1、第 5 章 杆件的 强度与刚度计算 5-1 如 图 所 示 的 钢杆，已知：杆的横截面面积等于 100mm2，钢的弹性 模量 E=2105MPa，F=10kN， Q=4kN。 要求： （ 1）计算钢杆各段的应力 、绝对变形和 应 变； （ 2）计算钢杆的纵向总伸长量。 解： （ 1）计算钢杆各段内的 轴力、 应力、绝对变形和应变 从左到右取 3 段，分别为 1-1、 2-2、 3-3 截面，则根据轴力的平衡，得 各段内的 轴 力 ：（左） N1=F=10kN （中） N2=F-Q=10-4=6kN （右） N3=F =10=10kN 各段内的应力 ： （左） M P aPaSN 1001010
2、010100 1010 66311 （中） M P aPaSN 60106010100 106 66322 （右） M P aPaSN 1 0 0101 0 0101 0 0 1010 66333 各段内的绝对变形 ： （左） mmmES LNl 1.0101.0)10100()102( 2.0)1010( 3653111 （中） mmmES LNl 06.01006.0)101 0 0()102( 2.0)106( 3653222 （右） mmmES LNl 1.0101.0)101 0 0()102( 2.0)1010( 3653333 各段内的应变 ： （左） 4111 1052 0 0
3、1.0 Ll 题 5-1 图 1 2 3 1 2 3 （中） 4222 10320006.0 Ll （右） 4333 1052001.0 Ll （ 2）计算钢杆的总变形 26.01.006.01.0321 llll mm （ 3）画 出 钢杆的轴力图 钢杆的轴力图 见下图。 N x 5-2 试求图示 阶梯钢杆各段内横截面上的应力 以及杆的 纵向 总伸长 量 。已知钢的弹性模量 E=2105MPa， F=10kN， Q=2kN。 解： （ 1）计算钢杆各段内的应力 从左到右取 2 段，分别为 1-1、 2-2 截面，则 各段内的轴力： N1=F=10kN N2=F+Q=10+2=12kN 各段内
4、 的 应力 ： M P aPaSN 4.127104.1274)1010(1010 6233111 M P aPaSN 2.38102.384)1020(1012 6233222 （ 2）计算钢杆的总变形 10kN 6kN 题 5-2 图 1 1 2 2 各段 的 变形： mmmESLNl 637.010637.04)1010(1021 0 0 01010 323531111 mmmES LNl 0 9 6.0100 9 6.04)1020(1025 0 01012 323531112 故 钢杆的总变形 ： 7 3 3.00 9 6.06 3 7.021 lll mm 5-3 如 图所示 的
5、三角形支架，杆 AB 和杆 BC 均为 圆截面，杆 AB 的 直径 d1=20mm，杆 BC 的 直径 d2=40mm，两杆材料的许用应力均为=160MPa 。设重物的重量 G=20kN， 试 问此支架是？ 解： （ 1）取 B 点作为研究对象，画出 如图所示的受力图 。 （ 2）根据平衡方程求未知力 0 xF ， 030c o s BCAB NN 0 yF ， 030s in BCNG 于是 kNGNBC 4030s i n 102030s i n3 kNNN BCAB 64.3430c o s4030c o s （ 3）计算各杆应力 3.1 1 0103.1 1 04)1020(1064.
