1、九十八 學年度 台灣省 (花蓮 區 ) 高級中學 數理 及 資訊 學科能力競賽 數學科筆試（一）試題 編號： （學生自填） 注意事項： 1. 本試卷共 四 題計算證明題，滿分為 49 分。 2. 考試時間： 2 小時。 3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。 4. 將過程 依序 填寫在答案卷內。 問題一： 設 1 1 1 1 112 3 4 5 1 5 2 qp ，其中 p， q 為互質的正整數 。 試証： q 可被 79 整除。 (12 分 ) 問題二： 將九塊大小不等的正方形拼成一塊長方形，如下圖所示： 其中黑色正方形 的邊長為 1，而 x 與 y 代表所在正方形的邊長。 (1) 求 x
2、與 y 的值。 (2) 求長方形的長與寬。 (12 分 ) x y 問題三： 在 直角 三角形 ABC 中， 90C ， AB c ， BC a ， CA b ，試証： (1) 2c a b c . (2) 2a b c 的充要條件為 ab . (12 分 ) 問題四： 設 P 是 邊長為 2 的 正六邊形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 內部 之 一點，如下圖所示： 證明：三角形 P A1 A2， P A3 A4 與 P A5 A6 的面積和與三角形 P A6 A1， P A2 A3與 P A4 A5 的面積和一樣。 (13 分 ) A1 A2 A3 A4 A5 A6 P 九十八學年度
3、台灣省 (花蓮 區 ) 高級中學 數理 及 資訊 學科能力競賽 數學科筆試（二）試題 編號： （學生自填） 注意事項： 1. 本試卷共七題填充題，每題 3 分，滿分為 21 分。 2. 考試時 間： 1 小時。 3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。 4. 將答案 依序 填寫在答案欄內。 1. 若 拋物線 2 3y x mx 與直線 70xy 不相交， 則 實數 m 的範圍 為 ( 一 ) 。 2. 設 A 與 B 是數線上兩個點，它們的座標分別為 1 與 4，如下圖所示 已知 P 是數線上的動點，而且滿 足 P 到 A 點及 P 到 B 點的 距離乘積小於 6，即 6PA PB, 求動點 P
4、 的所有可能範圍是 ( 二 ) 。 3. 設 x 表示小於或等於 x 的最大整數，例如 3.2 3 ， 3.5 4 ，求 200961 logk k的值為 ( 三 ) 。 A B 1 4 4. 如 下 圖，一顆樹的樹幹被閃電劈中斷裂，傾倒後碰到離樹根 A 處 3 公尺的圍牆CD 後又再斷裂，樹頂 E 垂落 並接觸 地面。若樹幹 BD 部分與鉛直方向夾 60角，而樹頂 E 與圍牆底部 C 處相距 2 公尺，且牆外折斷部份的樹幹 ED 與地面成 60角，求這顆樹原 來的高度為 ( 四 ) (公尺 )。 5. A、 B 兩地間有一半徑為 16 公尺的圓形池塘， O 為池塘的中心，且 A、 O、 B
5、在同一直線上 (如圖 )。若 32AO 公尺， 16 2BO 公尺，則 在只能走陸地的情形下 ， 由 A 走到 B 的最短路線長為 ( 五 ) 公尺 。 6. 設 三角形 ABC 為邊長 1 的正三角形，將 B 三等分，設其 兩條 三等分線交 AC 於D、 E，利用此圖，求 sin 60 sin 100sin 100 sin 20 的值為 ( 六 ) 。 7. 將各位數字和為 43 的所有五位數，各寫在一張卡片放在袋中，再從袋中任意抽出 1 張，假設每張卡片被抽出的機會相等，則抽出的卡片數字是 11 的倍數之機率為 ( 七 ) 。 60 A B C D E 60 A B C D E B A O 池塘 九十八學年度 台灣省 (花蓮 區 ) 高級中學 數理 及 資訊 學科能力競賽 (數學科筆試二答案 卷 ) 編號： （學生自填） 注意事項： 1. 本試卷共七題填充題，每題 3 分，滿 分為 21 分。 2. 考試時間： 1 小時。 3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。 4. 將答案填寫在答案欄內。 答 案 欄 總分： ( 一 ) ( 二 ) ( 三 ) ( 四 ) 35m 21x 或 25x 6486 4 3 3 ( 五 ) ( 六 ) ( 七 ) 2016 16 3 3 2 15
