1、具有圆形流动通道的平板热交换器中的共轭传热及其最佳结构的分析 H. M. Soliman M. M. Rahman 摘要 本文建立了一种对于具有循环嵌入式通道的平板热交换器的共轭热传导的分析方法，该法是在设定的圆管和不均匀的管边界热流的条件下完成的，其结果适用于直径为 50 m或者直径大于 50 m 的具有大的长径比的冷凝管。这种热交换器的热力学特性已经经过了大范围的相关独立参数的验证，并提出了对三组结束条件的优化设计，结果发现：随着管与加热表面以及管与管之间距离的增大，其热阻也逐渐增强。在已知管长度和管与管之 间的距离的情况下，我们可以计算出一个确定的管直径，在这个直径下，其热阻值是最小的。
2、 符号列表 An, Bn, Cn, Dn 级数解系数， n = 0,1, 2, 3,., N B0, C0 级数解系数 Cp 比热 ， J/kg K F 摩擦系数 H 管离上表面的深度， m H* 无尺寸的管深度 k 导热系数， W/m K L 板厚度， m 板长度， m M 管子数 mT 总质量流率 ,kg/s N 系列中的条款数 P 压力， Pa PT 泵功率， W q 上表面的输入热通量， W/m2 qi 固 -热界面的热通量， W/m2 R 无量纲的纵向坐标 r 径向坐标， m r0 管的半径， m r*0 无量纲的管半径 Re 雷诺数 T 温度， K U 液 体的无量纲轴向速度 u
3、液体的轴向速度， m/s um 液体的平均轴向速度， m/s W 管与管之间中心距离的一半， m W* 管与管之间的无量纲距离 WT 板的总宽度， m X,Y,Z 无量纲（笛卡尔）坐标 x,y,z 笛卡尔坐标， m 希腊字母 总的热阻， K/W 依赖于几何的热阻部分， K/W * 无量纲热阻 无量纲温度 动态 粘滞度， N s/m2 流体密度， kg/m3 角坐标， rad 下标 1 区域 1 2 区域 2 3 区域 3 ave 平均值 b 体积 f 流体 i 固 -液界面 in 热交换器的输入量 out 热交换器的输出量 s 固体 引言 为了满足电子设备中集成电路的快速发展，我们需要不断地研
4、究热量排出的方法，然而，更快的电路循环和容量的增加必然导致每条电路功率损耗的增加和单位体积电路数量的增加，其结果就是增加了组装时芯片，组件和系统的功 率密度。因为固态组件的预期寿命和可靠性在很大程度上依赖于它的运行温度，因此就需要一个有效的制冷系统维持其在限制温度范围之内，虽然很多技术都可以提供充分的降温，但是镶嵌在固体底板中的微孔道或微管由于其简便和相对更低的热阻而具有很好的应用前景。 由 Tuckerman 和 Pease 首先提出的硅衬底的主要部分是 一个小型的水冷式的散热器， Philips 用磷化铟作为基底用同样的散热器报道了更多实验数据，许多其他研究也证实了微孔散热器的应用。 Wa
5、ng 和 Peng 报道了在长方形的微孔道中进行水或甲醇的单向强制对流的实验数 据，这些孔道的水力直径在 311 747m 之间，当雷诺数在 1000 1500之间时，其间发生的是湍流对流，这种对流主要取决于液体温度，流速和孔道大小。在后面的两项研究中， Peng 和 Peterson 做了进一步的测定来描述热物理学特性和几何参数对它的影响。 Tso 和 Makulikar 研究了微孔道热传导对流中的层流 -湍流过度，并用布林克曼数和雷诺数描述了得到的实验数据。 Browers 和Mudawar 的研究表明，在微孔道中用相变的方法可以得到很高的传热速率。然而，该系统在运行的时候接近其临界热通量