6、34 6233 M P aPaSNABABAB 8.31108.314)1040(1040 6233 M P aPaSNBCBCBC 题 5-3 图 B 故 杆 AB 和 BC 的强度是足够的，支架是 安全 的 。 5-4 如 图 所示的 结构 ， 梁 AB 的变形及重量可忽略不计。杆 1 为钢制圆杆，直径d1=20mm，弹性模量 E1=2105MPa；杆 2 为铜制圆杆，直径 d2=25mm，弹性模量 E2=1105MPa。试问：（ 1）载荷 P 加在何处，才能使梁 AB 受 力后仍保持水平？（ 2）若此时 P=30kN，求两杆内横截面上的正应力。 解： （ 1）只有杆 1 和杆 2 伸长相
7、同时， AB 杆才能保持水平，即： 21 LL 22221111 SE LNSE LN 4)1025(10114)1020(1025.123522351 NN 21 8533.0 NN （ 1） （ 2）取杆 AB 为研究对象，列平衡方程 0 yF ， 021 PNN （ 2） 0 AM ， 022 NPx （ 3） 将 式（ 1）代入式（ 2）得 ： NPN 1 6 1 8 78 5 3 3.1 10308 5 3 3.1 32 NNN 1 3 8 1 21 6 1 8 78 5 3 3.08 5 3 3.01 将 2N 代入式（ 2）得： mPNx 08.11030 1 6 1 8 722
8、32 （ 3） 两杆内横截面上的正应力 为： M P aPaSN 4410444)1020(1 3 8 1 2 623111 题 5-4 图 M P aPaSN 3310334)1025(1 6 1 8 7 623222 5-5 蒸汽机的汽缸如图 5-32 所示，汽缸的内 直 径 Di=400mm，工作压力 p=1.2MPa。汽缸盖和汽缸用 根 径为 15.294mm 的螺栓 连 接。若活塞杆材料的许用应力为 50MPa，螺 栓材料的许用应力为 40MPa，试求活塞杆的直径及螺栓的个数。 解： （ 1） 求活塞杆的直径 活塞杆工作时受 到 的 轴力（ 拉力 ） 24 iDpN （忽略活塞杆面积
9、） 根据活塞杆的强度条件： max SN，可得 mmpDdpDNdSii97.61502.14 0 04422考虑到活塞杆的磨损、腐蚀等因素，可取活塞杆直径 d=63mm. （ 2）计算 螺栓的个数 沿汽缸盖和汽缸的接触面将所有的连接螺栓截开，取汽缸盖为研究对象，其受力图如下图所示。由于螺栓沿圆周均匀分布，可认为每 个螺栓横截面上的轴力都是相同的，设为 Ni，如图所示。 设 螺栓的根径为 d1， 所需 螺栓的个数 为 n，则 汽缸盖的平衡条件为： pDNn ii 24 （ 1） 螺栓的强度条件为： 栓1 dNi（ 2） 由 式 （ 1） 和式 （ 2） 两 式 联立解 得 52.20402 9
10、 4.15 2.14 0 0 22212 栓d pDn i取 螺栓个数 n=22（偶数） 或 24（最好为 4 的倍数） 。 题 5-5 图 5-6 一根直径 为 d=16mm、 长 为 L=3m 的圆截面杆，承受轴向拉力 P=30kN，其伸长为L=2.2mm。试求：（ 1）杆 横截面上 的应力和 应变；（ 2）杆材料的弹性模量 E；（ 3）杆直径的改变量和横截面面积的相对变化率。已知杆的变形是完全弹性的，材料的泊松比 =0.3。 解： （ 1） 求杆横截面上的应力和应变 承受轴向拉力 P=30kN，则杆内的轴力也为 N=30kN，于是杆横截面上的应力： M P aSN 3.1494/16 1
11、030 2 3 应变： 3107 3 3 3.03 0 0 02.2 LL（ 2） 求 材料的弹性模量 E 由于 变形是完全弹性的，故满足虎克定律，则 M P aE 53 1004.2107 3 3 3.0 3.1 4 9 （ 3） 杆的横向应变： 33 1022.0107 3 3 3.03.0 . 所以直径的改变量： mmdd 33 1052.3161022.0 ，即直径减小了3.52m。 面积的相对变化率： 332 22 1044.0)1022.0(222)( d dd dddSS 说明 横截面积减小了 0.044%。 5-7 一根直径为 d=10mm 的圆截面杆，在轴向拉 力 P 作用下
12、，直径减小 0.0025mm。已知材料的弹性模量 E=2105MPa，泊松比 =0.3，变形为完全弹性的，试求轴向拉力 P 的大小 。 解： （ 1） 求出纵向应变 0 0 0 2 5.0100 0 2 5.0 dd 41033.83.00 0 0 2 5.0 （ 2） 求应力 M P aE 7.1 6 61033.8102 45 （ 3） 求轴力 N kNNSN 1.131 3 0 9 2)107.1 6 6(4 )1010( 623 （ 4）轴向拉力 P=N=13.1kN 5-8 图 5-38 为销钉 连 接，已知 P=18kN， 两 板 的 厚 度 t1=8mm、 t2=5mm，销钉与
