1、第 二 讲 函数的极限 （甲）内容要点 一、极限的概念与基本性质 1. 极限的定义 （要求用 语言 描述 ） （ 1） lim ( )x f x A （ 2） lim ( )x f x A （ 3） lim ( )x f x A （ 4） 0limxxf x A （ 5） 0limxxf x A （ 6） 0limxxf x A （用 0 0fx 表示） 用 lim f x A 表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质。 2. 极限的基本性质 （要求用定义证明） 定理 1 （ 唯 一性）设 lim f x A ， lim f x B ，則 AB 。 定理 2 （ 保
2、序性 ， 特别注意 B 0 时的局部保号性 ） 设 lim f x A ， limg x B 定理 3 （局部有界性）设 lim f x A ，则当 x 变化一定以后， fx有界的。 定理 4 设 lim f x A ， limg x B 则 （ 1） lim f x g x A B （ 2） lim f x g x A B （ 3） lim fx Ag x B 0B （ 4） lim gx Bf x A 0A 二、无穷小量 1. 无穷小量定义：若 lim 0fx ，则称 fx为无穷小量 2. 无穷大量定义：任給 0M ，当 x 变化一定以后，总有 f x M ，则称 fx为无穷大量，记 li
3、m fx。 3. 无穷小量与无穷大量的关系：在 x 的同一个变化过程中，若 fx为无穷大量，则1fx为无穷小量，若 fx为无穷小量且 0fx ，则 1fx为无穷大量。 4. 无穷小量与极限的关系 l im f x A f x A a x 其中 lim 0ax 5. 两个无穷小量的比较 设 lim 0 lim 0f x g x， ，且 lim fx lgx(1) 0l ，称 fx是比 gx高阶的无穷小量，记以 f x o g x 称 gx是比 fx低阶的无穷小量， (2) 0l ，称 fx与 gx是同阶无穷小量。 (3) 1l ，称 fx与 gx是等价无穷小量，记以 f x g x 6. 常见的
4、等价无穷小量 （ 当 0x 时 ） 1)1l n (a r c s i na r c t a nt a ns i n xexxxxxx 2cos1 2xx ， axx a 1)1( （ a 为实常数）。 【例 1】 当 0x 时 ,与 x 等价的无穷小量是 ( B ) (A)1ex (B) 1ln1 xx (C) 11x (D)1 cos x 7. 无穷小量的重要性质 定理 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。 （ 有限个 无穷小量 之和 仍是无穷小量。 ） 三、求极限的方法 1. 利用极限的四则运算和 幂指数 运算法则 2.（夹逼 准则 ）设 g x f x h x 若 lim limg x A
5、 h x A， ，则 lim f x A （ 注： 不能用函数子列收敛来证明收敛， 只能用子列发散证明发散） 3. 两个重要公式 公式 1 0 sinlim 1x xx 公式 2 1lim 1 uu eu； 10lim 1 vv ve 【例 1】 求下列极限 （ 1） 102lim 1 xx x （ 2） 101lim 1 xxxx 解 （ 1） 2 ( 1 0 )10 222l i m 1 l i m 1 xxx xnxxx 10212 22l im 1x xx ex （ 2）解一 111 ( 1 ) 1 200100l im 1 l im 1 ( )1l im1 l im 1xxxxxx
6、xxxxxe ex e ex 解二 1211 21 20 0 01 1 2 2l im l im l im 11 1 1 xxxxxx x xx x x x ex x x 【例 2】 求下列极限 （ 1） 411limxx x（ 2） 2cot0lim(cos ) xx x解（ 1）令 1xt 则 1xt ，当 1x 时， 0t 于是 444 1 411 0 0l im l im( 1 ) l im 1xt tx t tx t t e （ 2） 2 22 2 2c o s 1 c o sc o t 2 22 s in 2s in0 0 0l im ( c o s ) l im ( 1 sin
7、) l im 1 ( sin )x xx x xx x xx x x 12e 【例 3】 )1ln( 102)(coslim xx x = 12e . 4. 用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换 【例 1】 求0(1 c o s 2 ) a r c ta n 3lim ( 1 ) ln (1 2 ) s in 5xxxxe x x. 解 用等价无穷小量代换 原式 201 (2 ) (3 ) 32lim (2 ) (5 ) 5xxxx x x 【例 2】 求 2013 sin c o slim (1 c o s ) ln (1 )x xx xxx . 解 这个极限虽是“ 00 ”型，但分子、分母
8、分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则 . 原式0sin 13 c o s13l iml n (1 )1 c o s 2xx xxxxxx5. 使用变量代换的方法简化运算 : a. 倒数 b. 变量 -极限 【例 1】 求 21100limxxex解 若直接用 “ 00 ”型洛必达法则 1，则得221 139 12002lim lim10 5x xxxe exxx （不好办了，分母 x 的次数反而增加），为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令21 tx， 于是 21 51 0 50lim lim limtxtx t te e tx t e (“ ”型 ) 45 5!lim l
9、im 0tttttee 6. 用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻） 当 0x 时 21 2 ! !nxnxxe x o xn 3 5 2 1 21s in 13 ! 5 ! 2 1 !nn nx x xx x o xn 2 4 2 2c o s 1 12 ! 4 ! 2 !nn nx x xx o xn 23 1l n 1 123 nn nx x xx x o xn 3 5 2 1 21a r c t a n 13 5 2 1nn nx x xx x o xn 2 11111 2 ! ! nnnx x x x o xn （ 为实常数） 【例 1】 求 3501sin 6limx x x xx
