1、第四章 不定积分数学中的转折点是笛卡尔的变数. 有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证 法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成 为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是有由牛 顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发 明的.-恩格斯 )1(数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力量. 17 世纪，微积分的创立首先是为了解决当时数学面临的四类核心问题中的第四类问题，即求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力等等. 此类问题的研究具有久远的历史，例如，古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和体积，我国南北朝时期的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和体积，而在欧洲，对此
2、类问题的研究兴起于 17 世纪，先是穷竭法被逐渐修改，后来由于微积分的创立彻底改变了解决这一大类问题的方法. 由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成了微积分学的微分学部分；同时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成了微积分学的积分学部分. 前面已经介绍已知函数求导数的问题，现在我们要考虑其反问题：已知导数求其函数，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数. 这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分. 本章将介绍不定积分的概念及其计算方法.第一节 不定积分的概念与性质分布图示 问题的引入 原函数的概念 不定积分的概念
3、 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 微分运算与积分运算的关系 基本积分表 不定积分的性质 直接积分法 例 6 例 7 例 8 例 9 例 10 例 11 例 12 例 13 内容小结 课堂练习 习题 4-1 内容要点一、原函数的概念二、不定积分的概念注: 由定义知, 求函数 的不定积分, 就是求 的全体原函数 , 在 中, 积)(xf )(xf dxf)(分号 表示对函数 实行求原函数的运算, 故求不定积分的运算实质上就是求导 (或求)(xf微分)运算的逆运算；三、不定积分的性质；四、基本积分表；五、直接积分法：利用不定积分的运算性质和基本积分公式, 直接求出不定积分的方法. 例题选讲不
4、定积分的概念例 1 (E01) 问 与 是否相等?dxf)(dxf)(解 不相等.设 则,Fdxf)()(CF0(x)(f而由不定积分定义 ，所以xf)(fdfx.f例 2 (E02) 求下列不定积分 .1)3(;1)(;)1( 223 dxdxdx解 (1) 因为 所以 是 的一个原函数,从而 为任意,443 Cxd43(常数)(2) 因为 所以 是 的一个原函数,从而 为任意常数).,12x21x xd12(3) 因为 故 是 的原函数，从而,)(arctnarctn2x Cxdarctn2为任意常数).C(例 3 (E03) 已知曲线 在任一点 x 处的切线斜率为 , 且曲线通过点(1,
5、 2), 求)(xfyx此曲线的方程.解 根据题意知 即 是 的一个原函数，从而,2ff2Cxdf2)(现在要上述积分曲线族中选出通过点 的那条曲线.由曲线通过点 得),1( ,1C21故所求曲线方程为 .12xy例 4 (E04) 经过调查发现, 某产品的边际成本函数可由下面函数给出 32q其中 q 是产量数, 已知生产的固定成本为 2, 求生产成本函数.解 设所求生产成本函数为 按题意，有),(C32q因为 ,32)(2q所以 是 的一个原函数，从而q3)(Cdx)02C).(为直接积分法例 5 (E05) 计算不定积分 .dx23)1(解 dx2314 dxx34321Cx343211
6、.7563C例 6 (E06) 求不定积分 .dxe2解 dxe2x)(C)ln(.2ln1ex例 7 求不定积分 .dx)1(2解 dx)1(2x)(2dx12dx12.|lnarctC例 8 (E07) 求不定积分 .dx421解 dx421x2dx21.arcsinC例 9 (E08) 求不定积分 .d241解 dx241dx241dx21)( dx2212 .arctn3C例 10 (E09) 求下列不定积分 : .2sin)(tan)1(2dxxd解 1ecdx1sec2 ;tanC)2(dxsindx)os1(2x)o(xcos.)sin(21x例 11 求满足下列条件的 .F,1
7、)(3x ;1)0(解 根据题设条件, 有 dxdxxF )()()( 323.Cxd54231又 得 所以,)0(.0C.15433xF例 12 求满足下列条件的 ).(F,2sincox .4解 根据题设条件，有 )(xFdx)(dsico2dx2cosinxx2cos1sin41 .)t(ta4C由 得 即 所以,F,ttaC.21)(xF.21)cot(tan41x例 13 (E10) 已知 且 ,求 .,1,0)(lnxxf 0)(f)(f解 设 则当 时, 于是 即,lt,t.1tf dtftf,1C)(Cxf当 时, 于是 即x1,0t,)(tef dtftf)()(,2Cet,)(2Cexf得 xCefx,0)(21又 再由 在 处连续, 得,0)(f,1)(f),(lim)0(xff.12C所以 .,0)(xexf课堂练习1.求下列不定积分 .324)(;1)(3 dxedxx2.符号函数 在 内是否存在原函数? 为什么?0,1,sgn)(xxf ),(
