1、- 1 - 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 总论 ： 全等三角形问题 最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等 1.等腰三角形“三线合一”法 ： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线 ： 倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法： 有一个角为 60度或 120度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为 30、 60度的 作垂线法： 遇到三角形中的一个角为 30 度或 60
2、度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8.计算数值法： 遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形 ,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种： 最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一
3、”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 法 构造全等三角形 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法 构造全等三角形 3) 遇到角平分线 在三种添辅助线的方法，（ 1） 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂- 2 - D CBAEDFCBA线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 （ 2）可以在角平分线上的一点作该角平 分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（ 3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点
4、作边线，构造一对全等三角形。 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上 的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一 、倍长中线（线段）造全等 例 1、（“希望杯”试
5、题）已知，如图 ABC 中， AB=5， AC=3，则中线 AD 的取值范围是 _. 例 2、 如图， ABC中， E、 F分别在 AB、 AC 上， DE DF， D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF的大小 . 例 3、 如图， ABC中， BD=DC=AC， E是 DC 的中点，求证： AD 平分 BAE. - 3 - ED CBA应用 ： 1、（ 09崇文二模）以 ABC 的两边 AB、 AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰Rt ACE ， 9 0 ,B A D C A E 连接 DE， M、 N分别是 BC、 DE的中点探究： AM与 DE的位置关系及数量关系 （ 1）如图
6、 当 ABC 为直角三角形时， AM与 DE的位置关系 是 ， 线段 AM与 DE的数量关系是 ； （ 2）将图 中的等腰 Rt ABD 绕点 A沿逆时针方向旋转 (0AD+AE. ED CBA四、 借助角平分线造全等 1、 如图，已知在 ABC 中， B=60， ABC的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证： OE=OD 2、 如图， ABC 中， AD 平分 BAC， DG BC 且平分 BC， DE AB于 E， DF AC 于 F. （ 1）说明 BE=CF 的理由；（ 2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE、 BE的长 . EDGFCBA- 7 - NMEFACBAFEDC
7、BA应用 ： 1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （ 1）如图 ，在 ABC 中， ACB 是直角， B=60， AD、 CE 分别是 BAC、 BCA的平分线， AD、 CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （ 2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 五 、旋转 例 1 正方形 ABCD 中， E为 BC上的一点， F 为 CD 上
8、的一点， BE+DF=EF，求 EAF的度数 . 例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。 （ 1） 当 MDN 绕点 D转动时，求证 DE=DF。 （ 2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。 (第 23 题 图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图 - 8 - 例 3 如图， ABC 是边长为 3 的等边三角形， BDC 是等腰三角形，且 0120BDC，以 D为顶点做一个 060 角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则 AMN的周长为 ；
9、 B CDNMA应用 ： 1、已知四边形 ABCD 中， AB AD ， BC CD ， AB BC ， 120ABC ，60MBN ， MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD DC， （或它们的延长线）于 EF， 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE CF， ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 （图 1） A B C D E F M N （图 2） A B C D E F M N （图
10、 3） A B C D E F M N - 9 - 2、 （西城 09 年一模） 已知 :PA= 2 ,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、 D 两点落在直线 AB的两侧 . (1)如图 ,当 APB=45时 ,求 AB 及 PD 的长 ; (2)当 APB 变化 ,且其它条件不变时 ,求 PD 的最大值 ,及相应 APB的大小 . 3、 在等边 ABC 的两边 AB、 AC 所在直线 上分别有两点 M、 N， D 为 ABC 外一点， 且 60MDN , 120BDC ,BD=DC. 探究：当 M、 N 分别 在 直线 AB、 AC 上移动时 ，BM、 NC、 MN 之间的
11、数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3 （ I） 如图 1， 当点 M、 N 边 AB、 AC 上，且 DM=DN 时， BM、 NC、 MN 之间的数量关系 是 ； 此时 LQ ； （ II） 如图 2， 点 M、 N 边 AB、 AC 上，且 当 DM DN 时， 猜想 （ I） 问的两个结论还成立吗？ 写出你的猜想并加以证明； （ III） 如图 3， 当 M、 N 分别在 边 AB、 CA的延长线上时， 若 AN= x ，则 Q= （用 x 、 L 表示） - 10 - D CBAEDFCBA参考答案与提示 一 、倍长中线（线段）造全
12、等 例 1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC 中， AB=5， AC=3，则中线 AD 的取值范围是 _. 解：延长 AD 至 E使 AE 2AD，连 BE，由三角形性质知 AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD4 例 2、 如图， ABC中， E、 F分别在 AB、 AC 上， DE DF， D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF的大小 . 解： (倍长中线 ,等腰三角形“三线合一”法 )延长 FD 至 G 使 FG 2EF，连 BG， EG, 显然 BG FC， 在 EFG 中 ，注意到 DE DF，由等腰三角形的三线合一知 EG EF 在 BEG 中 ，由三角形性质知 EGBG+BE 故： EFBE+FC 例 3、 如图， ABC中， BD=DC=AC， E是 DC 的中点，求证： AD 平分 BAE. ED CBA解：延长 AE 至 G使 AG 2AE，连 BG， DG, 显然 DG AC， GDC= ACD 由于 DC=AC，故 ADC= DAC 在 ADB 与 ADG中 ，