10、解 35 5s in ( )3 ! 5!xxx x o x （当 0x 时） 原式5 550() 115!lim5 ! 1 2 0xx oxx 7.洛必达法则 法则 1 00型设（ 1） lim 0fx ， lim 0gx （ 2） x 变化过程中， fx ， gx 皆存在 （ 3） lim fx Agx （或 ） 则 lim fx Agx（或 ） (注： 如果 limfxgx不存在且不是无穷大量情形，则不能得出 limfxgx不存在且不是无穷大量情形 ) 法则 2 型设（ 1） lim fx， limgx （ 2） x 变化过程中， fx ， gx 皆存在 （ 3） lim fx Agx （
11、或 ） 则 lim fx Agx（或 ） 【例 1】 求 2220 1 coslim( )sinx xxx . 解 原式 2 2 2220 sin co slim sinx x x xxx 22401 sin 24limx xxx 3042 sin 2 c os 24lim 4x x x xx 301 sin 44lim 2x xxx 2001 c o s 4 4 s i n 4 4l i m l i m6 1 2 3xxxxxx 8.利用导数定义求极限 基本公式： 0000l i mx f x x f x fxx 如 果 存 在 【例 1】 设 0( ) 2fx ，求 000 ( 3 ) (
12、 2 )li mx f x x f x xx . 解 原式 0 0 0 00( 3 ) ( ) ( 2 ) ( )l i mxf x x f x f x x f xx 0 0 0 000( 3 ) ( ) ( 2 ) ( )3 l i m 2 l i m32xxf x x f x f x x f xxx 0 0 03 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 1 0 f x f x f x 9.求极限的反问题有关方法 【例 1】 设 221lim 3sin( 1)x x ax bx ，求 a 和 b. 解 由题设可知 21lim( ) 0x x ax b ， 1+a+b=0 再对极限用洛必达法则 222
13、11 22l i m l i m 3s i n ( 1 ) 2 c o s ( 1 ) 2xxx a x b x a ax x x 4, 5ab 10. 含变上限积分的极限求法 【例 1】 中国海洋大学 2010 年 高数 360 已知 dttxxxf x 0 2)s in ()(，求30 )(lim xxfx。 解：令 ,txu 则 duuxduuxxf xx 0 20 2 s ins in)(20 2 s ins in)( xxduuxf x 故 3202030s ins inlim)(limxxxduux xfxxx 34s inlims inlim3203020 x xxx duuxx
14、x。 （乙） 综合分析 题 【例 1】 求下列各极限 （ 1）011limxxxx （ 2） 33011limxxxx 解 （ 1）解一 原式 011 2li m 1211xxxx x x 解二 原式 01 1 1 1limxxxx 0122l im 1xxxx 等 价 无 穷 小 量 代 换 （ 错误 ！ 因为乘除才能代换 ） 解三 用洛必达法则 1 原式 0112 1 2 1lim 11xxx 解四 Taylor 公式 原式01 o ( )22lim 1 xxxxx （ 2） 220 3 3 3 311 2l im 31 1 1 1x xxx x x x x 【例 2】求 110 )1ln
15、(lim xex xx解：)1l n (l n (11l i m1100)1ln (lim xxeexxxx ex x 200 )1ln (lim)1)1ln (1lim x xxx xx xx ee 21)1ln(lim 20 ee x xxx 【例 3】 求极限 )s in12(lim410 xxeexxx 。 解 110)s i n12(lim)s i n12(lim4340410 xxeeexxeexxxxxxx 112)s i n12(lim)s i n12(lim410410 xxeexxeexxxxxx 1)s in12(lim410 xxeexxx 【例 4】 求 2sin0l
16、im xx x. 解 令 2sin xyx ， 2ln sin lny x x 200lim ln lim s in lnxxy x x 2 200lnlim ln limxx xxx x 1 30lim 02x xx 00lim 1x ye . 【例 5】 求 11lim sin cos xx xx. 解 令 11sin co s xyxx， 11ln ln s in c o syxxx011l n s in c o sl n ( s in c o s )l im l n l im l im1x x tttxxytx 0 cos sinlim 1sin cost tt limx ye 【例
17、6】 求 lim c o s c o s c o s2 4 2nn x x x。 解 当 x=0 时，原式 =1 当 x 0 时，原式 = 2 si n c o s c o s c o s2 2 4 2l im2 si n 2nnnn nnx x x xx =1112 c o s c o s c o s si n2 4 2 2l im2 si n 2nnnn nnx x x xx = sin sin sin2l im l im2 sin sin22nnnnnnxx x xxxxx 2lim 1sin 2nnnxx【例 7】 设曲线 ()y f x 与 sinyx 在原点相切，求 2lim (
18、)n nf n. 解 由题设可知 (0) 0f ， 0(0 ) (sin ) 1xfx 于是 2 ( 0 )2l im l im 2 2 ( 0 ) 22 0nnffnn f fnn 【 例 8】 求下列函数在分段点处的极限 2sin 2 01 c osx xxfxx xx 解 00s i n 2 s i n 2( 0 0 ) l i m l i m 2 22xxxxf xx 2200 2( 0 0 ) l im l im 211 c o s2xxxxfx x 0lim ( ) 2x fx 【例 9】 设 2001lim 1s in xxt dtb x x at ，求 a 和 b. 解 把极限
19、用洛必达法则 原式左边 20lim cosxx a xbx ，如果 1b ，则极限值为 0，今 极限为 1，则 1b 因此 原式左边 2001 2 2l i m l i m1 c o sxxx xa x a x a 由 2 1a，得出 a=4. （丙） 真 题演练 1. xdttxs in)c o s (lim 0 2x。 2. 202x 1)( a r c ta nlimxdttx 。 3. 2lim( )( )xxxx a x b4. 0 ln (1 )lim 1 c o sx xxx 5. 20 1 1 2limx xxx 6. 20 11lim( )tanx x x x 7. _ _ _ _ _ _ _)( c o s1 00 2li m dttx x tx