6、，这就导致其具有不稳 定性，因为不能用于工程中。 除了实验测定以外，还做了许多理论研究以供我们了解微孔道长方形横截面的共轭热传导的基本原理， Weisberg et al.研究了整合在硅基板中的冷凝管的热阻，为了保证管道尺寸的选择与运行条件相一致，他们设计了一种平板热交换器，该交换器包括一个组装有硅片并由硼硅酸玻璃包裹着的长方形微孔道。Ambantipudi 和 Rahman 提出了一种应用于长方形微孔道共轭热传导中的三维数值模拟模型，并做了准数变化趋势和雷诺数，比表面积以及邻近管道之间距离的研究。 Fisser 和 Torrance 用数字研 究了具有凸横截面和普通制冷通道的实体中的共轭热传
7、导，对通道边界曲率对总热传导的影响进行了量化，并且确定了在给定的压力差和泵条件下的最优通道结构。 Fedorov 和 Viskanta 在数学上解决了传统的长方形微孔道散热器固壁上共轭热传导的斯托克斯能量方程，并证实了他们的理论结果和 Kawano et al.对于水力直径大约为 87 m 的具有长方形横截面的硅底板微孔道热交换器的压力差和传热的实验结果能够很好地吻合。 关于圆形微管中液体流动和热交换的研究也有很多报导， Yu et al. 为了确定雷诺数大于 2500，直径 分别为 19,52 和 102 m的微孔的对流热传导特性而做了一项试验研究 ，结果发现，在低值情况下，准数跟大管的相关
8、系数比较吻合，但是准数和雷诺数的增长速率比相关系数预测的更大。 Adams et al.对直径为760 m 和 1090 m 的微管中湍流对流热传导进行了试验研究，该研究用水作为测试液体，基于实验数据，在微管热传导中提出了一种新的相关系数。 Adams et al.又将该研究扩展到非圆形管中，结果发现标准的湍流单相准数相关性只适用于水力直径大于 1020 m的管道。 Mala 和 Li 报道了直径在 50 254 m 之间的微管中水层流时的压力差的数据结果，在试验中，他们用的是石英玻璃和不锈钢管。就石英玻璃而言，在管径为 101 m或更大直至其雷诺数达到 2000的时候，测定的压力梯度跟泊肃叶
9、流理论相一致；不锈钢管的直径为 152 m或更大直至其雷诺数达到 2000 时，其压力梯度和标准理论很相符。 本研究主要集中于对具有圆形流动通道的平板热交换器中共轭热传导的分析，这种热交换器在电子产品的制冷和道路融雪系统方面都有很广泛的应用。以前对平板散热器的研究绝大多数主要集中在长方形通道上面，只有有限的一部分研究是针对于圆形通道的，因此， 对具有圆形通道的平板散热器的详细的理论研究对于我们理解其传热特性，验证其几何和性能参数对其运作的影响以及在不同条件下确定其最佳的几何形状是必要的。 由文献中的信息可知，传统的动量和能量方程适用于直径在 50 m或 50 m以上的管道，但是，如果我们限定其
10、流动方式为层流，该方程将适用于任意尺寸的管道，那这个方程也就会有更为广泛的应用，但是在该假设条件下，需要流动管道具有较大的长径比。 2 分析 假设平板热交换器具有圆形的长的液体流动管道，如图 1所示，在板的上表面有均衡的热通量，而其下表面是隔热的，板的宽度为 WT,厚度为 L,长度（在液体流动方向）为 ,一块板中有 M 个尺寸相同的管道，管道半径为 r0。 图 1 热转换器的示意图 由于其对称性，我们只分析热交换器的一个截面，如图 2 所示，管离加热表面的高度为 H,截面的宽度为 W,以管轴为中心建立圆柱形坐标系来分析其对流热传导；以截面底部左角为中心建立笛卡尔坐标系来分析热交换器固体壁内的热
11、传导，如图 2 所示， z 为液流方向的坐标。由于其对称性，除了上表面具有均衡的热通量，管壁具有均衡的对流之外，其它外表面都是绝热的。横截面的几何外形可以由三个无量纲的量进行定义，它们分别是 H*(=H/L),W*(=W/L)和 r0*(=r0/W)。 图 2 用于分析的热转换器的横截面 2.1 流体域 为了简化分析中的问题，我们作了一下假设：（ 1）恒定的流体和固体性质；（ 2）管中液体的流动为层流；（ 3）忽略基底和流体之间的轴向传导。无量纲形式的动量方程如下所示： 其中， R=r/r0， U=u/um, f =r0 (-dP/dz) / (um2)， Re=2 umr0 /。 在方程（
