1、坐标法在解题中的应用 山东 尹承利 坐标法是解析几何中最基本的方法，其思路是：通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题（或代数问题转化为几何问题），从而利用代数知识（或几何知识）使问题得以解决 .坐标法巧妙地把代数、几何融为一体，是数形结合思想的具体体现 .下面举例说明坐标法在求解几何问题和代数问题中的巧妙应用 . 一、巧解（证）几何题 例 1 已知 ABCD 是圆 O 的内接四边形，且 AC BD 于 E ， G 是 DC 的中点， OF AB于 F 求证： EGOF 证明：如图 1，以直线 EC 为 x 轴， ED 为 y 轴，建立平面直角坐标系，设 A B C D， ， ，的坐标
2、分别为 ( 2 0) ( 0 2 ) ( 2 0) ( 0 2 )a b c d， ， ， ， ， ， ，则点 G 的坐标为 ()cd， OF AB ， AF FB 从而 点 F 的坐标为 ()ab， OA OC ， OB OD ， O 点坐标为 ()c a d b， 于是 2 2 2 2( ) ( )O F c a a d b b c d ， 22EG c d故 OF EG 例 2 ABCD 为 矩形 ， P 为矩形 ABCD 所 在平 面内 的任 意 一点 ，求 证：2 2 2 2PA PC PB PD 证明：如图 2，以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴
3、，建立平面直角坐标系，设 ( 0 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )A B a C a b D b P x y， ， ， ， ， ， ， ， ， 则 2 2 2 2 2 2()P A x y P B x a y ， ， 2 2 2( ) ( )PC c y b ，2 2 2()PD x y b 2 2 2 2 2 22 2 2 2P A P C x y a x b y a b ， 2 2 2 2 2 22 2 2 2P B P D x y a x b y a b 故 2 2 2 2PA PC PB PD 点评：用坐标法证明几何问题，可以避开添加辅助线和逻辑推理论证的麻烦，简便、易行
4、但要注意考虑如何建立恰当的直角坐标系和如何设点的坐标 二、巧解（证）代数题 例 3 已知 0 1 0 1xy ， ， 求证： 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2x y x y x y x y ，并求使等号成立的条件 证明：在平面直角坐标系中，设 ( 0 0 ) ( ) (1 0 ) (1 1 ) ( 0 1 )O P x y A B C， ， ， ， ， ， ， ， ，画出图形（如图 3 所示），则四边形 OABC 是边长为 1 的正方形 0 1 0 1xy ， ， P 为正方形内一点 那么 22PO x y， 22(1 )PC x y ， 2
5、2(1 )PA x y ， 22(1 ) (1 )PB x y ， 2PO PB O B ， 2PA PC AC ， 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2x y x y x y x y 当 P 在线段 OB 上又在线段 AC 上，即 P 是 OB 与 AC 的交点时，亦即 1122xy，时，等号成立 例 4 已知函数 22( ) 2 2 4 8f x x x x x ，求 ()fx的最小值，并求取得最小值时 x 的值 解： 22( ) 2 2 4 8f x x x x x 2 2 2 2( 1 ) ( 0 1 ) ( 2 ) ( 0 2 )xx ， 它表示点 ( 0)Px， 分别与点 (11) (2 2)AB， ， ， 的距离的和，即在 x 轴上求 一点 ( 0)Px， 与 AB，两点距离之和的最小值 由图 4 可知，转化为求两点 (1 1)A ， 和 (22)B， 间的距离，其距离为函数 ()fx的最小值， ()fx 的最小值为 22(1 2 ) ( 1 2 ) 1 0 再由直线方程的 两点式得直线 AB 的方程为 3 4 0xy 令 0y ，得 43x故当 43x时， ()fx的最小值为 10 点评：应用坐标法求解（证）代数问题，关键在于挖掘出问题中的几 何意义，使代数问题几何化
