定义为数据的最小集合，这组数据足以唯一地描述系统的自然动态行为。换句话说，状态由预测系统未来特性时所素要的，与系统的过去行为有关的最少的数据组成。典型地，比较有代表性的情况是，状态 是未知的。为了估计它，我们使用()一组观测数据，在途中用向量 表示。 成为观测向量或者简称观测值，() ()并假设它是 维的。在数学上，图 3.1 表示的信号流图隐含着一下两个方程：(1) 过程方程(+1)=(+1,)()+1()(3.1)式中， 向量 表示噪声过程，可建模为零均值的白噪声过程，且1 1()其相关矩阵定义为1()1()=1() = (2) 测量方程()=()()+2()+ 1 +(+1,)()(
9、3.2)其中 是已知的 测量矩阵。 向量 称为测量噪声，建() 1 2()模为零均值的白噪声过程，其相关矩阵为2()2()=2() = (3.3)测量方程(3.2)确立了可测系统输出 与状态 之间的关系，如图() ()3.1 所示。3.2 新息过程为了求解卡尔曼滤波问题，我们将应用基于新息过程的方法。根据之前所述，用向量 表示 时刻到 时刻所有观测数据过去值给定的情(|1) =1 1况下，你时刻观测数据 的最小均方估计。过去的值用观测值()表示，他们张成的向量空间用 表示。从而可以定义新(1),(2),(1) 1息过程如下：()=()(|1)(3.4)其中 向量 表示观测数据 的新息。1 ()
10、 ()3.3 应用新息过程进行状态估计下面，我们根据信息过程导出状态 的最小均方估计。根据推导，这个()估计可以表示成为新息过程 序列的线性组合，即(1),(2),()()=1()()(3.5)其中 是一组待定的 矩阵。根据正交性原理，预测状态误差向量()=1 与新息过程正交，即(,)()=()()=(3.6)将式(3.5)代入式(3.6)，并利用新息过程的正交性质，即得()()=()()()=()()(3.7)因此，式(3.7)两边同时右乘逆矩阵 ，可得 的表达式为1() ()()=()()1()(3.8)最后，将式(3.8)带入式(3.5)，可得最小军方差估计()=1()()1()()=1
11、=1()()1()()+()()1()()(3.9)故对于 ，有=+1(+1)=1=1(+1)()1()()+(+1)()1()()(3.10)然而， 时刻的状态 与 时刻的状态 的关系式由式可以推导出对+1 (+1) ()于 ，有0(+1)()=(+1,)()+1()()=(+1,)()()(3.11)其中 只与观测数据 有关。因此可知， 与 彼此正() (1),(2),() 1() ()交(其中 )。利用式(3.11)以及当 时 的计算公式，可将式(3.10) 右0 = ()边的求和项改写为 1=1(+1)()1()()=(+1,)1=1()()1()()=(+1,) (1)(3.12)为
12、了进一步讨论，引入如下基本定义。3.4 卡尔曼增益定义 矩阵()=(+1)() 1()(3.13)其中 是状态向量 和新息过程 的互相关矩阵。利用(+1)() (+1) ()这一定义和式(3.12)的结果，可以将式 (3.10)简单重写为(+1)= (+1,)(1)+()()(3.14)式(3.14)具有明确的物理意义。它标明：线性动态系统状态的最小均方估计可以由前一个估计 求得。为了表示对卡尔曼开创性贡献(+1) (1)的认可，将矩阵 称为卡尔曼增益。()现在剩下唯一要解决的问题是，怎样以一种便于计算的形式来表示卡尔曼增益 。为此，首先将 与 乘积的期望表示为() (+1)()(+1)()=
13、(+1,)()(,1)()(3.15)式中利用了状态 与噪声向量 互不相关这一事实。其次，由于预测状态() 2()误差向量 与估计 正交，因此 与 乘机的(,1) (1) (1) (,1)期望为零。这样，用预测状态误差向量 代替相乘因子 ，将不会引(,1) ()起式(3.15)变化，故有(+1)()=(+1,)(,1)(,1)()(3.16)由此，可将上式进一步变化为(+1)()=(+1,)(,1)()(3.17)现在我们重新定义卡尔曼增益。为此，将式(3.17)代入式(3.13) 得()=(+1,)(,1)() 1()(3.18)现在我们已经了解了卡尔曼滤波的整个过程和相应的参数设置，为了能
14、够更为方便利用计算机仿真实现，特将其中参数变量进行小结。卡尔曼变量和参数小结变量 定义 维数() 时刻状态 1() 时刻状态值 1(+1,) 从 时刻到 时刻的转移矩阵 +1 () 时刻的测量矩阵 1() 过程噪声 的相关矩阵1() 2() 过程噪声 的相关矩阵2() (1) 给定观测值在 时刻状态(1),(2),(1)的预测估计1() 给定观测值 在(1),(2),()时刻状态的滤波估计1() 时刻卡尔曼增益矩阵 () 时刻新息向量 1() 新息向量 的相关矩阵() (,1) 中误差相关矩阵(1) () 中误差相关矩阵() 基于单步预测的卡尔曼滤波器的小结观测值= (1),(2),(1)转移矩阵= (+1,)测量矩阵= ()过程噪声的相关矩阵= 1()测量噪声的相关矩阵= 2()()=(+1,)(,1)()()(,1)()+2()1()=()()(1)(+1)= (+1,)(1)+()()()=(,1)(,+1)()()(,1)(+1,)=(+1,)()(+1,)+1()4 Matlab 仿真为了简化，这里只讨论简单的一维单输入单输出线性系统模型，其中加入白噪声作为系统的扰动，具体仿真结果可以获得如下4.1 维纳最速下降法滤波器仿真结果