12、1）中，压力梯度 （ dP/dz） 在设定条件下假设是恒定的，方程（ 1）的解为 将 代入到质量方程中，我们可以得到 f Re=16，因此，该方程变为 能量方程的无量纲形式可表示如下： 其中， = （ T-Tb ） /(q L/kf) ， 在 公 式 （ 4 ） 中 ， 假 设，那公式（ 4）的解如下所示： 当 =0 和 = 时 ， 公式（ 5）中的解满足对称条件 ，当 R=0时， f也是一定的，代入如下条件： 我们得到， ，最终，我们得到 2.2 固体域 固体的能量方程如下： 其中， X=x/L, Y=y/L, 为了得到完全符合能量方程和临界条件的解，我们将固体域分成三个区域，如图 2 所示
13、。 在区域 1 中，其解为 其中 ， Y1=1-H*,方程（ 8）满足方程（ 7）的解和以下临界条件： ，X=0 和 X=W*； ， Y=1。 在区域 3 中，其解可以写成如下形式： 其中， Y2=1-H*-2 r0*W*, 这个解满足方程（ 7）及以下临界条件： ，X=0 和 X=W*； ， Y=0。 对于区域 2，只有一个固定的临界条件，即 ， X=0。在其它三个边界条件下，该方程必须满足连续的温度和热通量，该区域中关于温度分布的一个可能的解可以表示如下： 方程（ 10）满足方程（ 7）的 解和当 X=0 时上述的临界条件。另外，方程（ 10）保证了区域 1.区域 2 和区域 3 各界面之
14、间温度的连续，比如，当 Y=Y1时， s,2 = s,1 ,当 Y=Y2 时， s,2= s,3 。方程（ 8） -（ 10）中的未知系数B0， C0， An,Bn,Cn 和 Dn (总共（ 4N +2）个系数 )，都由当 Y=Y1 和 Y=Y2 时热通量的连续性，以及固 -液界面温度和热通量的连续性所决定。 2.3 系数的估算 方程（ 8） -（ 10）给出的温度分布必须满足以下条件： - 当 Y=Y1 时连续的热通量： - 当 Y=Y2 时连续的热通量： - 固 -液界面连续的温度： 其中，固 -液界面（管表面）定义为 - 固 -液界面连续的热通量，可以表示为： 方程（ 11） -（ 13
15、）和（ 15）当中，每个都适用于沿各自界面的一系列大小相同的点， NP。由此可以得出当 4NP (4N+2)时， 4NP 对于 (4N+2)个未知系数的线性代数方程，线性方程是用著名的最小二乘法得出的。一旦确定了未知的系数，方程中的 就很容易确定，该方程需要的输入参数有 H*,W* ，r0*和 kf / ks，对于 kf / ks =0 的特殊情况，当 An=Bn=Cn=Dn， B0=C0=11W*/(24 )，且通过固体的温度恒定时，方程（ 11） -（ 15）满足其解。 我们对不同组合的独立参数研究了 N 和 NP对结果精确性的影响，对精确性的评估取决于 B0和 C0的值。注意，当 Y =
16、0 时，平均温度是 s,3 = C0，当 Y =1 时， s,1 = B0+kf / ks，我们可以看出这两个系数对于温度场的精确度具有非常大的作用。另外，从后面的介绍我们可以看出， B0是在计算散热器的热阻时唯一用到的系数，表 1 总结了不同几何形状（ H*， W*， r0*）和不同材料特性（ ks / kf）的管中 N 和 NP 对 B0和 C0 的影响。这些结 果表明这些级数解的收敛速度非常快，当 N =10 时，我们可以得到合理精确的解，为了确保结果有大于 0.5%的精确度，所有的计算都是在 N =20， NP =400 时进行的。 表 1 不同几何形状（ H*， W*， r0*）和不同材料特性（ ks / kf）的管中 N 和 NP 对B0和 C0 的影响 3 结果和讨论 在三组不同的 ks / kf 值即 ks / kf =243（表示硅 -水）， ks / kf =24.6（表