13、两 板的材料相同，许用 切 应力 =60MPa，许用挤压应力 bs=200 MPa。试设计销钉的直径 d。 解： （ 1）按剪切强度设计 销钉具有两个剪切面，各剪切面上的剪力均为2/PQ ，则剪切应力为 22 24/2/ dPdPSQ 根据剪切强度条件式有： 22 dP故 mmPd 82.1360101822 3 （ 2）按挤压强度设计 若按销钉中段考虑挤压强度，其挤压力 PPbs ，挤压计算面积按销钉圆柱面正投影面积计算， 1dtSbs ；若按照销钉侧段考虑挤压强度，其挤压力 2/PPbs ，挤压面积2dtSbs 。因 21 2tt ，所以销钉中段受到的挤压应力更大，需对此段进行强度核算。
14、据挤压强度条件式有： bsbsbs SP 1 bsdtP 故 mmtPd bs 25.1182 0 0 101831 综合考虑销钉的剪切强度和挤压强度，按销钉直径 d 13.82mm，取 d=14mm。 5-9 如图 （ a） 所示，齿轮与轴用平键 连 接，已知轴直径 d=70mm，键的尺寸bhl=2012100mm，传递的力偶矩 T=2kNm；键材料的许用 切 应力 =80MPa，许用挤压应力 bs=200 MPa。试校核键的强度。 题 5-8 图 (a) (b) 题 5-9 图 解： （ 1） 沿剪切面将 键 截开，把轴取出来作为研究对象，其受力图如图（ b）所示。考虑到轴两端有轴承，故可
15、简化为位于中心的固定铰支座。在键的剪切面上作用有剪力 Q。 由图（ b），易得 2dQT 所以 NdTQ 9.5 7 1 4 21070 2 0 0 022 3 （ 2）校核键的剪切强度，剪切面积 lbS ，则切应力 M P albQSQ 6.2810020 9.5 7 1 4 2 由于 MPa80 ， 剪切强度足够 。 （ 3）校核键的挤压强度 因为键与轴，键与齿轮接触的面积相等，故任取一挤压面校核即可。 易知 挤 压力 QPbs ，挤压计算面积 lhSbs 2 ，则挤压应力 M P alh QlhQSPbsbsbs 2.9510012 9.5 7 1 4 2222 由于 M Pabsbs
16、2 0 0 ，挤压强 度也 足够。 所以， 键的强度足够。 5-10 销钉式安全联轴器如图所示，销钉材料的 材料极限切应力 320b MPa，许用 切应力 =80MPa，轴的直径D=30mm。要求正常工况下传递力偶矩 T=60Nm，且当 T 300Nm 时销钉就必须被剪断， 试 问销钉直径 d 应为多少？ 解： （ 1）沿销钉的上下两个剪切面截开，将轴或轴套分开，考虑轴的平衡 ,受力图 如右图所示 。 由于轴与销钉都具有对称性，只需对一个剪切面进行核算。 设 每个剪切面受到的剪力为 Q， 则平衡条件为： DQT 可得 NDTQ 2 0 0 00 3 0.0 60 按剪切强度条件有： 4 2 d
17、QSQ mmQd 64.5802 0 0 044 （ 2） 当 mNT 300 时，剪力 NDTQ 1 0 0 0 0030.0300 因此，当剪力 Q=10000N 时，销钉就应被剪断。 此时 ， 销钉 被剪断的条件 为： 24 dQb ， 所以 mmQdb31.63201 0 0 0 044 综合考虑以上两个因素，可知 mmdmm 31.664.5 ， 按销钉直径规格取 mmd 6 。 题 5-10 图 5-11 A、 B 两根轴用法兰盘 连 接起来，要求传递的力偶矩 T=70kNm。试由螺栓的剪切强度条件设计螺栓的直径 d。螺栓的许用 切 应力 =40MPa，螺栓数量为 12 个。 解：
18、 两法兰盘通过螺栓连接起来传递外力 偶矩，每个螺栓所承受的为剪切变形，其剪切面 沿两法兰盘的接触面。 由于结构的对称性，每个螺栓所承受的载荷是相同的。 设每个螺栓所受剪力为 Q ， 沿两法兰盘的接触面将螺栓剪断，取其任一法兰盘研究，受力图如下图所示，其平衡条件为： 2DQnT 所以 DnTQ 2 N333 1093.25)104 5 0(12 )1070(2 每 个螺栓的切应力24 dQ，按剪切 强度条件 4 2 dQ 所以 mmmQd 73.281073.28)1040( )1093.25(44 363 按照螺栓规格，可取螺栓直径为 30mm。 5-12 一根钢轴，直径为 20mm，许用 切 应力 =100MPa， 试 求此轴能承受的扭矩。如转速为 100r/min，此轴能传递多少 kW 的功率？ 解： 钢轴需满足一定的剪切强度，其 强度条件为： 16 3 dTWT nn 题 5-11 图
